整数规划的两种数学模型解法
运筹学整数规划
运筹学整数规划
运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：
max/min c^T x
s.t. Ax ≤ b
x ≥ 0
x ∈ Z
其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是
约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难
的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
数学建模中的整数规划与混合整数规划
数学建模作为一种解决实际问题的方法，旨在从实际问题中抽象出数学模型，
并运用数学方法来对模型进行分析和求解。在数学建模过程中，整数规划与混
合整数规划是两种常用的数学工具，适用于解决许多实际问题。
整数规划是指在约束条件下，目标函数为整数变量的线性规划问题。而混合整
数规划是在整数规划的基础上，允许部分变量为实数，部分变量为整数。这两
种规划方法可以广泛应用于许多领域，如物流、生产规划、资源分配等。
整数规划的一个经典问题是背包问题。假设有一个容量为C的背包，有n个物品，每个物品有自己的重量w和价值v。目标是在不超过背包容量的情况下，
选择装入背包的物品，使得背包中的物品总价值最大化。这个问题可以用整数
规划的方式进行建模和求解，将每个物品视为一个二进制变量，表示是否选择
该物品，目标函数为物品价值的总和，约束条件为背包容量不能超过C。通过
对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到整数规划模型，并利用整数规
划算法进行求解，得到最优解。
混合整数规划在实际问题中更为常见。一个典型的实际问题是运输网络设计问题。假设有一组供应地和一组需求地，需要建立供需之间的运输网络，以满足
需求地对各种商品的需求，同时要考虑供给地的产能限制和运输成本。这个问
题可以用混合整数规划的方法进行建模和求解。将供需地视为节点，建立连通
性矩阵表示供需之间的运输路径，将路径的运输量作为决策变量，目标函数可
以是运输成本的最小化，约束条件可以包括供给地产能限制和需求地需求量的
满足。通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到混合整数规划模型，并利用相应的求解算法进行求解，得到最优的运输网络设计方案。
运筹学第5章：整数规划
b
5/3 5/2 -2/3 2 2 1
x1
1 0 0 0 1 0 0 0
x2
0 1 0 0 0 1 0 0
x3
1/3 0 -1/3 -1/3 1/2 -1/4 1/2 -1/4
x4
-1/3 1/2 -2/3 -1/6 0 0 1 0
x5
0 0 1 0 -1/2 3/4 -3/2 -1/4
由上表可知，增加约束条件后的线性规划问题最优解为 X*=(2，2，0，1，0)T，因此，原整数规划问题的最优解为X*=(2， 2)T，其最优值z*=4。
第五章 整数规划
(Integer Programming)
整数规划的基本问题及其数学模型 割平面法 分枝定界法 0-1整数规划 指派问题 WinQSB软件应用
第一节 整数规划的基本问题 及其数学模型
一、问题的提出
实际工作中的某些规划问题要求部分变量或全部变量取整 数值，我们称这样的问题为整数规划问题(Integer Programming，IP)。不考虑整数要求，由其他约束条件和目标 函数构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题(Slack Problem)。若松弛问题是一个线性规划问题，我们称该整数规 划问题为整数线性规划(Integer Linear Programming—ILP)。 【例5-1】某工地需要长度不同、直径相同的成套钢筋，每 套钢筋由两根7米长和七根2米长的钢筋组成。现有长15米的圆 钢毛坯150根，应如何下料，使废料最少？ 解：本题中没有说明15米长的圆钢毛坯有哪些下料方式， 故需要首先找出下料方式。将15米长的圆钢毛坯切割为7米和2 米两种长度的钢筋有三种方式，如表5-1所示。
整数规划模型
王秋萍：整数规划模型
27
定理2 若矩阵A=[aij]的元素可分成“0”与非“0” 两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不 同行不同列的“0”元素的最大个数。
王秋萍：整数规划模型 17
L1:
max z = 3x1 + 2 x2
L2:
max z = 3 x1 + 2 x 2
s.t. ⎧2 x1 + 3 x 2 ≤ 14 ⎪ x + 0.5 x ≤ 4.5 ⎪ 1 2 ⎨ x2 ≤ 2 ⎪ ⎪ ⎩ x1 , x 2 ≥ 0
s.t. ⎧2 x1 + 3 x2 ≤ 14
于是
⎧0, 当x j = 0 yj = ⎨ ⎩1, 当x j > 0
n j =1
min z = ∑ ( c j x j + k j y j )
s.t.
王秋萍：整数规划模型
9
例 企业计划生产4000件某种产品，该产品可以以 加工，外协加工任意一种形式生产。已知每种生产形式 的固定成本、生产该产品的变动成本以及每种生产形式 的最大加工数量（件）限制如表所示，怎样安排产品的 加工使总成本最小。 固定成本(元) 本企业加工 外协加工Ⅰ 外协加工Ⅱ 500 800 600
j = 1, 2, 3 ⎧ x j − My j ≤ 0 ⎪ x + x + x ≥ 4000 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ x1 ≤ 1500, x2 ≤ 2000 ⎪ ⎩ x j ≥ 0, y j = 1或0, j = 1, 2, 3
一般的整数规划模型的建立与求解
3
一、一般的整数规划模型的建立与求解
解下列整数规划模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
注意，这里线性松弛模型的可行解的区域 （多边形）包含了整数规划的可行解的集合（多 边形内的整数点），因而线性松弛模型的解要优 于整数规划的解。
6
一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
松弛模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0
解为（2.5,2）
7
一、一般的整数规划模型的建立与求解
（二）模型解法之二：穷举法 先忽略整数的限制，求解其松弛模型。自然要 求松弛模型的可行解是一个有界区域；否则没办法 进行穷举求解。 如同求解一般线性规划，先画出由诸不等式约 束确定的多边形。但是这里的可行解由在该多边区 域内的有限多个整数点构成。
数学建模理论与实践
—— 基于整数规划的数学建模
第五章整数规划
Fb － Fa Xj 0
－Fa Xj -Fb
可以证明此条件满足上述两个基本性质。可以作
为增加的约束条件。
二、解纯整数规划的割平面法 第五章
割平面法求解步骤： 1. 求解原问题的松驰问题； 2. 若最优解全为整数，则达到最优；否则转3； 3. 从最优单纯形表中选择具有最大小数部分的非整
分量所在行构造割平面约束条件； 4. 将新约束条件加入原问题最优单纯形表，求解； 5. 返2。
yij ( i=1,2,3, j=1…4)由 i仓库向 j商店运货量
3
34
min Z bi xi
Cij yij
i1
i1 j1
y11 + y21 = d1 y12 + y22 + y32 = d2 y23+ y33 = d3 y14 + y24 + y34 = d4 s.t. x1 + x2 + x3= 2 y11 + y12 + y14 a1x1 y21 + y22 + y23 + y24a2x2 y32 + y33 + y34 a3x3 xi 为0－1， yij 0
一、数学模型及解的特点 第五章
松弛问题的解：甲 4.8 调整 ：
乙0
1 ） “ 凑整” 甲 5 乙 0
2 ） “ 舍尾” 甲 4 乙 0
整数规划问题的数学模型
指派问题的特殊形式
例：
任务 I
人
II
III
IV
甲
8
4
6
20
乙
3
9
5
12
丙
6
13
11
18
丁
10
2
8
17
戊
9
7
17
15
指派问题的特殊形式
例：
任务 I
人
II III IV V
甲
8
4
6
20
0
乙
1
x13 x14 x15 x16 3
x
j
0,1;( j
1, 2,...16)
❖ 该问题的决策变量仅限于取0或1两个值，因 此为0－1整数规划问题． 0－1规划可以是线 性的，也可以是非线性的，0－1线性规划的 一般模型为：
n
max(min) Z cj xj j 1
s.t.
n j 1
x31
x32
x33
x34
1
x41 x42 x43 x44 1
s.t.
x11
x21
x31
x41
1
x12
x22
x32
x42
1
x13 x23 x33 x43 1
x14
x24
x34
整数规划
1 0 X * = 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
从而导出匈牙利解法的思想：
二. 匈牙利解法 匈牙利法是1955年由库恩（W. W. Kuhn）根据匈牙利 数学家狄·考尼格（d. konig)关于矩阵中独立零元素的定理 发明的。 匈牙利法的基本原理： 定理1 将效率矩阵的某一行（或某一列）的各个元素都减去 同一个常数c (c可正可负），得到新的矩阵，则以新矩阵为 效率矩阵的指派问题与原指派问题的最优解相同。但其最 优值比原最优值减少c 。
最多有3个独立0元素！
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 0 5 6 7 8 0 0
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 7 5 6 0 8 0 3
至于如何找覆盖零元素的最少直线，通过例子来说明。 例1 现有一个4×4的指派问题，其效率矩阵为：
B1
B2
B3
B4
B5
C=
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
-4
8 7 15 12 0 1 1 9 5 9 17 14 7 3 2 11 8 0 9 12 6 10 → 2 2 6 0 3 7 14 8 10 2 0 8 2 3 2 2 0 4 1 9 6 10 8
整数规划模型
整数规划模型
整数规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题。在整数规划中，决策变量必须是整数。这种模型广泛应用于工程、科学、运筹学和管理等领域。
整数规划模型的一般形式如下：
\[\text{maximize} \quad c^Tx
\]\[\text{subject to} \quad Ax \leq b
\]\[x_j \text{整数} , j = 1,2,...,n
\]
其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是n维向量，表示决策变量；A是m×n维矩阵，表示约束条件的系数
矩阵；b是一个m维向量，表示约束条件的上界。
整数规划模型的目标是找到一个满足约束条件的决策变量向量x，使得目标函数值最大或最小。由于决策变量必须是整数，
所以整数规划模型要比普通的线性规划模型更复杂。
整数规划模型可以应用于许多实际问题。例如，一个公司要决定生产哪种产品以最大化利润，但每种产品有一定的生产限制，需要整数规划模型来确定生产量；一个配送中心要决定如何分配物流资源以最小化成本，但每个分配决策都必须是整数，需要整数规划模型来求解。
求解整数规划模型可以使用多种算法。例如，分支定界算法通
过将问题分解为一个个子问题，并通过剪枝策略来减少搜索空间，最终找到最优解；约简与延迟约束算法通过线性松弛将整数规划转化为一个松弛线性规划问题，并通过迭代加入约束条件来逼近整数解。
整数规划模型的求解过程需要注意一些问题。首先，由于整数规划是一个NP难问题，没有通用的多项式时间算法可以解决所有情况。其次，整数规划模型可能有多个最优解，求解算法可能只能找到其中一个最优解。最后，整数规划模型的求解过程可能需要大量的计算资源和时间。
整数规划和多目标规划模型
1 整数规划的MATLAB 求解方法
用MATLAB 求解一般混合整数规划问题
由于MATLAB 优化工具箱中并未提供求解纯整数规划和混合整数规划的函数，因而需要自行根据需要和设定相关的算法来实现。现在有许多用户发布
2 1
的工具箱可以解决该类问题。这里我们给出开罗大学的 Sherif 和 Tawfik 在
MATLAB Central 上发布的一个用于求解一般混合整数规划的程序，在此命名 为 intprog ，在原程序的基础上做了简单的修改，将其选择分枝变量的算法由自
然序改造成分枝变量选择原则中的一种，即:选择与整数值相差最大的非整数 变量首先进行分枝。 intprog 函数的调用格式如下:
[X,fval,eXitflag]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,M,TolXInt eger)
该函数解决的整数规划问题为：
min s.t
f Ax T
cX b A eq X
b eq
lb X ub X i 0 (i 1,2, ,n)
X j 取整数(j M )
在上述标准问题中，假设X 为n 维设计变量，且问题具有不等式约束 m i 个, 等式约束m 2个，那么:
c 、X 均为n 维列向量，b 为m 1维列向量，b eq 为m 2维列
向量，A 为rni j n 维矩阵，A eq 为m 2 n 维矩阵。
在该函数中，输入参数有 c,A,b,A eq,beq,lb,ub,M 和 TolXInteger 。其中 c 为 目标函数所对应设计变量的系数， A 为不等式约束条件方程组构成的系数矩阵，
0-1整数规划
0—1型整数规划模型
1. 0—1型整数规划模型概述
整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。
0—1型整数规划的的数学模型为：
目标函数 n n x c x c x c z Min Max +++= 2211)(
约束条件为：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧==≥≤++=≥≤++=≥≤++1
| 0 ) ,() ,() ,(2211222221211
1212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,2
1
这里，0 | 1表示0或1。
2. 0—1型整数规划模型的解法
0—1型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量
n
x x x , , ,21 的每一个0或1值，均比较其目标函数值的大小，以从中求出最优解。这种方法一般适用于决策变量个数n 较小的情况，当n 较大时，由于n 个0、1的可能组合数为n
2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，
也几乎是不可能的。隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。此时，就只能用穷举法了。
第五章 整数规划
整数规划的数学模型及解的特点
设
数学模型如下：
要求每人做一项工作，约束条件为：
整数规划的数学模型及解的特点
每项工作只能安排一人，约束条件为：
变量约束：
整数规划的数学模型及解的特点
⑵ x2 3 B
⑴ (18/11,40/11) A C ⑶
1 1 3 x1
∵Z(2)< Z(1)＝－16
∴原问题有比－16更小的最优 解，但 x2 不是整数，故继续分 支。
分支定界法
在IP2中分别再加入条件： x2≤3, x2≥4 得下式两支：
分别求出LP21和LP22的最优解
分支定界法
先求LP21,如图所示。此时D 在 点取得最优解。 即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3, Z(21)＝-87/5≈-17.4 < Z(1)=-16 但x1＝12/5不是整数，可继续分 枝。即 3≤x1≤2。 求LP22，如图所示。无可行解 ，故不再分枝。
0 x4 1/4 1/4 -1/4
0 x5 0 0 1
cj-zj
1 1 0 c j-z j x2 x1 x3 1 1 1
0
0 1 0 0
0
1 0 0 0
-1/2
数学建模-整数规划
x1 ≥ 2
LP 2 ： x1 2 , x 2 23 9 ,Z 41 9
x1 ≤ 1
L P1 ： x1 1, x 2 7 3 ,Z 10 3
41 9
10 3
x2 ≥3
x2≤2
L P 3：
LP 4： 无 解 ， 查 清
x1 ≥3
61
61 14
x1
33 14
, x2 2, Z
xi xi ; xi xi 1
0 0
依次在缩小的可行域中求解新构造的线性规划的最优解， 并重复上述过程，直到子问题无解或有整数最优解（被 查清）。
数学建模之整数规划
在分支的过程中，若当前已经得到的满足整数要求 的最优值为 z m ，则该 z m 就可是作为一个过滤条
1 2
14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x1 , x 2 0
数学建模之整数规划
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有 z = 29/6 现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得到4 个点即(1，3) (2，3) (1，4) (2，4)。显然，它们都不可能 是整数规划的最优解。
数学建模之整数规划
纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数 （这时引进的松弛变量和剩余变量可以不要求取 整数）。 全整数规划：除了所有决策变量要求取非负整 数外，系数aij和常数bi也要求取整数（这时引进 的松弛变量和剩余变量也必须是 整数）。 混合整数规划：只有一部分的决策变量要求取 非负整数，另一部分可以取非负实数。 0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两 个整数。
第4章 整数规划模型
用cij＞0 (i, j =1, 2, … , n )表示指派第i个人去完 成第j项任务时的效率(时间或成本等), (cij )n×n称为 效率矩阵. 如果设xij = 1表示指派第i个人去完成第j 项任务, xij = 0表示指派第i个人不去完成第j项任务, 注意到每项任务只能指派一人去完成, 每人只能完
但由于用整数规划方法 求整数最优解需花费 较多的人力和计算机机时, 因此,在处理经济活动 中的某些实际问题时,如果允许目标函数值在某一 误差范围内,有时也可采用“舍入取整”所得的整 数可行解作为原问题整数最优解的近似解.
设 X*是原整数规划问题的最优解, X是其松弛 问题的非整数最优解, X ~是“舍入取整”得的整数 可行解, d为给出目标函数值的允许误差.
同理对于最小化问题，其相应非整数规划问题 的最优值就是原整数规划问题最优值的下界.
二、注意事项(以下均对最大化问题进行讨论)
1.若子问题的最优解满足整数性约束，则不再 分枝，其相应的目标函数值就是原整数规划问题最 优值的一个下界.
当该值大于原下界时，则将其定为新的下界.
2. 对不满足整数性约束的子问题,若其最优值 大于下界时,则继续分枝;若其最优值不大于下界， 则停止计算(不再分枝).
显然,利用0-1变量处理一类“选择问题”是 非常方便的.
下面再进一步说明各种情况下的“选择”以
及相应的数学模型.
数学建模常用算法模型
数学建模常用算法模型
在数学建模中，常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。下面将对这些算法模型进行详
细介绍。
1.线性规划：
线性规划是一种用于求解最优化问题的数学模型和解法。它的目标是
找到一组线性约束条件下使目标函数取得最大（小）值的变量取值。线性
规划的常用求解方法有单纯形法、内点法和对偶理论等。
2.整数规划：
整数规划是一种求解含有整数变量的优化问题的方法。在实际问题中，有时变量只能取整数值，例如物流路径问题中的仓库位置、设备配置问题
中的设备数量等。整数规划常用的求解方法有分支界定法和割平面法等。3.非线性规划：
非线性规划是一种求解非线性函数优化问题的方法，它在实际问题中
非常常见。与线性规划不同，非线性规划的目标函数和约束函数可以是非
线性的。非线性规划的求解方法包括牛顿法、拟牛顿法和全局优化方法等。
4.动态规划：
动态规划是一种用于解决决策过程的优化方法。它的特点是将问题划
分为一系列阶段，然后依次求解每个阶段的最优决策。动态规划常用于具
有重叠子问题和最优子结构性质的问题，例如背包问题和旅行商问题等。5.图论算法：
图论算法是一类用于解决图相关问题的算法。图论算法包括最短路径算法、最小生成树算法、网络流算法等。最短路径算法主要用于求解两点之间的最短路径，常用的算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。最小生成树算法用于求解一张图中连接所有节点的最小代价树，常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。网络流算法主要用于流量分配和问题匹配，例如最大流算法和最小费用最大流算法。
3整数规划模型
表3.2 工人加工零件的工作效率
A
甲
4
乙
6
丙
7
丁
9
B
C
D
6
5
8
10
7
4
8
11
9
3
8
6
1）模型建立. 决策变量：设表示第个人去加工零件的情况，即
1,当指派第i人去加工j零件时， xij 0,当不指派第i人去加工j零件时，
目标函数：问题使总的花费时间最少，用z表示 总的花费时间，则目标函数为 z 4x11 6x12 5x13 8x14 6x21 10x22 7x23 4x24 7x31 8x32 11x33 9x34 9x41 3x42 8x43 6x44
2）模型建立。
决策变量：用表示按第种模式切割的原料钢管的根 数，显然它们应当是非负整数。
目标函数：以切割后剩余的总余料量最少为目标， 则由表3.1可得
z1=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有
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规划模型求解
指导老师：
组员：
组员分工
实际的内容：
1·简要介绍线性规划的历史
线性规划是运筹学中最基本、应用最广泛的分支。规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型，1939年，苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中的数学方法》一书.
1947年，美国数学家丹兹格提出了线性规划问题的单纯形求解方法.
1951年，美国经济学家库普曼斯（J.C.Koopmans,1910—1985）出版《生产与配置的活动分析》一书.
1950～1956年，线性规划的对偶理论出现.
1960年，丹兹格与沃尔夫（P.Wolfe）建立大规模线性规划问题的分解算法.
1975年，康托洛维奇与库普曼斯因“最优资源配置理论的贡献”荣获诺贝尔经济学奖.
1978年，苏联数学家哈奇扬（L.G.Khachian）提出求解线性规划问题的多项式时间算法（内点算法），具有重要理论意义.
1984年，在美国贝尔实验室工作的印度裔数学家卡玛卡（N.Karmarkar）提出可以有效求解实际线性规划问题的多项式时间算法——Karmarkar算法.
线性规划的基本点就是在满足一定约束条件下，使预定的目标达到最优. 现在线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术.
历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看 函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念 对数学发展，数学学习的巨大作用。
2·线性规划的原理：线性规划是合理利用、调配资源的一种应用数学方法。它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外部的条件下，实现管理目标和极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。其一般形式为：
n n n n n
n b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c x f =+++=+++→+++= 222221211
12121112211min )(
3·整数规划的原理整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。
松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。整数线性规划数学模型的一般形式
∑==n j cjxj
z 1min(max)
n i x i ,,2,10 =≥中部分或全部取整数
n j n j i
j ij
x x x m j n
i x b x a t s ,...,,...2,1,...,2,10
),(.211==≥=≥≤∑=
∑==n
j j
j x c Z 1min)max(或
4·处理的方法和背景：整数规划又分为：
（1）割平面法
通过增加新的约束来切割可原问题伴随规划的可行域，使它在不断缩小的过程中，将原问题的整数最优解逐渐暴露且趋于可行域极点的位置，这样就有可能用单纯形法求出。
(2)分支定界法分支定界法的主要思路是首先求解整数规划的伴随规划，如果求得的最优解不符合整数条件，则增加新约束——缩小可行域；将原整数规划问题分支——分为两个子规划，再解子规划的伴随规划……，最后得到原整数规划的伴随规划。这就是所谓的“分支”。
所谓“定界”，是在分支过程中，若某个后继问题恰巧获得整数规划问题的一个可行解，那么，它的目标函数值就是一个“界限”，可以作为衡量处理其它分支的一个依据。
“分支”为整数规划最优解的出现创造了条件，而“定界”则可以提高搜索的效率
线性规划的步骤：
1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；
2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；
3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。
应用举例
某厂每日八小时的产量不低于1800件。为了在进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。现有可供厂方聘请的检验员人数为一级8人和二级10人，伪是总检验费用最省，该工厂应聘请一级、二级检验员各多少名？
一·摘要
创新教育是以发掘人的创造潜能、弘扬人的主体精神、促进人的个性和谐发展为宗旨的一种深层教育。创新是一个民族进步和发展的灵魂,是国家兴旺发达的不竭动力。大学作为培养高素质创新人才的摇篮,肩负着艰巨的使命。1.创新能力的培养是创新教育的首要任务2.创新性实验计划的实施过程就是对创新潜力不断挖掘的过程，3.老师的指导是对创新思维的诱导和激发。
本文通过此厂工作量的大致估计计算，运用整数规划的方法建立数学模型，对模型的数学的高度化,高度简化，再灵活运用c++这一强悍的数学软件编程求解，任意的输入此厂的生产量即可精确求解出最佳的检验员人数和级别人数，从而使此厂损失最少，总花费最少，达到检验员的合理聘请。