整数规划的两种数学模型解法

规划模型求解

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1·简要介绍线性规划的历史

线性规划是运筹学中最基本、应用最广泛的分支。规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型，1939年，苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中的数学方法》一书.

1947年，美国数学家丹兹格提出了线性规划问题的单纯形求解方法.

1951年，美国经济学家库普曼斯（J.C.Koopmans,1910—1985）出版《生产与配置的活动分析》一书.

1950～1956年，线性规划的对偶理论出现.

1960年，丹兹格与沃尔夫（P.Wolfe）建立大规模线性规划问题的分解算法.

1975年，康托洛维奇与库普曼斯因“最优资源配置理论的贡献”荣获诺贝尔经济学奖.

1978年，苏联数学家哈奇扬（L.G.Khachian）提出求解线性规划问题的多项式时间算法（内点算法），具有重要理论意义.

1984年，在美国贝尔实验室工作的印度裔数学家卡玛卡（N.Karmarkar）提出可以有效求解实际线性规划问题的多项式时间算法——Karmarkar算法.

线性规划的基本点就是在满足一定约束条件下，使预定的目标达到最优. 现在线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术.

历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看 函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念 对数学发展，数学学习的巨大作用。

2·线性规划的原理：线性规划是合理利用、调配资源

的一种应用数学方法。它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外部的条件下，实现管理目标和极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。其一般形式为：

n n n n n

n b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c x f =+++=+++→+++= 2

2222121112121112211min )(

3·整数规划的原理整数规划IP (integer programming)：在许多规

划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。

松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。

若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。整数线性规划数学模型的一般形式

∑==n

j cjxj

z 1

min(max)

n

i x i ,,2,10

=≥中部分或全部取整数

n j n

j i j

ij x x x m

j n

i x b x

a t

s ,...,,...2,1,...,2,10

),(.211

==≥=≥≤∑=

∑==n

j j

j x c Z 1

min)max(或

4·处理的方法和背景：整数规划又分为：

（1）割平面法

通过增加新的约束来切割可原问题伴随规划的可行域，使它在不断缩小的过程中，将原问题的整数最优解逐渐暴露且趋于可行域极点的位置，这样就有可能用单纯形法求出。

(2)分支定界法分支定界法的主要思路是首先求解整数规划的伴随规划，如果求得的最优解不符合整数条件，则增加新约束——缩小可行域；将原整数规划问题分支——分为两个子规划，再解子规划的伴随规划……，最后得到原整数规划的伴随规划。这就是所谓的“分支”。

所谓“定界”，是在分支过程中，若某个后继问题恰巧获得整数规划问题的一个可行解，那么，它的目标函数值就是一个“界限”，可以作为衡量处理其它分支的一个依据。

“分支”为整数规划最优解的出现创造了条件，而“定界”则可以提高搜索的效率

线性规划的步骤：

1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；

2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；

3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

应用举例

某厂每日八小时的产量不低于1800件。为了在进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。现有可供厂方聘请的检验员人数为一级8人和二级10人，伪是总检验费用最省，该工厂应聘请一级、二级检验员各多少名？

一·摘要

创新教育是以发掘人的创造潜能、弘扬人的主体精神、促进人的个性和谐发展为宗旨的一种深层教育。创新是一个民族进步和发展的灵魂,是国家兴旺发达的不竭动力。大学作为培养高素质创新人才的摇篮,肩负着艰巨的使命。1.创新能力的培养是创新教育的首要任务2.创新性实验计划的实施过程就是对创新潜力不断挖掘的过程，3.老师的指导是对创新思维的诱导和激发。

本文通过此厂工作量的大致估计计算，运用整数规划的方法建立数学模型，对模型的数学的高度化,高度简化，再灵活运用c++这一强悍的数学软件编程求解，任意的输入此厂的生产量即可精确求解出最佳的检验员人数和级别人数，从而使此厂损失最少，总花费最少，达到检验员的合理聘请。

模型（一）

一·问题的分析

本问题是最优解问题,可用matlab优化工具包求解,涉及到线性规划,数学软件,数学模型等知识.通过对线性规划的学习，线性规划如上所讲，本题可以理解成每天检验员工作8小时，对一二级检验员的聘请最终达到厂得花费最少的最优模型

二·模型的假设

1．假设每天生产的产品都要检验员检验完。

2．排除在工作时间内检验员因某些事情而耽误检验产品。如检验员突然生病，检验机器突然坏掉等不良事故发生。

3．每一个检验员都愿意为本厂工作。

4．每个一级检验员的检验速度都为25件／小时，正确率都为98%，每个二级检验员的检验速度都为15／小时，正确率都为95%。

三．符号说明

M:每天生产的产品量

x1：聘请的一级检验员人数

x2：聘请的二级检验员人数

c1：工人每天的工资额

c2：检验员错检,工厂每日损失额

z：此厂聘请检验员的总花费金额

四·模型建立

工厂每天应付工资为:

c1=32*x1+24*x2

由于检验员错检,工厂每日损失:

c2=[(25*8)*0.02*x1+(15*8)*0.05*x2]*2=8*x1+12*x2

工厂每天总检验费为:

z=c1+c2=40*x1+36*x2

故目标函数为:

min z=40*x1+36*x2

约束条件:

200*x1+120*x2>=1800

200*x1<=1800

120*x2<=1800

x1>=0

x2>=0

模型化简：

min z=40*x1+36*x2 得到c=[40;36]

s.t.

-5*x1-3*x2<=-45 A=[-5 -3]和b=[-45]

x1<=9 推出vlb=[0;0] vub=[9;15] x2<=15

x2>=0

五·模型的计算机求解

%%f=[-3;2;-5];A=[1 2 -1;1 4 1;1 1 0;4 0 1];b=[2;4;3;6]

%%[x,fval,exitflag]=IntLP(f,A,b,[],[],zeros(3,1),[1;1;1])

function [x,fval,exitflag]=BranchLP(f,A,b,Aeq,beq,lower,upper) %%Aeq=[-5，-3];beq=[-45];lower=[0,0];upper=[9,15];

UB=inf; exitflag=-2;

len=length(f);

k=int32(1);

lb=lower;ub=upper;

if isempty(lb)

for i=1:len

lb(i)=-Inf;

end

end

if isempty(ub)

for i=1:len

ub(i)=Inf;

end

heap(k,1)={lb}; %%heap是堆栈数组,UB为已经获得整数解最优值

heap(k,2)={ub};

while k>0 %%堆栈数组为空，则退出

lb=heap{k,1}; ub= heap{k,2};k=k-1; %%取出堆栈数据

[x1,f1,exit]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);

if (exit==1) & (f1

flag=true;

for i=1:len

if abs(x1(i)-round(x1(i)))>1e-7

flag=false; %%压入堆栈数据

k=k+1;

tmp=lb;

tmp(i)=max(lb(i),fix(x1(i))+1);

heap(k,1)={tmp};

heap(k,2)={ub};

k=k+1;

tmp=ub;

tmp(i)=min(ub(i),fix(x1(i)));

heap(k,1)={lb};

heap(k,2)={tmp};

break;

end

end

if flag

x= x1;

UB= f1;

exitflag=1;

end

end

end

if exitflag==1

x=round(x);

fval=f'*x;

else

x=[];

fval=Inf;

end

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六·模型的评价

本模型通过线性规划的方法，灵活运用matlab对最优化的求解的优点对本题做出一系列的分析与解释，巧妙的对本题做出一系列的假设，运算方便便捷，只需小小的一个matlab程序即可输出最优模型解，再回到现实生活中对模型的检测得出了本题得现实解，不足之处是本题做出了对检验员在工作中因为一些不可预测的原因导致无法工作的现象做出了不能发生的假设，但实际生活中是可以发生的，所以也与现实生活也有一些差距。

七·参考文献

【1】《数学建模导论》作者陈理荣北京邮电大学出版社

【2】《数学建模》作者：陈义华重庆大学出版社

【3】《数学建模与数学实验》作者：赵静但琦高等教育出版社

【4】《数学建模与数学实验》作者：刘来福增文艺北京师范大学出版社

模型（二）

一·问题的重述

某厂每日八小时的产量不低于1800件。为了在进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。现有可供厂方聘请的检验员人数为一级8人和二级10人，伪是总检验费用最省，该工厂应聘请一级、二级检验员各多少名？

二．对问题的分析

本题旨在通过此厂的产量，为了对厂的生产质量的控制，目的是达到厂的总损失最少的对一二级检验员的聘请。本题检验员的每天工作时间理解成8小时，由于一二级的检验员的人数分别是8和10人，所以可以确定次厂每天的产量为1800~2800之间。灵活运用整数规划方法建立以此厂损失费用最少的目标函数的数学模型求解此问题.

三·模型假设

1假设每天生产的产品都要检验员检验完。

2排除在工作时间内检验员因某些事情而耽误检验产品。如检验员突然生病，检验机器突然坏掉等不良事故发生。

3每一个检验员都愿意为本厂工作。

1.每个一级检验员的检验速度都为25件／小时，正确率都为

98%，每个二级检验员的检验速度都为15／小时，正确率都为95%。

四·符号说明

M:每天生产的产品量

x：聘请的一级检验员人数

y：聘请的二级检验员人数

F：此厂聘请检验员的总花费金额

五·模型建立

1.假设每天生产的产品都要没检验员检验完。

+

?15

8

25

8

?

?

y

M

x≥

?

2.由模型分析可得

≤M

2800

1800≤

M为整数

3.每一个检验员都愿意为本厂工作

≤y

x

10

≤

≤

0,8

0≤

且y

x为整数

、

4. 每个一级检验员的检验速度都为25件／小时，正确率都为98%，每个二级检验员的检验速度都为15／小时，正确率都为95%。

()()

y x x F -???+??+?-???=%951815482%981258

y x 3640+=

Min y x 3640+= (目标函数)

六·模型的简化

M y x ≥??+??158258 (1)

28001800≤≤M (2)

100,80≤≤≤≤y x 且y 、x 为整数 (3)

MinF=

y x 3640+= (4)

由（1）（2）? 1800120200≥≥+M y x ? 4535≥+y x （5） 由（3）（5）? 当10=y 时 83≤≤x ……（6）x 为整数 当8=x 时 102≤≤y ……（7）y 为整数

当10,8==y x 时 28001800≤≤M ......（8）M 为整数 所以模型简化为：MinF= y x 3640+=;x ,y 为整数 ...... （4） 约束条件 ： 83≤≤x ； x 为整数 ...... （6） 102≤≤y ；y 为整数 ...... （7） 28001800≤≤M ；M 为整数 (8)

七·模型的计算机求解

利用c++编程如下：

#include

#include

using namespace std;

int main()

{

int function (int ,int );

int i,j,t,k,temp;

int x[9][11];

for(i=0;i!=9;i++)

for(j=0;j!=11;j++)

x[i][j]=0;

float M;

cout<<"please input a number M";

cout<<"\t"<<"M is between 1800 and 2800"<>M;

cout<

for(i=3;i!=9;i++)

for(j=2;j!=11;j++)

{

if(200*i+120*j>=M) x[i][j]=function(i,j);

}

t=x[8][10];

for(i=3;i!=9;i++)

for(j=2;j!=11;j++)

{

if((x[i][j]!=0)&&(x[i][j]

t=x[i][j];

}

for(i=3;i!=9;i++)

for(j=2;j!=11;j++)

{

if(x[i][j]==t)

{

cout<<"x="<

}

}

return 0;

}

int function (int a,int b)

{

return 40*a+36*b;

}

结果：输入一个M值，在1800~2800之间

八·模型的改进

本模型是假设每一个检验员的检验速度和准确率一定，实际生活中检验速度是围绕平均速度上下波动的，准确率也是如此。因此还要有加权系数分别对检验速度和准确率的一个修饰，增加模型的现实准确率。

A 1:一级检验员的速度的加权系数 A 2：一级检验员的准确率的加权系数

B 1

：二级检验员的速度的加权系数

B 2：二级检验员的准确率的加权系数

模型改进为：

y

y x x F M

y x B B A A B A ??+?-???+??+?-??=≥??+??382)%951(158482)981(258158258212111%453518001202001111≥+?≥≥+?y x M y x B A B A y y x x x F B B B A A A 2422824032392400211211+-++-=?

目标函数：y y x x x MinF B B B A A A 2422824032392400

2

1

1

2

1

1

+-++-=

九·模型评价

本模型的优点是计算方便，只需统计出厂的生产量，一个小小的c++程序即可算出最优模型的解，模拟度比较高，计算的准确度也很高。缺点是和现实也有一定的差距。

参考文献

【1】关于项目选择的整数规划模型分析《华中科技大学学报》2001年08期作者：宁艳芳

【2】林志航.计算机辅助质量系统[M].北京:机械工业出版社,1997.137～152. 【3】车阿大,林志航.质量功能展开的多目标规划模型[J].计算机集成制造系统CIMS,1998,4(6):26～30.

【5】《数学建模导论》作者陈理荣北京邮电大学出版社

【6】《数学建模》作者：陈义华重庆大学出版社

【7】《数学建模与数学实验》作者：赵静但琦高等教育出版社

【8】《数学建模与数学实验》作者：刘来福增文艺北京师范大学出版社