n05 地下洞室的围岩应力与围岩压力汇总

5 地下洞室的围岩应力与围岩压力

5.1 地下洞室的围岩应力计算及应力分布

5.1.1 概述

在岩体中开挖地下洞室，必然会破坏原来岩体内相对平衡的应力状态，并在一定范围内引起岩体天然应力状态的重分布。岩体的强度和变形特性是否适应重分布以后的应力状态，将直接影响地下建筑物的安全。为了正确评价地下建筑的稳定性，除进行必要的地质分析外，对围岩应力分布特征的分析和计算，也是评价围岩稳定性所必须的环节。

洞室开挖后，周围的岩石在一般情况下（侧压力系数<3）必然会在半径方向上发生伸长变形，在切线方向上发生压缩变形，这就使原来径向上的压缩应力降低，切向上的压缩应力增高，而这种降低和增高的程度随着远离洞壁逐渐减弱，达到一定距离后基本无影响。通常将应力的这种变化称为应力重分布（即原始的应力状态变化到新的平衡的应力状态的过程）。把应力重分布影响范围内的岩体称为围岩。围岩内的应力称为围岩应力或二次应力（相对与天然应力）。理论研究和实际测量结果表明，围岩应力的分布规律与开挖前岩体的天然应力状态及洞型等有关。 地下工程在设计、施工和使用时，总是要研究其稳定性问题。

在地下工程（井巷、隧道、洞室等）工作期内，安全和所需最小断面得以保证，称为稳定。稳定如果用公式来表示的话，就是：

U

u S <

无论无支护或有支护，凡涉及这方面研究的问题，统称为稳定性问题。

地下工程稳定性可分为两类：

（1）自稳——能长期自行稳定的情况，如天然石灰岩溶洞、某些金属采矿场等。通常不需要进行支护。

（2）人工稳定——需要依靠支护才能达到稳定的情况，如煤矿中的软岩巷道、表土洞室等，由于次生应力场的作用形成破碎带。

地下工程自身影响范围达不到地面的，称为深埋，否则称为浅埋。

深埋地下工程存在如下力学特点：

（1）可视为无限体中的孔洞问题，孔洞各方向的无穷远处仍为原岩体；

（2）当埋深Z 达到巷道半径或宽高之半的20倍及以上时，巷道影响范围内的岩体自重可忽略不计；原岩水平应力可以简化为均匀分布，通常误差不大（在10%以下）；

（3）深埋的水平巷道长度较大时，可作为平面应变问题处理。其他类型巷道或作为空间问题，或作为全平面应变问题处理。

对于地下工程稳定性问题，首先要分析研究岩体在工程开挖后的应力、位移的分布特征及其规律，并作出稳定性评价；然后根据评价结果，决定是否采取支护加固措施以及如何支护加固和加固的形式。本章介绍岩体开挖后的应力、位移的分布规律。

地下工程的稳定性问题目前主要通过三个途径来分析解决，即解析分析方法、数值分析方法和实验方法。

解析方法是指用一般数学力学方法通过计算可以取得闭合解的方法。在选择使用数学力学方法

时，要注意和岩体所处的物理状态相匹配。当地下工程围岩能自稳时，围岩处于全应力-应变的峰前曲线段，岩体属于变形体范畴，可以使用任何变形体力学方法研究。对于应力应变不超过弹性范畴时，最适宜用弹性力学方法研究；否则采用弹塑性力学或损伤力学方法研究。一旦岩体的应力应变超过峰值应力和极限应变，围岩进入全应力应变的峰后曲线段，岩体处于刚性滑移和张裂状态，属于刚体力学范畴，变形体力学方法不在适用，此时最适宜采用刚性块体力学的方法，或实验力学的方法，有时甚至可采用初等力学的方法研究。

能自稳的岩体，当然不需要支护。岩体处于峰后破坏状态时，不可能自稳，要依靠支护才能达到人工稳定。因此，凡有支护的场合，支护背靠的或紧邻的岩体一定是破碎的，而不会是弹性状态或弹塑性状态没有破裂的岩体。

解析方法可以解决的实际工程问题是很有限的，但通过对解析方法及其结果的分析，可以获得一些规律性的认识。

本章仅介绍弹性条件下围岩的应力计算及其分布特征。

5.1.2 弹性岩体中圆形水平洞室的围岩应力计算及应力分布特征

围岩应力与洞形有关，还与施工前的原岩应力有关。这里介绍在各种天然应力场中开挖圆形断面巷道时所引起的应力。研究时作如下假设：

（1）围岩是均质、各向同性、线弹性、无蠕变特性；

（2）巷道断面为圆形，其半径为R 0。

（3）巷道深埋（Z ≥20R 0），忽略围岩内的岩体自重，即巷道顶、底板处的天然应力是相等的；

（4）巷道的长度远大于巷道断面尺寸，可作为平面应变问题来研究；

1、静水压力式天然应力场

地壳深处，由于高压和高温，原岩应力有时可认为是

静水压力状态，再加上上述假设条件，就构成了结构和荷

载都是对称的轴对称平面应变圆孔问题。常见的工程中，

圆巷和圆井为此类问题。这个问题在弹性力学中已经得到

了解决，即按照弹性力学中的厚壁筒受均匀压力求解。

由于是轴对称的平面问题，为便于研究，通常将要研

究的对象置于极坐标系中，坐标原点在圆形巷道的中心。

在围岩中一点（r ，θ）处取一微小单元体，是宽度为dr 、

内弧长为rd θ、厚度为单位厚度的圆环体的一小段，如右

图（仅考虑自重应力，且侧压力系数K=1）。对这个微元

体进行受力分析，建立平衡方程为：

0=-+r

dr d r r θσσσ ——平衡方程 其中，σr 、σθ——径向应力、切（环）向应力，压为正，拉为负。

可见，一个方程，两个未知量，因此，仅有平衡方程无法求解。需要建立其他方程。

微元体在应力的作用下必然要发生位移，位移与应变之间根据应变的定义有：

r u dr du r r

r ==

θεε ——几何方程 几何方程与平衡方程表面上没有关系，需要将它们联系起来。联系的桥梁就是广义虎克定律（本构方程）：

???? ??---=???? ??---=r r r E E

σμμσμεσμμσμεθθθ11112

2

——物理方程(本构方程)

其中，u r ——径向位移；εr 、εθ——径向和环向应变。

这样，五个方程、五个未知量，考虑到问题的边界条件，就可得到一定边界条件下问题的解。 在上述假设条件下，边界条件可表示为：

内边界：r=R 0，σr=0（无支护，在巷道壁面上，径向应力完全解除，临空，径向上无约束）； 外边界：r →∞，σr=p 0（p 0为原岩应力。远离巷道的地方，应力不受开挖影响，保持原岩应力状态，由于是静水压力状态，因此，各方向应力相等，显然半径方向上应力也等于原岩应力）。

对上述方程进行联立求解，得应力计算公式为：

???

? ??±=???22001r R p r σσθ 公式的讨论：

（1）公式代表了巷道开挖后的应力重分布结果，

也就是次生应力场的应力分布（见右图）；开挖后，

径向应力减小了，切向应力增大了，往围岩深部，应

力渐趋于与原岩应力一致；

（2）径向应力和切向应力的分布与角度无关，

均为平面主应力，说明次生应力场也是轴对称的；

（3）应力大小与弹性常数E 和μ无关；

（4）巷道周边壁面上，径向应力为0，切向应

力为2p 0。即切向应力在巷道壁面处达到最大，且与

巷道的尺寸无关。如果2p 0超过岩石弹性强度极限时，

围岩将进入塑性状态。如果岩石是弹脆体，则当2p 0超过围岩的单轴抗压强度时，围岩将破坏；

（5）应力集中系数k ：

原岩应力

次生应力开挖前的应力开挖后的应力==k 则周边的k=2，为次生应力场的最大应力集中系数；

（6）如果定义以σθ高于1.05p 0或σr 低于0.95p 0为巷道影响圈边界，则影响圈半径约为5R 0；工程上有时以10%作为影响边界，则影响半径约为3 R 0。

应力解除法测定原岩应力时，通常取3R 0为影响圈的半径。有限元计算时，通常取5R 0的范围作为计算区域。其道理均为上述的结果。

2、一般原岩应力状态

一般情况下，由于各种原因，原岩应力并不是静水压力状态。此时，在前述假设条件下，并且竖向原岩应力为p 0，横向应力为ξp 0（ξ<1），与静水压力问题相比，本问题主要是原岩应力水平方向和铅直方向不相等（外部边界条件与静压压力不同）。对于圆形巷道，就构成结构对称，荷载仅对称于竖轴和横轴，但不是轴对称问题。

对于这样的问题，一般运用已有的解答采用分解（将原岩应力进行分解）和叠加的办法来解决。 通常将原问题分解为两个问题：

问题I 是静水压力式问题，即结构和荷载均为轴对称的问题。垂向和水平应力均为压应力，其大小为p=(1+ξ)p 0/2。

问题II 是水平、垂向应力值相等，但方向不同（当ξ<1时，垂向为压应力，水平为拉应力）的问题。垂直方向应力为()012

1'p p ξ-=，水平方向应力为- p ’。 于是，原问题的解=问题I 的解+问题II 的解。——叠加原理

问题I 的解前面已经知道了。问题II 的解决途径较复杂，具体参见弹性力学。

原问题的解为：

()()()()()θξτθξξσθξξσθθ2sin 3211212cos 3112111212cos 341121112144022004400220044022002200???

? ??-+-=???? ??+-+???? ??++=???

? ??+---???? ??-+=r R r R p r R p r R p r R r R p r R p r r

公式的讨论：

（1）当ξ=1时，问题转变为静水压力问题。轴对称问题是特例。

（2）巷道周边应力状况

在巷道壁面上，即r=R 0时，有σr =τr θ=0，σθ=(1+ξ)p 0+2(1-ξ)p 0cos2θ。可见在巷道壁面上，径向应力和剪应力均为零，而切向应力则随θ而变化。

当ξ=0时，σθ=p 0+2p 0cos2θ

θ=0?（横轴），σθ=3p 0；

θ=45?，σθ=p 0；

θ=90?（竖轴），σθ=-p 0（为拉应力）。

当ξ=1时，σθ=2p 0，巷道周边应力不随位置的改变而变化。

可见，一般情况下，当原岩应力在三个方向不相等时，在巷道周边可出现拉应力（出现在应力较小的方位）。竖轴（即原岩应力最小的方向）恰好不出现拉应力的条件为σθ=0，即(1+ξ)p 0+2(1-ξ)p 0=0，得31=

ξ。 当31=ξ时，()02cos 13

4p θσθ+= θ=0?（横轴），038p =

θσ； θ=45?，03

4p =θσ； θ=90?（竖轴），σθ=0。 由上可见，当31>ξ时，巷道周边不出现拉应力；31<ξ时，将出现拉应力；3

1=ξ时，恰好不出现拉应力。ξ=0时，θ=90?处拉应力最大。所以，ξ=0为最不利的情况，ξ=1为最稳定的情况。

（3）主应力状况

由上面的解答中τr θ=0即sin2θ=0，得主应力平面（该面上剪应力为零）角度为0?、90?、180?、270?。即水平和铅直平面为主应力平面。其余截面上均有剪应力。

（4）当ξ>1时，将θ改由铅直起算，公式及讨论与上述完全一样。应力变化见下图。下左图为应力与r 的关系图；下右图为应力与θ的关系图。

5.1.3 弹性岩体中非圆形洞室的围岩应力计算及应力分布特征

地下工程常用的断面一般为：

立井——圆形；巷道（隧道）——梯形、拱顶直墙。

较少使用的断面为：

立井——矩形；巷道（隧道）——矩形、圆形、椭圆形、拱顶直墙反拱。

对于非圆洞室，围岩应力的计算一般是很复杂的，通常利用复变函数加以解决。

1、椭圆洞室

椭圆形洞室在工程实际中不常见，但通过对椭圆洞室周边弹性应力分析，对于如何维护好洞室，从定性上很有启发意义。

在一般原岩应力状态（p 0、ξp 0、ξ<1或ξ>1）下，深埋椭圆巷道周边切向应力公式为：

θθθθθξθθθθθσθ2222222022222220sin cos cos cos 2sin sin cos cos sin 2sin m m m p m m m p +++-++-+=

其中，m ——椭圆轴比（竖轴与横轴之比）；θ——自竖轴起算的角度。

公式讨论：

（1）等应力轴比 令0=θσθd d ，得ξ

1=m ，代入σθ公式，有σθ=(1+ξ)p 0。可见，此时，σθ与θ无关，即巷道周壁各点切向应力相等。当切向应力处处相等时的椭圆巷道轴比称为等应力轴比。等应力轴比为ξ1

=m 。

等应力轴比对地下工程是最稳定的，因此又称为最优（佳）轴比。

等应力轴比与原岩应力的绝对值无关，只与ξ有关。因此，由ξ可以确定等应力轴比。如： 当ξ=1时，m =1，即椭圆长短轴相等，最佳断面是圆形；

当ξ=0.5时，m =2，椭圆竖轴是横轴的两倍，最佳断面为竖的椭圆；

当ξ=2时，m =0.5，椭圆横轴是竖轴的两倍，最佳断面为横的椭圆。 可见，椭圆的长轴平行于原岩最大主应力方向，且轴比满足ξ

1=m 时为最佳。实际工程中，只要条件许可，巷道断面应尽量满足或接近最佳轴比。否则就需要采取加强支护或其他措施。

（2）零应力轴比

当不能满足最佳轴比时，则考虑到岩体的抗拉强度最弱，可找出并满足一个不出现拉应力的轴

比，即零应力轴比，也是不错的。

周边各点要求的零应力轴比不同，通常优先照顾顶点和两帮中点这两处关键部位的零应力轴比。 对于顶点：θ=0?，σθ=-p 0+ξ (1+2m)p 0。当ξ>1时，σθ>0，不会出现拉应力。当ξ<1时，不出现

拉应力的条件是σθ≥0，即ξ(1+2m)p 0≥ p 0，无拉应力轴比为ξξ21-≥m （ξ<1）。零应力轴比为ξ

ξ21-=m （ξ<1）。

对于两帮中点：θ=90?，0021p p m ξσθ-??

? ??+=。ξ<1时，不会出现拉应力。ξ>1时不出现拉应力的条件是σθ≥0，即0021p p m ξ≥??

? ??+，无拉应力轴比为12-≤ξm （ξ>）。零应力轴比为12-=ξm （ξ>）。 由上面的分析可见，顶点和中点是不矛盾的。当ξ<1时应照顾顶点，当ξ>1时应照顾两帮中点。

2、矩形和其他形状断面洞室

矩形和其他形状断面洞室周边应力的计算很复杂，不同断面的计算公式不同，没有通式。一般采用光弹试验和有限元方法来解决。同时，矩形和其他断面围岩应力分布也很复杂。周边切向应力也是大的应力，应力大小与弹性参数无关，而与原岩应力的状态、巷道形状参数有关。应力在有拐角的地方往往有较大的集中，直边往往有拉应力。

5.1.4 塑性松动圈——弹塑性力学分析方法

从前面的分析可以看出，在岩体内开挖洞室后，周围的应力将发生明显的变化，形成围岩压力。其中切向应力较原岩应力大。由于岩体的弹性极限是有限的，因此一部分围岩中的应力可能超过岩体的弹性极限，则可进入塑性变形阶段，而围岩应力没有超过弹性极限的区域仍处于弹性变形阶段。因此，在围岩中可形成塑性区和弹性区。位于塑性区的围岩在强大的围岩应力作用下，可发生塑性变形甚至达到破裂而松动。因此，通常将围岩中围岩应力超过岩体的弹性极限而出现塑性变形和破裂的部分称为塑性松动圈（塑性区）。

塑性区的形状和范围，是确定加固方案、锚杆的布置和松散地压的主要依据。

塑性松动圈一般采用Kastner 方程进行计算。

1、基本假设

（1）深埋圆形水平巷道，无限长；

（2）原岩应力各向等压；

（3）围岩为理想弹塑性体。

2、基本方程

在上述假设条件下，为轴对称问题。对弹性区和塑性区应分别考察。

在弹性区，应力满足的方程与前面相同（平衡方程、物理方程、几何方程）。

在塑性区，平衡方程为：

0=-+r

dr d r r θσσσ 强度准则方程（因为塑性区岩体往往处于极限平衡状态，各应力间满足强度方程——极限平衡问题）为：

θ

θσθθσθsin 1cos 2sin 1sin 1-+-+=r ——C-M 准则 可见，塑性区内有两个未知应力两个方程，可以求解而不需要几何方程和物理方程（实际上塑性区的物理方程——应力—应变关系是很复杂的非线性关系）。

3、边界条件

分别列出弹性区和塑性区边界满足的条件。对于弹性区，其外边界为很远处的原岩应力区，内

边界为弹性区与塑性区的交界面（上述假设条件下该交界面为圆形）。塑形区的外边界为弹形区和塑形区的交界面，内边界为巷道壁面。在弹性区与塑性区交界面上，应满足应力连续条件。

弹性区的外边界：r →∞，σr =σθ=p 0；

弹性区与塑性区的交界面处，r=R p ，σr e =σr p ，σθe =σθp ；

巷道壁面处，r=R 0，σr =0（无支护）或σr =p （支护反力）。

4、解答

上述方程联立求解并考虑边界条件，可得弹性区与塑性区的应力计算公式和塑性区（塑性松动圈）半径R p 的计算公式：

弹性区应力：

()()()2

0sin 2sin 1000sin 1sin cos ???? ????????+-++±=???-r R Cctg P Cctg p p C p r ??θ?????σσ 塑性区应力：

()()????

?????-???? ??-++=-???? ??+=--???σ?σ??θ??Cctg R r Cctg p Cctg R r Cctg p r sin 1sin 20sin 1sin 20sin 1sin 1 塑性区半径为

()()?????sin 1sin 200sin 1-??????+-+=Cctg p Cctg p R R p ——Kastner 方程

或

()()?????Cctg R R Cctg p p p -???? ??-+=-sin 1sin 200sin 1——修正Fenner 方程

5、公式讨论

（1）塑性区半径与巷道半径成正比，与p 0成正比变化，与c 、?、p 等成反比变化关系；

（2）塑性区应力与原岩应力无关；

（3）支护反力p=0时，Rp 最大；

（4）指数?

?sin 2sin 1-可理解为拉压强度之比。可由莫尔圆与强度直线的几何关系可知，强度直线与横轴的交点可看作莫尔点圆，代表三轴等拉的抗拉强度，即c ?ctg ?；而单轴抗压强度?

?σsin 1cos 2-=C c ；二者之比为??sin 2sin 1-。 5.2围岩压力

5.2.1 概述

岩体内开挖洞室的结果，破坏了岩体原来平衡状态，引起了应力的重分布，使围岩产生变形。当重分布以后的应力达到或超过岩石的强度极限时，除弹性变形外还将产生较大的塑性变形，如果不阻止这种变形的发展，就会导致围岩的破裂，甚至失稳破坏。另外，对于那些被软弱结构面切割

成块体或极破碎的围岩，则易向洞室产生滑落和坍塌，使围岩失稳。为了保障洞室的稳定安全，必须进行支护以阻止围岩的过大变形和破坏，因此支护结构上也就受了力。围岩作用于支护上结构上的力就是围岩压力。

围岩压力的形成是由于围岩的过大变形和破坏而引起的。当岩石比较坚硬完整时，重分布以后的应力一般都在岩石的弹性极限内，围岩应力重分布过程中所产生的变形在开挖过程中就完成了，也就没有围岩压力。若进行支护多是为了防止风化作用等。

如果岩石的强度比较低，围岩应力重分布过程中不仅产生弹性变形，还产生较长时间才能完成的塑性变形，支护的结果限制了这种变形的继续发展，因而引起了围岩压力。因此，围岩压力主要是由于开挖洞室后所引起的二次应力使围岩产生过大的变形所引起的，这种围岩压力称为形变围岩压力。

在极破碎或被裂隙纵横切割的岩体中，围岩应力极易超过岩体强度，使破碎岩体松动塌落，直接作用在支护结构上。由塌落岩体的重量引起的围岩压力，称为塌落围岩压力或松动围岩压力。

在实际工程中常常遇到的既不是非常完整的岩体，也不是切割成碎块的破碎岩体，而是由一些较大的结构面将岩体切割成大的块体，在这种岩体中开挖洞室，大块体常常产生向洞内塌落或滑动。由塌落或滑动产生的围岩压力，称为块体滑落围岩压力。其本质与塌落围岩压力相似，是大块滑落岩体的重量对支护产生的压力。

围岩压力的产生及其大小与岩石的强度特征、地质结构特征密切相关，还与洞室的形状、大小、支护的刚度、支护的时间、洞室的埋深以及施工方法等有关。

对于较坚硬岩石，一般当洞壁切向应力值小于岩石的允许抗压、抗拉强度时，则认为洞壁是稳定的。否则，则不稳定，需要支护。作用在支护结构物上的围岩压力大小视具体情况的不同而不同。

对于不同原因产生的围岩压力采用不同的计算方法。对于形变围岩压力可采用弹、塑性理论；对于塌落围岩压力可采用松散围岩的围岩压力理论；对于块体塌落围岩压力采用块体极限平衡理论。

5.2.2弹、塑性理论计算围岩压力

由前述的计算塑性松动圈半径的Kastner 公式得

()()?????ctg c R R ctg c p p p ?-???? ??-?+=-sin 1sin 200sin 1 ——修正Fenner 方程

由修正Fenner 公式可以看出，围岩压力p 的大小与岩体的天然应力、围岩的强度参数c 、?、洞的大小以及塑性区的大小有关。围岩压力与塑性区半径成反比关系。当塑性区半径Rp 为极大值时，围岩压力p 为最小。当不允许出现塑性区时，即Rp=R 0时，围岩压力最大，其值为：

p=p 0(1-sin ?)-Ccos ?

如果能确定塑性区半径，就可利用Fenner 公式计算围岩压力。在实际工作中，塑性区半径的确定往往比较困难，一般通过测量洞室周边的位移来确定围岩压力。此法是在假定塑性区的体积不变的前提下推导出洞室周边位移与围岩压力的关系式：

()()()???????Cctg Cctg p Gu Cctg p R p R -+-??????+=-0sin 1sin 00sin 12sin

其中，G ——剪切模量；u R ——洞室周边的径向位移。

在实际工作中，洞室周边的径向位移由三部分组成：洞室开挖后到支护衬砌前洞壁径向位移u 0、衬砌与围岩之间回填层的压缩位移u 1以及支护衬砌后的支护衬砌位移u 2。其中，u 0取决于围岩性质和围岩的暴露时间，因而与施工方法有关。支护前的围岩位移往往在开挖过程中就完成了，不易确定。目前一般采用无支护时洞壁围岩位移与掘进时间的实测关系曲线来推算u 0值。u 1取决于回填层材料性质和填料的密实程度，对于喷锚支护可以认为无回填层，而采用压浆回填时可把回填层厚度

计入衬砌厚度，这两种情况的u 1均取为零。u 2取决于支护衬砌形式、形状和刚度，对于封闭式混凝土衬砌的圆形洞室，可按厚壁筒理论求得p 和u 2的关系式为：

???

? ??--+?=1221211μm m E R p u a 其中，E 1、μ1——衬砌材料的弹性模量和泊松比；m=R a /R b ；R a 、R b ——衬砌的内半径和外半径。

由上可知，作出p —u 0和p —u 2曲线，此两条曲线的交点所对应的应力值p 即为实际作用在支护衬砌上的实际围岩压力。

从上面的计算公式可以看出，是否允许出现塑性区，对围岩压力的影响是较大的。对于形变围岩压力，如何选择合理的支护结构，允许一定的的塑性变形区存在是很重要的课题。

5.2.3古典地压理论

早在1907年俄国著名学者普罗托季亚科诺夫创立了松散体地压学说（简称普氏理论）；1942年美国著名学者太沙基基于土力学提出了松散体理论（简称太沙基学说）。这两个学说曾产生过相当大的影响。近40年来，随着弹、塑性理论的发展和应用，古典地压理论被冷落。但是，从支护压力的分析来看，普氏的松散体假说，在一定程度上反映了特定的岩石的特性，因此，利用围岩状态的这种概化来估算某种地压大小的方法，还是有一定的学术意义和实用价值的。

1、普氏地压学说

普氏通过盛满干砂（c =0）的箱底开孔试验，说明箱中的砂最后会形成穹隆形平衡。这种穹隆以上的砂不再掉落的现象，称为拱效应。巷道顶部的岩石也有拱效应。

对于由于很多纵横节理、裂隙切割的岩体，完整性完全破坏，可以将他们看作具有一定粘聚力的松散体，洞室开挖后，首先引起洞顶岩石的塌落。根据大量的观察和散粒体的模型试验证明，这种塌落是有限的，当塌落到一定程度后，岩体进入新的平衡状态，形成一自然平衡拱（拱形穹隆，穹隆内的岩体全部冒落下来，穹隆以上的岩体不会冒落），并称这种拱为压力拱（下图a ）。压力拱的形状人们常用普氏理论来解释。普氏假设这种围岩是不具有内聚力的松散体。这种松散体的抗拉、抗剪、抗弯能力都极其微弱。因此，自然拱的切线方向只作用有压应力，自然拱以上的岩体重量通过拱传递到洞室两侧，而对拱内岩体无影向，故作用于衬砌上的垂直围岩压力当然就是压力拱与衬砌之间岩石的重量，而与拱外岩体无关。因此，正确决定拱的形状就成为计算围岩压力的关键。

将坐标原点置拱的最高点处，垂向向下为Y 轴，水平方向为X 轴，取压力拱的任一段OM （M 为拱线上的任一点）进行力的分析（上图b ），根据力矩平衡条件可得

202x R p y x

= 其中，p 0——原岩应力；Rx ——拱线在原点处的所受的支撑反力。可见，压力拱的形状为抛物线。

取半拱（拱线的顶端至一侧的底端）进行力的分析，根据力和力矩的平衡条件可得

拱脚垂向支撑反力为：N=a ?p 0

拱端水平方向支撑反力间关系为：T=Rx

拱的高度为

02p Rx

a h ?= 当拱处于极限状态时，T=N ?f ，由上述关系得Rx=N ?f 。为了安全，Rx

f

a h = 其中，a ——拱跨的一半；f ——普氏系数（岩石坚固性系数），其物理意义可理解为增大了的摩擦系数，因为普氏将围岩假设成象沙子那样的没有粘聚力的松散体，但实际上岩石总是有一定的粘聚力的，因此，普氏用提高摩擦系数来补偿这一缺陷。如假设的松散体和实际岩体，抗剪强度分别为

f f ?=στ1和c t

g f +?=?στ2

并使τf1=τf2，则σ?C

tg f +=，令f=tg ?’，则?’=arctgf ，?’为增大了的内摩擦角，它一般是σ的函

数。普氏系数f 一般根据岩石的单轴抗压强度来确定，即

?

?σsin 1cos 210110-??==c f c 普氏系数也可根据类比法与经验确定。常见岩石的f 值的经验数值见下表。

（1）洞顶垂直围岩压力

由前可见，洞顶的围岩压力等于洞顶以上压力拱与衬砌之间岩石的重量。取单位长度巷道进行计算，则垂向围岩压力为

1??=?=A V Pv γγ

A ——压力拱的面积。该面积可以通过积分求取。则有

γ?=f

a Pv 342

在工程实际中，为了便于计算支护结构的内力，往往将压力拱简化成矩形，其高度仍取a

f h =，则垂向围岩压力为

γγ?=??=f a h a Pv 2

22 单位面积洞顶的垂向围岩压力（集度）为γ?=f

a q v 。 如果岩石性质较差（如f <2），洞室开挖后不但顶部要冒落，两侧也可能不稳定而出现向洞内滑落，其滑动破裂面与铅直线之间的夹角为2

'45?-?，此时，压力拱将继续扩大直到形成新压力拱（右图），其拱跨为2a 1，2a 1由下式

确定：

??

? ??-??+=2'452221?tg H a a 新压力拱高度为

f

tg H f a f a h ??? ??-??+==2'4511? 其中，H ——洞高。洞顶垂向围岩压力应为洞跨2a 范围内

的压力拱下的岩体的重量。

如果将压力拱简化成矩形，则洞顶围岩压力集度为：

γ?=1h q v ，总顶压为γ???=12h a P v 。

（2）侧向围岩压力 洞帮不稳定，形成2

'45?-?破裂面，由该破裂面切割出的滑裂体向洞内滑移，滑移块体就会对支护产生围岩压力，称为侧向围岩压力。侧向围岩压力可以利用土力学中的朗肯土压力理论进行计算。

2、太沙基地压学说

太沙基理论是将地层看作松散体，从应力传送概念出发推导出作用于衬砌上的垂直围岩压力。 如右图所示，假设洞闹室顶部AB 月处，出现垂直破裂面AD 与BC 并延伸至地表，在ABCD 所包围的松散体中切取厚度为dz 的薄层单元，其受力情况如右图所示。该单元的两侧作用着摩擦力dF ，当薄片向下产生位移时，摩擦力dF 将薄层的位移影

响传至两侧围岩，因而引起所谓的应力传递现象。摩擦

力dF 可按库伦定律确定，亦即

()dz c tg dF H ?+?=?σ

若以ξ表示地面以下任一深度处的水平应力σH 与相

应的垂直应力σV 之比值，则σH =ξσV ，将此式代入上式，

有

()dz c tg dF V ?+?=?ξσ

薄层单元在垂直方向的平衡条件为

()()dz c tg a d a dz a V V V V ?+?++=?+?ξσσσσγ2222111

整理后得

11a c a tg dz d V V -=???

? ???+γσ?ξσ 解上述微分方程，可得

???

?????+?-=?-z a tg V

Ae tg c a 111?ξ?ξγσ 当z=0时，σV =p ，则常数A 为 11--?=c

a tg A γ?ξ 因此围岩压力计算公式为

z a tg z a tg V pe e tg c a 1111?ξ?ξ?ξγσ?-?-+???

?????-?-= 若c=0，p=0，z →∞，上式变为

?

ξγσtg a V ?=1 若c ≠0，p ≠0，z=H ，则有

H a tg H a tg V V

pe e tg c a P 1111?ξ?ξ?ξγσ?-?-+????????-?-== 如果洞室侧面出现与铅垂线相交成2

'45?-?角的滑裂面(右图)，其垂直围岩压力的计算与上述方法相同，只需将上式中的a 1以图中的a 代替即可

??

? ??-??+=2451?tg h a a 则围岩压力为

H a tg H a tg V pe e tg c a P ?ξ?ξ?ξγ?-?-+???

?????-?-=1