板块问题(详解)

板块问题

牛顿运动定律的应用

【例1】木板M 静止在光滑水平面上，木板上放着一个小滑块m ，与木板之间的动摩擦因数μ，为了使得m 能从M 上滑落下来，求下列各种情况下力F 的大小范围。

解析（1）m 与M 刚要发生相对滑动的临界条件：①要滑动：m 与M 间的静摩擦力达到最大静摩擦力；②未滑动：此时m 与M 加速度仍相同。受力分析如图，先隔离m ，由牛顿第二定律可得：a=μmg/m=μg

再对整体，由牛顿第二定律可得：F 0=(M+m)a 解得：F 0=μ(M+m) g

所以，F 的大小范围为：F>μ(M+m)g

（2）受力分析如图，先隔离M ，由牛顿第二定律可得：a=μmg/M 再对整体，由牛顿第二定律可得：F 0=(M+m)a 解得：F 0=μ(M+m) mg/M 所以，F 的大小范围为：F>μ(M+m)mg/M

【例2】如图所示，有一块木板静止在光滑水平面上，木板质量M=4kg ，长L=1.4m.木板右端放着一个小滑块，小滑块质量m=1kg ，其尺寸远小于L ，它与木板之间的动摩擦因数μ=0.4，g=10m/s 2，

（1）现用水平向右的恒力F 作用在木板M 上，为了使得m 能从M 上滑落下来，求F 的大小范围.

（2）若其它条件不变，恒力F=22.8N ，且始终作用在M 上，求m 在M 上滑动的时间. [解析]（1）小滑块与木板间的滑动摩擦力

f=μFN=μmg=4N…………①

滑动摩擦力f 是使滑块产生加速度的最大合外力，其最大加速度 a 1=f/m=μg=4m/s 2 …②

当木板的加速度a 2> a 1时，滑块将相对于木板向左滑动，直至脱离木板 F-f=m a 2>m a 1 F> f +m a 1=20N …………③

即当F>20N ，且保持作用一般时间后，小滑块将从木板上滑落下来。 （2）当恒力F=22.8N 时，木板的加速度a 2＇，由牛顿第二定律得F-f=Ｍa 2＇ 解得：a 2＇＝4.7m/s 2………④

设二者相对滑动时间为t ，在分离之前

小滑块：x 1=? a 1t 2 …………⑤ 木板：x 1=? a 2＇t 2

…………⑥ 又有x 2－x 1=L …………⑦ 解得：t=2s …………⑧

【例3】质量m=1kg 的滑块放在质量为M=1kg 的长木板左端，木板放在光滑的水平面上，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.1，木板长L=75cm ，开始时两者都处于静止状态，如图所示，试求：

（1）用水平力F 0拉小滑块，使小滑块与木板以相同的速度一起滑动，力F 0的最大值应为多少？

（2）用水平恒力F 拉小滑块向木板的右端运动，在t=0.5s 内使滑块从木板右端滑出，力F 应为多大？

（3）按第（2）问的力F 的作用，在小滑块刚刚从长木板右端滑出时，滑块和木板滑行的距离各为多少？（设m 与M 之间的最大静摩擦力与它们之间的滑动摩擦力大小相等）。（取g=10m/s 2）. 解析：（1）对木板M ，水平方向受静摩擦力f 向右，当f=f m =μmg 时，M 有最大加速度，此时对应的F 0即为使m 与M 一起以共同速度滑动的最大值。 对M ，最大加速度a M ，由牛顿第二定律得：a M = f m /M=μmg/M =1m/s 2

要使滑块与木板共同运动，m 的最大加速度a m =a M ， 对滑块有F 0－μmg=ma m

所以 F 0=μmg+ma m =2N 即力F 0不能超过2N （2）将滑块从木板上拉出时，木板受滑动摩擦力f=μmg ，此时木板的加速度a 2为 a 2=f/M=μmg/M =1m/s 2. 由匀变速直线运动的规律，有（m 与M 均为匀加速直线运动）木板位移 x 2= ?a 2t 2 ① 滑块位移 x 1= ?a 1t 2 ②

位移关系 x 1－x 2=L ③

将①、②、③式联立，解出a 1=7m/s2

对滑块，由牛顿第二定律得:F －μmg=ma 1 所以 F=μmg+ma 1=8N

（3）将滑块从木板上拉出的过程中，滑块和木板的位移分别为 x1= ?a 1t 2= 7/8m x 2= ?a 2t 2= 1/8m 【例4】（江苏省盐城市2008年高三第二次调研考试）长L 是1m ，质量M 是2kg 的长方形木板A 放在光滑的水平面上，在木板的左端放置一个质量m 是1kg 的物块B 。A 与B 之间的动摩擦因数μ是0.2，现用一个F 为8N 的水平恒力向右拉B 。要使B 从A 的右端滑出，则力F 至少要做多少功？

解析：（1）设力F 作用时间为t 1，则

a B =F-μmg/m =6m/s 2

a A =μmg/M=1m/s 2

相对运动距离△S 1=

2

1（a B - a A ）t 12

设撤去F 时B 的速度为υB 、A 的速度为υA 。经t 2时间后 B 正好滑到右端且速度与A 相同 a B '=μg=2m/s 2 方向向左 a A '=a A =1m/s 2

f f

22

B 2B 2A 2A 211S =t t S =t t 22

a a υυ''''+-

相对运动距离△S 2=2B A 21

(+)t 2

a a ''

由A 12=(t +t )a υ'

B 1B 2=t t a a υ'－

B A 1A B 2()t =(+)t a a a a ''－

得t 2 =5t 1/3

2

2B A 1B A 211()t (+)t =L 22

a a a a ''+－

t 1=

20

3

s

W F =F ·S B =F ·

2

1

a B t 12

W F ==3.6J 同步练习

1.如图所示，长方体物块A 叠放在长方体物块B 上，B 置于光滑水平面上.A 、B 质量分别为m A =6kg ，m B =2kg ，A 、B 之间动摩擦因数μ=0.2，开始时F =10N ，此后逐渐增加，在增大到45N 的过程中，则（ ）

A ．当拉力F ＜12N 时，两物块均保持静止状态

B ．两物块开始没有相对运动，当拉力超过12N 时，开始相对滑动

C ．两物块间从受力开始就有相对运动

D ．两物块间始终没有相对运动，但AB 间存在静摩擦力，其中A 对B 的静摩擦力方向水平向右

答案：D

2.如图所示，在光滑水平面上有一小车A ，其质量为m A =2.0kg ，小车上放一个物体B ，其质量为m B =1.0kg ，如图（1）所示。给B 一个水平推力F ，当F 增大到稍大于

3.0N 时，A 、B 开始相对滑动。如果撤去F ，对A 施加一水平推力F ′，如图（2）所示，要使A 、B 不相对滑动，求F ′的最大值F m .

答案：根据图（1），设A 、B 间的静摩擦力达到最

大值f m 时，系统的加速度为a.根据牛顿第二定律有：F=(m A +m B )a ① fm=mAa ②

代入数值联立解得：f m =2.0N ③

根据图（2）设A 、B 刚开始滑动时系统的加速度为a ＇，根据牛顿第二定律有：

图（1）

图（2）

f m =m Ｂa ＇ ④ F ｍ=(m A +m B )a ＇ ⑤ 联立解得：F ｍ=6.0Ｎ ⑥

3.如图所示，长为L =6m 、质量M =4kg 的长木板放置于光滑的水平面上，其左端有一大小可忽略，质量为m =1kg 的物块，物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，开始时物块与木板都处于静止状态，现对物块施加F =8N ，方向水平向右的恒定拉力，求：(g =10m/s 2） ⑴小物块的加速度；

⑵物块从木板左端运动到右端经历的时间。

答案：⑴设小物块的加速度为a 1，由牛顿第二定律得 F －μmg=ma １

代入数据得： a 1= 4m/s 2

⑵设小物块的加速度为a 2，由牛顿第二定律得：μmg=Ｍa ２ 由运动学规律可得： Ｌ＋?a 2t 2=?a １t 2 代入数据得：t =2s

4.如图所示，在光滑的桌面上叠放着一质量为m A ＝2.0kg 的薄木板A 和质量为m B =3 kg 的金属块B ．A 的长度L =2.0m ．B 上有轻线绕过定滑轮与质量为m C =1.0 kg 的物块C 相连．B 与A 之间的滑动摩擦因数 μ =0.10，最大静摩擦力可视为等于滑动摩擦力．忽略滑轮质量及与轴间的摩擦．起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，B 位于A 的左端（如图），然后放手，求经过多长时间t 后 B 从 A 的右端脱离（设 A 的右端距滑轮足够远）（取g =10m/s 2）．

答案：以桌面为参考系，令a A 表示A 的加速度，a B 表示B 、C 的加速度，s A 和s B 分别表示 t 时间 A 和B 移动的距离，则由牛顿定律和匀加速运动的规律可得 m C g-μm B g =（m C +m B ）a B μ m B g =m A a A

s B =?a B t 2 s A =?a A t 2 s B -s A =L 由以上各式，代入数值，可得:t =4.0s

5.（淄博市2008年第一次摸底考试）一小圆盘静止在一长为L 的薄滑板上，且位于滑板的中央，滑板放在水平地面上，如图所示。已知盘与滑板间的动摩擦因数为μ1，盘与地面间的动摩擦μ2。现突然以恒定的加速度a(a>μ1g)，使滑板端水平地面运动，加速度的方向水平向右。若水平地面足够大，则小圆盘从开始运动到最后停止共走了多远的距离？（以g 表示重力加速度）

解析：对圆盘在滑板上作匀加速运动过程，设圆盘刚离开滑板时，加速度为a 1，速度为v 1，位移为S 1；滑板的位移为S 。

对圆盘有 g a 11μ=

111t a v =

211121t a S =

对滑板有：2102

1

at S =

又：2/10L S S =-

对圆盘离开滑板后作匀减速运动过程，设圆盘刚离开滑板到静止的位移为S 2，加速度为a 2.

对圆盘有 g a 22μ-= 222

120s a v =-

因此圆盘从开始运动到最后停止的位移为

)

(2)(212211121g a gL

g a gL S S S μμμμμ-+-=+=

6．(苴镇中学)光滑水平面上有一质量为M 、长度为L 的木板AB ，在木板的中点有一质量为m 的小木块，木板上表面是粗糙的，它与木块间的动摩擦因数为μ．开始时两者均处于静止状态，现在木板的B 端加一个水平向右的恒力F ，则：

（1）木板和木块运动的加速度是多大？

（2）若在木板的B 端到达距右方距离为L 的P 点前，木块能从木板上滑出，则水平向右

的恒力F 应满足什么条件？

解：（1）木块运动的最大加速度为

g m

mg

a m μμ==

①

（2分）

若F ≤μ(m +M )g ，木板和木块一起做匀加速运动，根据牛顿第二定律，共同加速度为

m

M F

a +=

②

（2分）

若F >μ(m +M )g ，设木块、木板加速度分别为a 1、a 2，则

g a a m μ==1 ③ （2分）

M

mg

F a μ-=

2④ （2分）

(2) 设在木板的B 端到达距右方距离为L 的P 点时，木块恰能从木板上滑出，相对滑动时间为t ，水平向右的恒力F 0，则

2/212

1L t a =⑤ （2分） L t a =2

22

1 ⑥

（2分） 由③④⑤⑥式得 )2(0m M g F +=μ ⑦

（2分）

则在木板的B 端到达距右方距离为L 的P 点前，木块能从木板上滑出应满足 )2(m M g F +>μ ⑧ （2分）

7．（苏州中学）如图所示，质量M = 1kg 的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.1，在木板的左端放置一个质量m =1kg 、大小可以忽略的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数μ2=0.4，取g =10m/s 2，试求：

（1）若木板长L =1m ，在铁块上加一个水平向右的恒力F =8N ，经过多长时间铁块运动到木板的右端？

（2）若在木板（足够长）的右端施加一个大小从零开始连续增加的水平向左的力F ，试通过计算分析铁块受到的摩擦力f 随拉力F 大小变化的情况．并在图中画出f 随F 变化的图像。

13．

（1）研究木块m

F -μ2mg =ma 1

研究木板M

μ

2mg -μ1（mg +Mg ）=Ma 2 L =

12a 1t 2-12

a 2t 2

解得：t =1s （2）当F ≤μ1（mg +Mg ）时，f =0N 当μ1（mg +Mg ）

2

F

-1（N ） 当10N