高考数学平面向量及其应用习题及答案百度文库

一、多选题1．题目文件丢失！

2．若a →，b →，c →

是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（） A ．若a b →→

=，则a b →→

= B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→

= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→

D ．若a b a b →

→

+=-，则a b →→

⊥

3．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b

B a

=，则该三角形的形状是（） A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

4．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且

C <<

，4b =，则以下说法正确的是（）

A ．3

C π

B ．若72

c =

，则1cos 7B =

C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形

D ．若ABC 的面积是4

5．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点

时，点P 的坐标为（） A ．4,23??

???

B ．4,33??

???

C ．()2,3

D ．8

,33?? ???

6．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°

D ．()

//2a a b +

7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b

C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立

D ．在ABC 中，

sin sin sin +=+a b c

A B C

8．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（）

A ．2

AB AB AC B ．2

BC CB AC C ．2AC

AB BD

D ．2

BA BD

BC BD

9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b =

30A =?，则B =（）

A ．30

B ．45?

C ．135?

D ．150?

10．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（） A ．11

22AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133

BM BA BD =

+ D ．12

CM CA CD =

11．设a 为非零向量，下列有关向量

a 的描述正确的是（） A ．|

|1||

a a =

B ．

//||

a a a

C ．

a a a =

D ．

||||

a a a a ?=

12．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（） A ．00a ?= B ．()

()

a b c a b c ??=?? C ．0a b a b ?=?⊥

D ．(

)(

)

b b a b a a +-=?-

13．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量

B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对

C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()

11122122e e e e λμλλμ+=+

D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ==

14．点P 是ABC ?所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ?的形状不可能是( ) A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

15．下列命题中正确的是( )

A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-

B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-

C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =

D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =

二、平面向量及其应用选择题

16．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且

2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（）

A ．

B ．

C ．38

D ．

17．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且

aGA bGB cGC ++

=.则BAC ∠等于（） A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

18．O 为ABC ?内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知

0a OA b OB c OC ?+?+?=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=，若3a =边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为（） A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 19．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，

，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则

ABC 一定为直角三角形；④若3

B π

，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是

)

3+∞.以上结论中正确的有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

20．若△ABC 中，2

sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（） A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

21．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角

形ABC 的（） A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

22．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=

B ．1a b ?=

C ．a b =

D ．0a b ?=

23．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边

AB 相交于点D ，90C ∠=?，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边

AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大

的数），则m 的最小值为（） A ．M

B ．N

C ．22

D ．1

24．下列命题中正确的是（） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ?=?≠，则a b =

C ．若,,,A B C

D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ?>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角 25．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ?>0，则△ABC 是（） A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

26．设ABC ?中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（）

A ．1233A

B A

C -

+ B ．

33AB AC - C ．1233

AB AC -

D ．21

AB AC -

+ 27．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得

45BDC ∠=?，则塔AB 的高是（单位：m ）（）

A ．2

B ．106

C ．103

D ．10

28．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（）

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

29．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( )

A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 30．ABC ?中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ?一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

31．已知ABC ?的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2

A A

C C A B +-+=--+

，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +> C ．612abc ≤≤

D ．1224abc ≤≤

32．奔驰定理：已知O 是ABC ?内的一点，BOC ?，AOC ?，AOB ?的面积分别为A S ，

B S ，

C S ，则0A B C S OA S OB S OC ?+?+?=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的

结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ?内的一点，A ，B ，C 是ABC ?的三个内角，且点

O 满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则必有（）

A ．sin sin sin 0A OA

B OB

C OC ?+?+?= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ?+?+?= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=

D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ?+?+?= 33．已知ABC 中，1,3,30a b A ?===，则B 等于（）

A ．60°

B ．120°

C ．30°或150°

D ．60°或120°

34．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，

BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（）

A ．21

AB AD - B ．

AB AD -

C ．21

AB AD -

+ D ．12

AB AD -

+ 35．在ABC ?中，设2

2AC AB AM BC -=?，则动点M 的轨迹必通过ABC ?的（） A ．垂心

B ．内心

C ．重心

D ．外心

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．无 2．ACD 【分析】

根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】

对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；对应，若，，则方向相同解析：ACD 【分析】

根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】

对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确；对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误；对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反，故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；

对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，

∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．

故选：ACD 【点睛】

本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．

3．D 【分析】

在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解.

【详解】在中，因为，由正弦定理得，所以，即，所以或，解得或.

故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查

解析：D 【分析】在ABC 中，根据

cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B

B A

=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.

【详解】

在ABC 中，因为

cos cos A b

B a =，由正弦定理得cos sin cos sin A B

B A

=，所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，

解得A B =或2

A B π

+=.

故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】

本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

4．AC 【分析】

对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；对于，利用正弦定理可求得，进而可得；

对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利

解析：AC 【分析】

对于A 2sin sin A C A =，即可求出C ；

对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；

对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得

A B C ==；

对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ．【详解】

2sin c A =

2sin sin A C A =，因为sin 0A ≠

，故sin C =，因为(0,

C π

∈，则3

C π

，故A 正确；

若72

c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =

，则4sin sin 72

b B C

c == 因为(0,)B π∈

，则1

cos 7

B =±，故B 错误；若sin 2cos sin A B

C =，根据正弦定理可得2cos a c B =，

2sin c A =

，即sin a A =

sin 2cos A c B =

，所以sin A B =，

因为23A B C ππ+=-=，则23

A B π=

，故2sin()3B B π

-=，

sin 2B B B +=

，即1sin cos 22

B B =，

解得tan B =3

B π

=，则3

A π

，

即3

A B C π

===

，所以ABC 是等边三角形，故C 正确；若ABC

的面积是

sin 2

ab C =2a =，由余弦定理可得2

2cos 416224122

c a b ab C =+-=+-???=

，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，

由正弦定理可得24

sin c R C =

==，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误，故选：AC ．【点睛】

本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．

5．AD 【分析】

设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设，则，

当点P 靠近点时，，则，解得，所以，

当点P 靠近点时，，则，解得，所以，故选：

解析：AD 【分析】

设(),P x y ，则()()1

2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】

设(),P x y ，则()()1

2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，当点P 靠近点1P 时，121

PP =，则()()1421142x x y y ?=-????-=-??

，

解得432

x y ?=???=?，

所以4,23P ??

???

，当点P 靠近点2P 时，122PP PP =，则()

()24124x x y y ?=-??

-=-??

，

解得833

x y ?=???=?，

所以8,33P ?? ???

，故选：AD 【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6．AC 【分析】

利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，，则，故A 正确；，故B 错误；

解析：AC 【分析】

利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】

由向量()1,0a =，()2,2b =，

则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；

222b =+=，故B 错误；

2cos ,21a b a b a b

?<>=

?+，

又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确；由()1,0a =，()25,4a b +=，140540?-?=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.

7．ACD 【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误；

对于C ，在ABC 中

解析：ACD 【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C

R B C

+=+＝左边，故该选项正确.

【详解】

对于A ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；

对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2

，∴a ＝b 或a 2+b 2

＝c 2，故该选项错误；

对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ?a ＞b ?A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；

对于D ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

8．AD 【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】

对于A ，，故A 正确；对于B ，，故B 错误；对于C ，,故C 错误；对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查三角形

解析：AD 【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，2

cos AB AB AC AB AC A AB AC

AB AC

，故A 正确；

对于B ，

cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC

CB AC

，

故B 错误；对于C ，

cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD

,故C 错误；对于D ，2

cos BD BA BD

BA BD ABD BA BD BD BA

cos BD BC BD

BC BD CBD BC BD

BD BC

,故D 正确.

故选：AD. 【点睛】

本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.

9．BC 【分析】

用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】

解：根据正弦定理得：，由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

解析：BC 【分析】

用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】

解：根据正弦定理sin sin a b A B

=得：

2sin 22sin 12

b A B a ?

===，由于21b a =>=，所以45B =或135B =.

故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

10．ABD 【分析】

根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】

解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.

对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确；对于B 选项，，由于为三

解析：ABD 【分析】

根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】

解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得11

AD AB AC =

+，故A 正确；对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，

2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；

对于C 选项，()

2212

=3333

BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误；对于D 选项，()

2212

3333

CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD

【点睛】

本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.

11．ABD

【分析】

首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.

【详解】

表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确，

，所以D正确.

故选：ABD

解析：ABD

【分析】

首先理解a

a表示与向量

a同方向的单位向量，然后分别判断选项.

【详解】

a表示与向量a同方向的单位向量，所以1

=正确，//

a正确，所以AB正确，当

a不是单位向量时，a

=不正确，

cos0a

a a

a a a a

a a a

?==?=，所以D正确.故选：ABD

【点睛】

本题重点考查向量a

a的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解

表示与向量a同方向的单位向量.

12．AB

【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.

【详解】

对于A选项，，A选项错误；

对于B选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B选项错误；

对于C选项，

解析：AB

【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.

【详解】

对于A 选项，00a ?=，A 选项错误；

对于B 选项，()

a b c ??表示与c 共线的向量，()

a b c ??表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；

对于C 选项，0a b a b ?=?⊥，C 选项正确；

对于D 选项，(

)()

22a b a b a b a b +?-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】

本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

13．BC 【分析】

由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】

由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当时，这样的有无数个，故C

解析：BC 【分析】

由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】

由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，

对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确. 故选：BC 【点睛】

若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使

12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一. 14．AD 【解析】【分析】

由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】

∵P 是所在平面内一点，且， ∴，即， ∴，

两边平方并化简得， ∴，

∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故

解析：AD 【解析】【分析】

由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】

∵P 是ABC ?所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+，两边平方并化简得0AC AB ?=， ∴AC AB ⊥，

∴90A ?∠=，则ABC ?一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD. 【点睛】

本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.

15．ABD 【详解】

解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．

对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故正确．对于：若，当时，无法得到，故不正确．对

解析：ABD 【详解】

解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：

()m a b ma mb -=-，故A 正确．

对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．

对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确．对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．

故选：ABD ．【点睛】

本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．

二、平面向量及其应用选择题

16．A 【分析】

设出()()()

11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得

()21

m AP AB m AD +=

+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，

所以()()()

11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，因为2CF DF =，所以11

DF DC AB ==，所以()21

m AP AB m AD +=

+-. 因为E 是BC 的中点，

所以11

AE AB BC AB AD =+

=+. 因为AP AE λ=，

所以()211132m AB m AD AB AD λ+??+-=+ ???

，则213

112m m λλ

+?=????-=??

，

解得3

λ=. 故选：A 【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 17．D 【分析】

由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入

303aGA bGB cGC ++=中可得3()03b a GB c a GC ??-+-

= ? ???,由,GB GC 不共线可得0

0b a a -=?-=?,即可求得,,a b c 的关系,进而利用余弦定理求解即可【详解】

因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=, 所以GA GB GC =--,

代入30aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ??-+-=

? ???, 因为,GB GC 不共线,所以

b a

c a -=?-=?,

即b a c =???=??,所以222cos 22b c a BAC bc +-∠==

,故30BAC ?∠=, 故选:D 【点睛】

本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角 18．A 【分析】根据题意得出

tan tan tan A B C

a b c

==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ?为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧

长. 【详解】

0a OA b OB c OC ?+?+?=，a b

OC OA OB c c

∴=-

-，同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c C

b B

c C ?-=-??∴??-=-??，

tan tan tan A B C

a b c

∴

==，由正弦定理得

tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111

cos cos cos A B C

==， cos cos cos A B C ∴==，

由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3

A B C π===

，设ABC ?的外接圆半径为R

，则22

sin a

R A

==，1R ∴=，所以，边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为222133

R A ππ?=?=. 故选：A. 【点睛】

本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 19．B 【分析】

由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】

①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得A B =或2

A B π

，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；

③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+ 可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，因为0A π<<，所以2

A π

=，因此③正确；

④由正弦定理

sin sin a b A B =

得sin sin a B b A ==，因为三角形有两解，所以

2,332

A B A πππ

>>=≠

所以sin A ?

∈????

，即)

b ∈

，故④错误.

故选：B 【点睛】

本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 20．A 【分析】

已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.

【详解】

ABC ?中，sin()sin A B C +=，

∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，

整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，

cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），

0A π<<

90A ∴=?，

则此三角形形状为直角三角形．故选：A 【点睛】

此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 21．B 【分析】

先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】

由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则()()()

0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．C 【分析】取,a b 夹角为3

，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】取,a b 夹角为3π

，则0a b -≠，12

a b ?=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C . 【点睛】

本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 23．C 【分析】

当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，