高等数学(上册)知识点汇总
三角函数公式
等比数列的求和公式：
x x=x1?x x x
1?x
=
x1(1?x x)
1?x
等差数列求和公式：
x x=x(x1?x x)
2
=xx1+
x(x?1)
2
x
立方和差公式：
x3?x3=(x?x)(x2+xx+x2)
x3+x3=(x+x)(x2?xx+x2)
x x?x x=(x?x)[x x?1+xx x?2+?+xx x?2+x x?1]
对数的概念：
如果x（x>0，且x≠1）的x次幂等于x，即x x=x，那么数x叫做以x为底x的对数，记
作：log
x
x=x.
由定义知：
（1）负数和零没有对数；
（2）x>0，且x≠1，x>0；
（3）log
x 1=0，log
x
x=1，log
x
x x=x，x log x x=x.
对数函数的运算法则：
（）log
x (x?x)=log
x
x+log
x
x
（）log
x (x÷x)=log
x
x?log
x
x
（）log
x
x x=x log x x
（）log
x x=log x x
log x x
（）log
x x x x=x
x
log
x
x
三角函数值
导数公式：
（1）(x)′=0（2）(x x)′
=xx x?1
（3）(sin x)′=cos x（4）(cos x)′=?sin x （5）(tan x)′=sec2x（6）(cot x)′=?csc2x （7）(sec x)′=sec x tan x（8）(csc x)′=?csc x cot x
（9）(x x)′
=x x ln x（10）(x x)′=x x
（11）(log
x x)′=1
x ln x
（12）(ln x)′=1
x
（13）(xxx sin x)′=
√1?x2
（14）(xxx cos x)′=
√1?x2
（15）(xxx tan x)′=1
1+x2
（16）(xxx cot x)′=?1
1+x2
基本积分表：
（1）∫x d x=xx+x（x是常数），
（2）∫x x d x=x x+1
x+1
+x(x≠1)
（3）∫d x
x
=ln|x|+x
（4）∫d x
1+x2
=xxx tan x+x （5）∫tan x d x=?ln|cos x|+x （6）∫cot x d x=ln|sin x|+x
（7）∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+x （8）∫csc x d x=ln|csc x?cot x|+x
（9）∫d x
x2+x2=1
x
arctan x
x
+x
（10）∫d x
x2?x2=1
2x
ln|x?x
x+x
|+x
（11）∫
√x2?x2=arcsin x
x
+x
（12）∫d x
√x2+x2
=ln(x+√x2+x2)+x
（13）∫d x
√x2?x2
=ln|x+√x2?x2|+x
第一章函数与极限
第一节映射与函数
一、集合
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a ∈ A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a ? A.
全体非负整数即自然数的集合记作N，即N={0，1，2，…，n，…}；
全体正整数的集合为x+={1，2，…，n，…}；
全体整数的集合记作Z，即Z={…，?n，…，?2，?1，0，1，2，…，n，…}；
全体有理数的集合记作Q，即Q={x
x
| x∈x，q∈x+且p与q互质}；
全体实数的集合记作R.
如果集合A与集合B互为子集，即A ? B且B ? A，则称集合A与集合B相等，记作A= B.例如，设
A={1，2}，B={x | x2?3x+2=0}.
则A=B
若A ? B且A ≠ B，则称A是B的真子集，记作A? B.
不含任何元素的集合称为空集，规定空集Φ是任何集合A的子集，即Φ ? A.
设A、D、C为任意三个集合，则有下列法则成立:
（1）交换律A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A;
（2）结合律(x∪x)∪x=x∪(x∪x)，(x∩x)∩x=x∩(x∩x)
（3）分配律(x∪x)∩x=(x∩x)∪(x∩x)，(x∩x)∪x=(x∪x)∩(x∪x)
（4）对偶律(x∪x)x=x x∩x x，(x∩x)x=x x∪x x
二、映射
定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作
f：X → Y
其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作了f(x)，即
y=f(x)
而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作x x，即x x=x；X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作x x或f(x)，即
x x=x(x)={x(x)|x∈x}
三、函数
定义设数集D?R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，通常简记为
y=x(x)，x∈D
其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作x x，即x x=x.
如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.
在自变量的不同变化围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.
函数的几种特性：
（1）函数的有界性
如果存在正数M，使得
|x(x)|≤x
对任一x∈x都成立，则称函数x(x)在x上有界·如果这样的x不存在，就称函数x(x)在x上无界;这就是说，如果对于任何正数x，总存在x1∈x，使|x(x1)|>x，那么函数x(x)在x上无界.