高中数学必修总复习练习题及答案
第1题．设α为第二象限角，且有cos
cos
2
2
α
α
=-，则
2
α
为（ ） Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角 答案：Ｃ
第2题．在Rt ABC △中，A B ，为锐角，则sin sin A B （ ）
Ａ．有最大值
1
2
，最小值0 Ｂ．既无最大值，也无最小值 Ｃ．有最大值
1
2
，无最小值 Ｄ．有最大值1，无最小值 答案：Ｃ
第3题．sin5sin 25sin95sin65-的值是（ ）
Ａ．
12 Ｂ．12
-
Ｄ． 答案：Ｄ 第4题．平面上有四个互异的点，，，A B C D ，已知(2)()0DB DC DA AB AC +--=·
，则ABC △的形状是（ ）
Ａ．直角三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等边三角形 答案：Ｂ
第5题．已知1(1
3)82A B ??
- ???
，，，，且向量AC 与向量BC 共线，则C 点可以是（ ） Ａ．(91)-， Ｂ．(91)-， Ｃ．(91)，
Ｄ．(91)--， 答案：Ｃ
第6题．已知三角形ABC 中，0BA
BC <·，则三角形ABC 的形状为（ ） Ａ．钝角三角形
Ｂ．直角三角形 Ｃ．锐角三角形 Ｄ．等腰直角三角形
答案：Ａ
第7题．已知αβ，均为锐角，且sin α=
，cos β=，求αβ-的值． 解：由π02α<<，π02β<<，得π02β-<-<，ππ
22
αβ-<-<，
又由已知可得cos α=
，sin β=，
所以有
2 sin()sin cos cos sin
αβαβαβ
-=-
=-，
所以
π
4
αβ
-=-．
第8题．如右图，三个全等的正方形并排在一起，则αβ
+=．
答案：45（或
π
4
）
第9题．在ABC
△中，若BC=a，CA=b，AB=c，且a b b c c a
==
···，则ABC
△的形状为
．
第10题．化简2
1sin4
-=．
答案：cos4
-
第11题．与(512)
a=，垂直的单位向量的坐标为．
答案：
125
1313
??
-
?
??
，或
125
1313
??
-
?
??
，
第12题．已知向量(12)(32)
==-
，，，
a b，当k为何值时，
（1）k+
a b与3
a b
-垂直
（2）k+
a b与3
a b
-平行平行时它们是同向还是反向
解：（1）k+
a b=(12)(32)(322)
k k k
+-=-+
，，，，3
a b
-(12)3(32)(104)
=--=-
，，，．
当（k+
a b）·（3
a b
-）0
=时，这两个向量垂直，
由10(3)(22)(4)0
k k
-++-=，解得19
k=．
即当19
k=时，k+
a b与3
a b
-垂直．
（2）当k+
a b与3
a b
-平行时，存在唯一的实数λ，使k+
a bλ
=（3
a b
-）．
由(322)(104)
k kλ
-+=-
，，，
得
310
224
k
k
λ
λ
-=
?
?
+=-
?
，解得
1
3
1
3
k
λ
?
=-
??
?
?=-
??
．
即当
1
3
k=-时，k+
a b与3
a b
-平行，此时k+
a b
1
3
=-+
a b，
1
3
λ=-，
1
3
a b
∴-+与3
a b
-反向．
第13题．如图所示，已知正方形ABCD ，P 点为对角线AC 上任一点，PE AB ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连结DP EF ，，求证DP EF ⊥． 证明：取基底a AB =，b AD =，则因为ABCD 为正方形， 所以有a b =，a b ⊥，即0a b =·． 因为点P 在正方形的对角线AC 上， 所以不妨设AP λ=()[01]λ+∈，，a b ，
则DP ()(1)λλλ=+-=+-a b b a b ，EB (1)λ=-a ，BF λ=b ， =+EF EB BF (1)λλλ=-+a b ，
=·EF DP 2
2
[(1)][(1)](1)(1)0λλλλλλλλ-++-=-+-=a b a b a b ·
， 即EF DP ⊥，所以有DP EF ⊥．
第14题．若tan m α=，π2πα<<，则sin α=（ ） Ａ．21m m + Ｂ．21m m ±+ Ｃ．
21m ±+
Ｄ．21
m
m ±
+ 答案：Ｃ
第15题．设αβ，为钝角，且5sin α=
，310cos β=-，则αβ+的值为（ ） Ａ．
3π4 Ｂ．
5π4
Ｃ．7π4 Ｄ． 5π4或7π4
答案：Ｃ 第16题．函数12
πlog sin 24y x ?
?=+ ???的单调递减区间为（ ）
Ａ．πππ4k k k ??
-+∈ ???
Z ，，
Ｂ．ππππ88k k k ??
-++∈ ???Z ，，
Ｃ．3ππππ88k k k ??
-++∈ ???Z ，，
Ｄ．π3πππ88k k k ??
++∈ ???
Z ，，
答案：Ｂ
第17题．若sin(180)
α+，则sec()sin(90)
csc(540)cos(270)
αααα-+------的值是（ ）
Ａ．13-
Ｂ．13
Ｃ．127
±
Ｄ． 答案：Ｃ
第18题．若(3cos 3sin 1)(2cos 2sin 1)A B ααθθ，，，，，，则AB 的取值范围是（ ） Ａ．[05]， Ｂ．[15]， Ｃ．(15)， Ｄ．[125]，
答案：Ｂ
第19题．若123
4P P P P ，，，四点共线，且依次排列，3P 是24P P 的中点，1213PP m PP n ==，，则14PP 等于（ ） Ａ．2m n -
Ｂ．2n m -
Ｃ．n m -
Ｄ．m n +
答案：Ｂ
第20题．已知π3sin 85α?
?-= ??
?，5π9π88α<<
，求2sin (sin cos )1ααα+-的值． 解：由5π9π88α<<
，得ππ
π28
α<-<， 所以π4cos 85α?
?-=- ???，
2π2sin (sin cos )12sin 2sin cos 1sin 2cos 224ααααααααα?
?+-=+-=-- ???
ππ34
cos 885525αα???
???=--=?-=- ? ? ????
???．
第21题．已知函数2()2cos 2f x x x a =++（a 为常数）， （1）若x ∈R ，求()f x 的单调递增区间；
（2）若π02x ??
∈????
，时，()f x 的最大值为4，a 的值．
解：2π()2cos 22sin 216f x x x a x a ?
?=+=+++ ??
?．
（1）由πππ2π22π262k x k k -++∈Z ，≤≤得()f x 的单调递增区间为ππππ36k k ?
?-+???
?，，
k ∈Z ；
（2）因为π02x ??∈????，，所以，当π6x =时函数π()2sin 216f x x a ?
?=+++ ??
?有最大值34a +=，
解得1a =．
第22题．已知函数1()cos2sin 24a f x x a x =+-的定义域为π02??
????，，最大值为2，求实数a 的
值．
解：2
22
111()cos 2sin (12sin )sin sin 24242442a a a a a f x x a x x a x x ??=+-=-+-=--+
-+ ???
． （1） 当
02a <时，
当0x =即sin 0x =时原函数取得最大值，既有1
242
a -+=，解得6a =-； （2） 当012a ≤≤时，当sin 2
a
x =时原函数取得最大值，即有212442a a -+=，
解得2a =-或3a =，均与012
a
≤≤矛盾，为增根，舍去；
（3）当12a >时，当π2x =即sin 1x =时原函数取得最大值，即有2
2
1122442a a
a ??--+
-+= ???
，解得10
3
a =
； 综上所述，实数a 的值为6-或103
．