物理(教科版必修2)第二章第2节匀速圆周运动的向心力和向心加速度

第2节 匀速圆周运动的向心力和向心

加速度

1．物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的力叫做向心力， 向心力的方向________________，和质点的运动方向______，向心力不改变速度的 ________，只改变速度的________．

2．向心力的表达式F ＝________＝________.

3．做匀速圆周运动的物体，在向心力的作用下，必然要产生______________，其方向指

向________，向心加速度只改变速度的________，不改变速度的________，它用来描述 线速度方向改变的________．

4．向心加速度的表达式a ＝________＝________＝4π2

T

2r ＝4π2f 2r .

5．匀速圆周运动中加速度的大小不变而方向时刻在改变，匀速圆周运动是加速度方向不

断改变的________运动．

6．关于向心力，下列说法中正确的是( ) A ．物体由于做圆周运动而产生一个向心力

B ．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小

C ．做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力

D ．做一般曲线运动的物体的合力即为向心力 7．如图1所示，

图1

用细绳拴一小球在光滑桌面上绕一铁钉(系一绳套)做匀速圆周运动，关于小球的受力，下列说法正确的是()

A．重力、支持力

B．重力、支持力、绳子拉力

C．重力、支持力、绳子拉力和向心力

D．重力、支持力、向心力

8．关于匀速圆周运动及向心加速度，下列说法中正确的是()

A．匀速圆周运动是一种匀速运动

B．匀速圆周运动是一种匀速曲线运动

C．向心加速度描述线速度大小变化的快慢

D．匀速圆周运动是加速度方向不断改变的变速运动

【概念规律练】

知识点一向心力的概念

1．下列关于向心力的说法中正确的是()

A．物体受到向心力的作用才能做圆周运动

B．向心力是指向弧形轨道圆心方向的力，是根据力的作用效果命名的

C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某一种力或某一种力的分力

D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢

2．关于向心力，下列说法正确的是()

A．向心力是一种效果力

B．向心力是一种具有某种性质的力

C．向心力既可以改变线速度的方向，又可以改变线速度的大小

D．向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

知识点二向心力的来源

3．如图2所示，

图2

一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做

圆周运动，运动中提供小球所需向心力的是()

A．绳的拉力

B．重力和绳拉力的合力

C．重力和绳拉力的合力沿绳的方向的分力

D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力

4．如图3所示，

图3

有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动，关

于小强的受力，下列说法正确的是( ) A ．小强在P 点不动，因此不受摩擦力作用

B ．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力

C ．小强随圆盘做匀速圆周运动，盘对他的摩擦力充当向心力

D ．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P 点受到的摩擦力不变 知识点三 向心加速度

5．下列关于向心加速度的说法中，正确的是( ) A ．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 B ．向心加速度的方向始终保持不变

C ．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的

D ．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化

6．关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的是( )

A ．由于a ＝v 2

r ，所以线速度大的物体向心加速度大

B ．由于a ＝v 2

r

，所以旋转半径大的物体向心加速度小

C ．由于a ＝rω2，所以角速度大的物体向心加速度大

D ．以上结论都不正确 【方法技巧练】

一、向心力大小的计算方法

7．一只质量为m 的老鹰，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，则空气对 老鹰作用力的大小等于( )

A ．m g 2＋(v 2R )2

B ．m (v 2R

)－g 2

C ．m v 2

R

D ．mg

8．在双人花样滑冰运动中，有时会看到男运动员拉着女运动员离开冰面在空中做圆锥摆

运动的精彩的场面，目测体重为G 的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角为30°， 重力加速度为g ，估算该女运动员( ) A ．受到的拉力为3G B ．受到的拉力为2G C ．向心加速度为3g D ．向心加速度为2g 二、匀速圆周运动问题的分析方法 9.

图4

长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点．让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图4所示．当摆线L与竖直方向的夹角为α时，求：

(1)线的拉力F；

(2)小球运动的线速度的大小；

(3)小球运动的角速度及周期．

1．物体做匀速圆周运动时，下列关于物体受力情况的说法中正确的是()

A．必须受到恒力的作用

B．物体所受合力必须等于零

C．物体所受合力大小可能变化

D．物体所受合力大小不变，方向不断改变

2．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确地表示雪橇受到的

牵引力F及摩擦力f的图是()

3．下列说法中正确的是()

A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度

B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度

C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动

D．匀速圆周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向发生了变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动

4．如图5所示，

图5

某物体沿1

4

光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )

A ．物体的合外力为零

B ．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O

C ．物体的合外力就是向心力

D ．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外) 5．如图6所示，

图6

半径为r 的圆筒，绕竖直中心轴OO ′转动，小物块a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的 动摩擦因数为μ，现要使a 不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为( ) A.μg /r B.μg C.g /r D.g /μr

6．汽车甲和汽车乙的质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在

乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f 甲和f 乙．以下说法正确的是( ) A ．f 甲小于f 乙 B ．f 甲等于f 乙 C ．f 甲大于f 乙

D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关

7．如图7所示，

图7

天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动．系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处时突然停止，则两吊绳所受拉力T A、T B的大小关系是()

A．F A>T B>mg B．T A

C．T A＝T B＝mg D．T a＝T B>mg

8．在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是()

A．l、ω不变，m越大线越易被拉断

B．m、ω不变，l越小线越易被拉断

C．m、l不变，ω越大线越易被拉断

图8

质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀

速转动时，求杆的OA段和AB段对小球的拉力之比．

10.

图9

长L＝0.5 m、质量可忽略的杆，其下端固定于O点，上端连有质量m＝2 kg的小球，它

绕O点在竖直平面内做圆周运动．当通过最高点时，如图9所示，求下列情况下杆受到

的力(计算出大小，并说明是拉力还是压力，g取10 m/s2)：

(1)当v＝1 m/s时，杆受到的力为多少，是什么力？

(2)当v＝4 m/s时，杆受到的力为多少，是什么力？

11．如图10所示，

图10

一根长为0.1 m 的细线，一端系着一个质量是0.18 kg 的小球，拉住线的另一端，使球在

光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，当小球的转速增加到原转速的3倍时，细线断裂， 这时测得线的拉力比原来大40 N ．求： (1)线断裂的瞬间，线的拉力； (2)这时小球运动的线速度；

(3)如果桌面高出地面0.8 m ，线断后小球飞出去落在离桌面的水平距离为多少的地方？

第2节 匀速圆周运动的向心力和向心加速度

课前预习练

1．沿半径指向圆心 垂直 大小 方向

2．mrω2 m v 2

r

3．向心加速度 圆心 方向 大小 快慢 4.v 2

r

rω2 5．变速

6．B [与速度方向垂直的力使物体运动方向发生改变，此力指向圆心命名为向心力，所以向心力不是由于物体做圆周运动而产生的．向心力与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向．做匀速圆周运动的物体的向心力始终指向圆心，方向在不断变化，是个变力．做一般曲线运动的物体的合力通常可分解为切向分力和法向分力．切线方向的分力提供切向加速度，改变速度的大小；法线方向的分力提供向心加速度，改变速度的方向．正确

选项为B.]

7．B[向心力是效果力，可以是一个力，也可以是一个力的分力或几个力的合力．] 8．D[匀速圆周运动的速度方向时刻改变，是一种变速曲线运动，A、B错；匀速圆周运动的加速度大小不变，方向时刻在改变，且加速度的大小描述了做匀速圆周运动的物体线速度方向变化的快慢，故C错，D对．]

课堂探究练

1．ABCD[向心力是使物体做圆周运动的原因，它可由各种性质力的合力、某一个力或某一个力的分力提供，方向始终从做圆周运动的物体的所在位置指向圆心，是根据力的作用效果命名的，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．]

2．AD[向心力是按力的作用效果命名的，是一种效果力，所以A选项正确，B选项错误；由于向心力始终沿半径指向圆心，与速度的方向垂直，即向心力对做圆周运动的物体始终不做功，不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，因此C选项错误，D选项正确．] 点评由于向心力是一种效果力，所以在对物体受力分析时不要再加上向心力，它只能由其他性质的力提供．

3．CD[

如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳的拉力，向心力由合外力指向圆心O 方向的分力提供，因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向分力的合力，故选C、D.]

4．C[由于小强随圆盘一起做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力，A、B错误，C正确；由于小强随圆盘转动的半径不变，当圆盘角速度变小时，由F＝mrω2可知，所需向心力变小，故D错误．]

点评对物体受力分析得到的指向圆心的力提供向心力．向心力可以是某个力、可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力．

在匀速圆周运动中，向心力就是物体所受的指向圆心方向的合外力．在变速圆周运动中，物体所受合外力一般不再指向圆心，可沿切线方向和法线方向分解，法线方向的分力提供向

心力．

5．A [向心加速度方向始终指向圆心，与速度方向垂直，方向时刻在变化，故选项A 正确，B 错误；在匀速圆周运动中向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故选项C 、D 错误．]

6．D [研究三个物理量之间的关系时，要注意在一个量一定时，研究另两个量的关系

才有意义，比如a ＝v 2

r

只有在r 一定的前提下，才能说速度v 越大，加速度a 越大．]

7．A 8．B [

如图所示 F 1＝F cos 30° F 2＝F sin 30° F 2＝G ，F 1＝ma 解得，a ＝3g ，F ＝2G .]

方法总结 用向心力公式解题的思路与用牛顿第二定律解题的思路相似： (1)明确研究对象，受力分析，画出受力示意图；

(2)分析运动情况，确定运动的平面、圆心和半径，明确向心加速度的方向和大小； (3)在向心加速度方向上，求出合力的表达式，根据向心力公式列方程求解．

9．(1)F ＝mg

cos α (2)v ＝gL tan αsin α

(3)ω＝g L cos α T ＝2πL cos α

g

解析

做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg 和绳子的拉力F .

因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O ′，且是水平方

向．由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mg tan α，线对小球的拉力大小为：F ＝mg

cos α

.

由牛顿第二定律得：mg tan α＝m v 2

r

由几何关系得r ＝L sin α

所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为 v ＝gL tan αsin α 小球运动的角速度 ω＝v r ＝gL tan αsin αL sin α＝

g

L cos α

小球运动的周期 T ＝2π

ω

＝2π

L cos α

g

. 方法总结 匀速圆周运动问题的分析步骤：

(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．

(2)将物体所受外力分解成为两部分，其中一部分分力沿半径方向．

(3)列方程：沿半径方向满足F 合1＝mrω2

＝m v 2r ＝4π2mr T 2，另一方向F 合2＝0.

(4)解方程，求出结果．

课后巩固练

1．D [匀速圆周运动的合外力提供向心力，大小不变，方向始终指向圆心，即方向时刻变化，故A 、B 、C 错，D 对．]

2．C [由于雪橇在冰面上滑动，故滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即方向应为圆的切线方向，因做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心，由此可知C 正确．]

3．BD [做匀速圆周运动的物体，速度的大小不变，但方向时刻改变，所以必有加速度，且加速度大小不变，方向时刻指向圆心，加速度不恒定，因此匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动，故A 、C 错误，B 、D 正确．]

4．D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A 错；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合外力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B 、C 错，D 对．]

5．D [要使a 恰不下滑，则a 受筒的最大静摩擦力作用，此力与重力平衡，筒壁给a 的支持力提供向心力，则N ＝mrω2，而f m ＝mg ＝μN ，所以mg ＝μmrω2，故ω＝g

μr

.所以A 、B 、C 均错误，D 正确．]

6．A [两车做圆周运动的向心力均由摩擦力提供，由于甲车在乙车的外侧，故r

甲>r

乙，而两车的质量和速率均相等，根据f ＝m v 2

r 可得选项A 正确．] 7．A [突然停止时，A 、B 两物体速度相同，做圆周运动，T －mg ＝mv 2/L ，故T ＝mg

＋m v 2/L ，L a T B >mg .]

8．AC 9．3∶2

解析 本题所考查的内容是向心力和向心加速度的应用，设杆的OA 和AB 段对小球的拉力分别为F OA 和F AB .

OA ＝AB ＝r

依据牛顿第二定律可得： 对小球A 有：F OA －F AB ＝mrω2 ① 对小球B 有：F AB ＝m 2rω2

②

由①②得F OA ∶F AB ＝3∶2

即杆的OA 段和AB 段对小球的拉力之比为3∶2. 10．(1)16 N 压力 (2)44 N 拉力

解析 本题考查圆周运动临界条件的应用．设小球受到杆的作用力N 向上，如图所示，则：

(1)F 向＝m v 21L ，即mg －N 1＝m v 21

L

N 1＝mg －m v 21L ＝2×10 N －2×12

0.5

N ＝16 N

根据牛顿第三定律：杆受到的是压力，N 1′＝16 N ，方向竖直向下． (2)F 向＝m v 22L ，即mg －N 2＝m v 22

L

N 2＝mg －m v 22L ＝2×10 N －2×42

0.5

N ＝－44 N

负号说明N 2与规定的正方向相反，故小球受到杆的作用力N 2＝44 N ，方向应竖直向下． 根据牛顿第三定律：杆受到的是拉力，N 2′＝44 N ，方向竖直向上．

11．(1)45 N (2)5 m/s (3)2 m

解析 (1)小球在光滑桌面上做匀速圆周运动时受三个力作用，重力mg 、桌面弹力N 和线的拉力F .重力mg 和弹力N 平衡．线的拉力提供向心力，F 向＝F ＝mω2r .设原来的角速度

为ω0，线上的拉力是F 0，加快后的角速度为ω，线断时的拉力是F 1.则F 1∶F 0＝ω2∶ω2

0＝9∶1.

又F 1＝F 0＋40 N ，所以F 0＝5 N ，则线断时F 1＝45 N. (2)设线断时小球的速度为v ， 由F 1＝m v 2

r

得v ＝

F 1r m

＝45×0.1

0.18

m/s ＝5 m/s. (3)由平抛运动规律得小球在空中运动的时间t ＝2h g

＝2×0.8

10

s ＝0.4 s ．小球落地处离桌面的水平距离x ＝v t ＝5×0.4 m ＝2 m.