向量组的线性有关性归纳

第四章 向量组的线性相关性

§1 n 维向量概念

一、向量的概念

定义1 n 个有次序的数12,,

,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数

i a 称为第i 个分量.

注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()

12,,

,n a a a a =,出可以写成一列的形式

12n a a a a ??

? ?

= ? ???

,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ?矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ?矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.

注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.

解 12v v -(1,1,

0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-

12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-

(31203,31214,30210)T =?+?-?+?-?+?-

(0,1,2)T =

定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。

§2 向量组的线性相关性

一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,

,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量

1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,

,m k k k 称为这个线性组合的系数.

定义4 给定向量组A :12,,

,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,

,m λλλ,使得

1122m m a a a b λλλ=++

+

则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.

注1任一个n 维向量12

n a a a a ?? ? ?= ? ???

都可由n 维单位向量组12,,

,n e e e 线性表示:

1122n n a a a a e e e =++

+ .

注2向量b 可由向量组A :12,,

,n a a a 线性表示（充要条件）

?方程组1122n n a a a x x x b ++

+=有解

m n A x b ??=有解

()(,)R A R A b ?=

注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β

由向量12,,,n a a a 线

性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。 二、向量组的等价 1、定义

定义5 设有两个n 维向量组12:,,

,m A a a a ,12:,,

,l B b b b ,若向量组B 中每个向量都可由向量组A 线

性表示,则称向量组B 可由向量组A 线性表示;若向量组A 与向量组B 可以互相线性表示,则称这两个向量组等价.

注1 向量组的等价是一种等价关系,即向量组的等价具有: 自反性、对称性、传递性. 2、向量组等价的条件 定理1向量组12:,,

,l B b b b 可由向量组12:,,,m A a a a 线性表示?存在矩阵K ,使B AK =.

证明 由于一个向量b 可由向量组A 线性表示可等价地表示成方程1122m m a a a b k k k =+++,那么若向量

组B 可由组A 线性表示,则对组B 的任意向量j b 有

1122j j j mj m b k k k ααα=+++1212,,,),j j

m mj k k k ααα??

? ?=

? ???

（1,2,

,j s =

? ()()

1212,,,,,,m s b b b a a a =112111222212

s s m m ms k k k k k k k k k ??

? ? ?

???

? B AK =.

注2 称矩阵()m s ij K k ?=为这个线性表示的系数矩阵或表示矩阵. 推论1 向量组12:,,

,l B b b b 可由向量组12:,,,m A a a a 线性表示

?存在矩阵K ,使B AK = ?矩阵方程AX B =有解 ?()(,)R A R A B =

推论2向量组12:,,

,m A a a a 与向量组12:,,,l B b b b 等价()()(,)R A R B R A B ==.

例3 设121231321311011,,,,1110213120a a b b b ?????????? ? ? ? ? ?

-- ? ? ? ? ?===== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-??????????

,证明向量组12,a a 与向量组123,,b b b 等价.

解

132131

32131

101102111(,)~111020

00001

31200

0000A B ???? ? ?--

?

?= ? ?

?

?

-????

()(,)2R A R A B ∴==

2131

021

020********~~1022

130

00120120000B ?????? ? ? ?---

?

?

?= ? ? ?

? ? ???????

()2R B ∴=()()(,)2R A R B R A B ∴=== ∴ 向量组12,a a 与向量组123,,b b b 等价.

例4 设123213

121

n

n n n βαααβαααβααα-=+++??=+++??

??=++

+?,证明向量组12,,,n ααα与向量组12,,,n βββ等价.

证明 记12(,,

,)n A ααα=,12(,,

,)n B βββ=,0111

011

1

0K ?? ?

?= ? ???

,则由已知有B AK =.

10

11101(

1)(1)01

1

n K n -=

=--≠

K ∴可逆1

A BK -∴=

∴向量组12,,

,n ααα可由向量组12,,,n βββ线性表示，从而两向量组等价.

三、线性相关与线性无关 1、向量组线性相关的概念

定义1 给定向量组12,,,:m a a a A ,若存在不全为零的数12,,

,m k k k ,使

11220m m k k k ααα++

+=

则称向量组A 是线性相关的.否则称它为线性无关. 注1 向量组1,

,m a a 线性无关?当且仅当10n λλ===时,才有11220n n λαλαλα+++=.

注2 对于一个向量组,不是线性相关,就是线性无关.

注3 只含一个向量a 的向量组,若0a =,则它线性相关;若0a ≠,则它线性无关. 注4 任一含有零向量的向量组线性相关.

注5 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.

注6 两向量线性相关的几何意义是两个向量共线;三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面. 2、向量组线性相关的条件 定理1 向量组12,,,:(1)m a a a A m >线性相关?A 中至少有一个向量可由其余向量线性表示.

证明 设向量组12,,

,:m a a a A 线性相关,则有不全为零的数12,,,m k k k 使11220m m k k k ααα+++=

不妨设10k ≠,则23123111m m k k k k k k αααα????

??

=-

+-++- ? ? ???????

,即1a 可由2,,m a a 线性表示;

反之,设向量组A 中有一个向量可由其余1m -个向量线性表示,不妨设为m a ,则存在实数121

,,,m λλλ-使 112211m m m a λαλαλα--=++

+,故()11221110m m m a λαλαλα--++

++-=.因为121,,,,1m λλλ--

这m 个数不全为零,所以向量组A 线性相关. 定理2 向量组12,,

,:m a a a A 线性相关

?有不全为零的数12,,

,m k k k 使11220m m k k k ααα++

+=.

?齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=有非零解.

?()R A m < ,其中12,,

,()m a a a A =.

推论1 向量组12,,

,:m a a a A 线性无关

?齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=只有零解.

?()R A m = ,其中12,,

,()m a a a A =.

推论2 m 个m 维向量组12,,

,m a a a 线性相关?0A = ,其中12,,

,()m a a a A =.

例3 设向量组123,,a a a 线性无关,112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+,讨论向量组123,,b b b 的线性相关性.

解法一 设存在123,,x x x 使1122330x b x b x b ++=,即112223331()()0,x x x αααααα+++++

=（）亦即 131122233)()()0. x x x x x x ααα+++++=（

123ααα，，线性无关

131223

00x x x x x x +=??

∴+=??+=? (1)

10111020011

=≠ ∴ 方程组(1)只有零解1230x x x === ∴ 向量组123,,b b b 线性无关.

解法二 记112312323101(,,),(,,),110,011x A a a a B b b b K x x x ????

? ?==== ? ? ? ?????

,设0Bx =

123123101(,,)(,,)110011b b b a a a ??

?= ? ???

B AK ∴= ()0A Kx ∴=

A 的列向量线性相关 0Kx ∴=又

20K =≠ 0x ∴=

∴ 向量组123,,b b b 线性无关.

解法三 记123123101(,,),(,,),110011A a a a B b b b K ??

?=== ? ???

123123101(,,)(,,)110011b b b a a a ?? ?= ? ???

B AK ∴=

20K =≠()()R A R B ∴=

向量组123,,a a a 线性无关()3R A ∴=()3R B ∴=

∴ 向量组123,,b b b 线性无关.

3、向量组线性相关的性质 性质1 若向量组12,,

,:m a a a A 线性相关,则向量组112,,,:,m m a a a a B +也线性相关;反之, 若向量组

112,,,:,m m a a a a B +也线性无关,则向量组12,,,:m a a a A 也线性无关.

注1 性质1的结论可以简述为:部分相关则整体相关,整体无关则部分无关. 证明 记12,,

,()m a a a A =11,,(,)m m a a a B +=,则()()1R B R A ≤+.由于若向量组A 线性相关,故

()R A m <,于是()()11R B R A m ≤+<+,从而向量组B 线性相关.

性质2 若n 维向量组11121212221212,,:,m m m n n nm a a a a a a a a a A a a a ??????

? ? ?

? ? ?=== ? ? ? ? ? ?????

??

线性无关,则n s +维向量组

111212122212121112112,

,:,m m m n n nm m s s sm a a a a a a B b a b a b a b b b b b b ????

??

? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?

?=== ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????

??

也线性无关. 注2 性质2可简述为:无关组添加分量后仍无关;反言之,相关组减少分量后仍相关.

证明 记12,,,()m a a a A =,12,,(,)m B b b b =,则()()R A R B m ≤≤.由于向量组A 线性无关,故

()R A m =,于是()R B m =,从而向量组B 线性无关.

性质3 当m n >时,m 个n 维向量线性相关.

注3 性质3可简述为:向量个数大于维数时必线性相关. 证明 记m 个n 维向量12,,

,m a a a 构成矩阵12,,

,()m m n a a a A ?=,则()R A n m ≤<,故向量组

12,,,m a a a 线性相关.

性质4 若向量组12,,

,:m a a a A 线性无关,而向量组12,,

,:,m a a a B b 线性相关,则向量b 可由向量组A

线性表示,且表示方式是惟一的. 证明 记12,,

,()m a a a A =1,,(,)m a a B b =.由于若向量组A 线性无关,故()R A m =,故

()()R B R A m ≥=;又由向量组B 线性相关知()1R B m <+.于是()1m R B m ≤<+,所以

()()R A R B m ==,方程组Ax b =有唯一解.这表明向量b 可由向量组A 线性表示,且表示方式是惟一的.

例4 设向量组123,,a a a 线性相关,而向量组234,,a a a 线性无关,证明

(1) 1a 能由23,a a 线性表示; (2) 4a 不能由123,,a a a 线性表示. 证明 (1) 向量组

234,,a a a 线性无关 ∴ 向量组23,a a 线性无关 又

向量组

123,,a a a 线性相关 ∴ 1a 能由23,a a 线性表示

(2) 设4a 能由123,,a a a 线性表示,由于1a 能由23,a a 线性表示,故设4a 能由23,a a 线性表示,矛盾. 4.向量组线性相关性的几种判定

向量组的线性相关的几种常用方法归纳如下： 1 定义法

这是判定向量组的线性相关性的基本方法，既适用于分量没有给出的抽象向量组，也适 给出的具体向量组.

定义 设向量组1a ,2a ,…, n a (n ≥1) ，若数域 F 中存在不全为零的数1k ,2k ,…,n k 使得1k 1a +2k 2a + …+n k n a = 0 ，则称向量组1a ,2a ,…, n a 线性相关，否则，则称向量组1a ,2a ,…, n a .

例 1：设1β =1a +2a , 2β = 2a +3a , 3β=3a +4a , 4β=4a +1a , 证明向量组1β,2β,3β,4β线性相. 证明：设存在四个数1k ,2k ,3k ,4k ,使得1k 1β+2k 2β+3k 3β+4k 4β = 0 ，将1β =1a +2a ,2β =2a ，

3β=3a +4a ,4β=4a +1a ,代入上式整理得 (1k +4k )1a +(1k +2k )2a +(3k +4k )3a +(3k +4k )4a = 0，则

令1k = 3k =1 ，2k =4k = 0 ，则有1k 1a +2k 2a +3k 3a +4k 4a = 0，所以由线性相关的定义知：

1β,2β,3β,4β线性相关.

2利用向量组的线性相关的充要条件

向量组1a ,2a ,…, n a (n ≥ 2) 的线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示.

而对于单个向量1a ，1a 线性相关的充要条件是1a = 0 .

如例 1，4β= 1β+2β+3β ，即β4可由其余三个向量线性表出，故向量组1β, 2β,3β, 4β线性相关 3 方程组法

方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题. 对于各分量都给出的向量组1a ,2a ,…, n a 线性相关的充要条件是以1a ,2a ,…, n a 的列向量 齐次线性方程组有非零解；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关. 例 2：讨论向量组1a = (1,-2,5), 2a =(0,2,-5),3a = (-1,0,2)的线性相关性. 解：以1a ,2a ,3a 为系数的齐次线性方程组是

1k -22k +33k = 0 & 01k +22k -53k = 0 & -11k +02k +23k = 0

解之得1k =23k =1c ， 2k =33k =2c (其中1c ，2c 为任意常数)，故1a ,2a ,3a 线性相关. 4. 矩阵秩法

矩阵秩法就是将向量组构成矩阵，利用矩阵的初等变换，将矩阵化为阶梯形矩阵. 当矩阵的秩小于向量的个数，向量线性相关；当矩阵的秩等于向量的个数，向量线性无关. 5 行列式值法

若向量组1a ,2a ,…,是由 n 个n 维向量所组成的向量组，且向量组1a ,2a ,…, n a 所构成的矩阵为

A = (1a ,2a ,…, n a ) ，即 A 为 n 阶方阵. 则

（1）当｜ A ｜= 0，则向量组1a ,2a ,…, n a 线性相关； （2）当｜ A ｜≠ 0，则向量组1a ,2a ,…, n a 线性无关.

§3极大线性无关组

一、定义

1.最大线性无关组：在向量组A ：s ααα,,,21 中，存在部分向量组ip i i ααα,,,21 满足：

（1）ip i i ααα,,,21 线性无关；

（2）对于向量组A 中任一个向量as ，都有ip i i ααα,,,21 ，as 线性相关。

则称ip i i ααα,,,21 是s ααα,,,21 的一个最大线性无关组，

2.向量组的秩：称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上面定义中ip i i ααα,,,21 是

s ααα,,,21 的一个最大线性无关组，则称s ααα,,,21 的秩为p ，记为12(,,,)s R p ααα=。

例：求向量组123(3,6,4,2,1),(2,4,3,1,0),(1,2,1,2,3),T T T

ααα=-=--=--

4(1,2,1,3,1)T α=-的秩及一个最大线性无关组，并将其余的向量用最大线性无关组表示。

分析：容易发现用定义的形式很难求秩和最大线性无关组，为此我们从方程组和矩阵之间的关系以及方程组和向量组之间的关系可以得到，向量组的秩及其最大线性无关组应该与其对应的矩阵的秩以及矩阵的最高阶非零子式之间有某种关系，为此我们给出：

定理：矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩；矩阵A 的行向量组的秩等于r 。 解：

()123432111

031103

1642264220

141,,,431143110

010212321230000103132110

000A αααα--??????

? ? ?

----- ? ? ? ? ? ?==→→---- ? ? ?

? ? ? ? ? ?--??????

所以1234(,,,)()3R R A αααα==，

123,,ααα是1234,,,αααα的一个最大线性无关组。（当然易见124,,ααα亦是1234,,,αααα的一个最大

线性无关组）

为了把4α用123,,ααα线性表示，把A 再变成行最简形矩阵

100101010

010000000

0A ?? ? ? ?→ ? ? ??

?

易见412ααα=+。（初等变换前后列向量组之间的线性表示形式是保持不变的）

2．注意

（1）向量组最大无关组一般不惟一；

（2）最大无关组中所含向量个数相同，即向量组的秩惟一； （3）若向量组线性无关，它的最大无关组是惟一的，就是它本身； （4）判断向量组的线性相关与线性无关性的方法：

① 由Ax o =的解是有惟一零解或有非零解来判断向量组的线性相关与线性无关性： n 维向量组12,,

,m ααα???线性无关:Ax=o 有唯一零解

线性相关:Ax=o 有非零解

② 由向量组的秩来判断来判断向量组的线性相关与线性无关性： 若12(,,

,)m R m ααα<，向量组线性相关；若12(,,,)m R m ααα=，向量组线性无关．

（5）矩阵的等价与向量组的等价有区别：两个矩阵的等价是它们同型且秩相等．而两个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示．但应注意，若矩阵A 与矩阵B 行（或列）等价，则A 的行（或列）向量组与B 的行（或列）向量组等价。

3．性质

（1）单位坐标向量组12,,

,n e e e 是n R 的一个最大无关组；

（2）向量组（I ）与它的最大无关组T 是等价的； （3）同一向量组的任意两个最大无关组是等价的； （4）两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相同；

（5）等价的向量组具有相同的秩；

（6）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．

3.求秩与极大无关组的常用方法

方法1 将向量组排成矩阵：

(列向量组时)或(行向量组时) (*)

并求的秩，则即是该向量组的秩；再在原矩阵中找非零的阶子式，则包含的个列(或行)向量即是的列(或行)向量组的一个极大无关组.

方法2 将列(或行)向量组排成矩阵如(*)式，并用初等行(或列)变换化为行(或列)阶梯形矩阵(或)，则(或)中非零行(或列)的个数即等于向量组的秩，且是该向量组的一个极大无关组，其中是(或)中各非零行(或列)的第1个非零元素所在的列(或行).

方法3 当向量组中向量个数较少时，也可采用逐个选录法：即在向量组中任取一个非零向量作为，再取一个与的对应分量不成比例的向量作为，又取一个不能由和线性表出的向量作为，继续进行下去便可求得向量组的极大无关组.

对于抽象的向量组，求秩与极大无关组常利用一些有关的结论，如“若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩”，“等价向量组有相同的秩”，“秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组”等.

§4线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组解的结构 1、齐次线性方程组解的性质

性质1 如果12,αα是方程0Ax =的解向量,则12αα+也是它的解; 性质2 如果α是方程0Ax =的解向量,k 为实数,则k α也是它的解. 注1 一般地,如果12,,

,s ααα是方程0Ax =的解向量,12,,,s k k k 为实数,则

1122s s k k k ααα+++也是它的解.

2、齐次线性方程组的基础解系

定义1 齐次线性方程组的解集{}|0S x Ax ==的最大无关组称为该方程组的基础解系. 定理1 设()R A r =,则n 元齐次线性方程组0Ax =的基础解系含n r -个向量.

(1) 方程组的解集S 中的任一向量x 可由12,,,n r ααα-线性表示;

(2) 12,,,n r ααα-线性无关.

所以12,,

,n r ααα-是解集S 的最大无关组,即12,,

,n r ααα-是方程0Ax =的基础解系.即齐次线性方程

组0Ax =的基础解系含n r -个向量. 3、齐次线性方程组的基础解系的求法

定理1给出了求齐次线性方程组0Ax =基础解的一种方法.即先求出齐次线性方程组的通解,再根据通解写出基础解系.实际上,可根据以下方法先求出基础解系,再写出其通解:

例1 求齐次线性方程组123412341

2340253207730

x x x x x x x x x x x x +--=??

-++=??-++=?的基础解系和通解．

第一步 将系数矩阵A 的用初等行变换化为行最简形为 解

1

1111

02732

5320154777

3

100

0~

A ----????

? ?=--- ? ? ? ?-?

?

?

?

第二步 根据矩阵B 写出原方程的同解方程

∴ 原方程组的同解方程为1342342377

5477x x x x x x ?=+????=+??

第三步 依次让自由未知量12,,

,r r n x x x ++取下列n r -组数

依次令341001x x ??????= ? ? ???????,得122

375747x x ??????= ?

? ???????,,于是方程组的基础解系为1227375747,1001ξξ????

? ?

? ?== ? ?

?

???

??

第四步 写出方程组的通解1122n r n r x c c c ααα--=+++.

∴ 方程组的通解为121212

342737547,(,)1001x x R c c c c x x ?????? ? ? ?

? ? ?=+∈ ? ? ? ? ? ???????

例2 求齐次线性方程组1234512345123451234543023550

32035670

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-=??+++-=??

-+--=??+++-=?的基础解系和通解． 解

1

11431

021*******

1131~11321000003

1

5

6

70

0A --????

? ?---

? ?= ? ?--- ? ?-????

∴ 原方程组的同解方程为1345

2345223x x x x x x x x =--+??=-+?

依次令3451000,1,0001x x x ????????

? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ?????????

得12212,,131x x --????????

= ? ? ? ?-??????

??,于是方程组的基础解系为 221,100ξ-?? ? ? ?= ? ? ???213,010ξ-?? ?- ? ?= ? ? ???321001ξ?? ? ? ?= ? ? ???

∴ 方程组的通解为112233x k k k ξξξ=++ (123,,k k k R ∈)

二、非齐次线性方程组解的结构 1、非齐次线性方程组解的性质

性质3 如果12,αα是方程Ax b =的解,则12αα-是对应的齐次线性方程组0Ax =的解;

性质4 如果α是方程Ax b =的解,而β是对应的齐次线性方程组0Ax =的解,则αβ+也是方程Ax b =的解. 例3 设1,

,s ηη是非齐次线性方程组Ax b =的s 个解，1,,s k k 为实数，满足121s k k k +++=.

定理2 设β是非齐次线性方程组Ax b =的一个特解, 12,,,n r ααα-是其对应的齐次线性方程组0

Ax =的基础解系, 则方程组Ax b =的任何一个解x 均可表示为

1122n r n r x k k k αααβ--=++++.

2、非齐次线性方程组的通解的求法

例4 求解方程组123412341

2340

31

231/2

x x x x x x x x x x x x --+=??-+-=??--+=-? 解 第一步 用初等行变换将增广矩阵(,)B A b =化为行最简形得

1

11101

101121

1131~0

0121211

2

3

120

00B ----????

? ?

=--- ? ? ? ?---?

???

第二步 如果()(,)R A R A b ≠,则方程无解;如果()(,)R A R A b n ==,则方程有惟一解,可根据B 直接写出方程组的解.;如果()(,)R A R A b n =<,则由B 写出原方程组的同解方程:

()()2,,R A R B ∴==故方程组有解并有1243412122

x x x x x ?=++???

?=+?? 第三步 令120r r n x x x ++==

=得方程组的一个特解11100r r r n x d x d x x β+????

? ? ? ?

? ?== ? ? ? ? ? ? ? ???

??

取240x x ==得方程的一个特解120120β??

? ?

?= ? ? ? ???

;

第四步 求对应的齐次线性方程组11111,2

2112,11,r n r n r n r n r r r r n r n

x b x b x x b x b

x x b x b x +-+-+-=---??=---????=--?的基础解系 在对应的齐次线性方程组124342 x x x x x =+??=?中依次令241001x x ??????= ? ? ???????,得131102x x ??????

= ? ? ???????

,,于是得对应的

齐次线性方程组的基础解系为11110,02012 αα???? ? ?

? ?== ? ? ? ?????

.

第五步 写出方程组的通解1122n r n r x c c c αααβ--=++

++.

∴ 方程组的通解为12

1212341112100,(,)0212010x x R c c c c x x ????????

? ? ? ? ? ? ? ?=++∈ ? ? ? ? ? ? ? ?????????

例5设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知123,,ηηη是它的三个解向量．且1

2345η??

?

?= ? ???

,

231234ηη?? ?

?+= ? ???

,求该方程组的通解.

解 设该四元非齐次线性方程组为Ax b =,由已知()3r R A ==,431n r -=-=,故其对应的齐次线性方

程组的基础解系含有一个向量.

123,,ηηη均为方程组的解 123,,A b A b A b ηηη∴===

123123(2)220A A A A b b b ηηηηηη∴--=--=--=

1232ηηη∴--是Ax b =对应的齐次线性方程组0Ax =的解向量.

由已知1231233422()56ηηηηηη?? ? ?--=-+= ? ???,故此方程组的通解：32435465x k ???? ? ?

? ?=+ ? ? ? ?????

,()k R ∈.