第08讲 函数的单调性(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第8讲：函数的单调性

一、课程标准

1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义

2.掌握求函数的单调性的方法·

3.能处理函数的最值问题。

二、基础知识回顾

1. 函数单调性的定义

(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．

(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．

2. 函数单调性的图像特征

对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．

3. 复合函数的单调性

对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．

4. 函数单调性的常用结论

(1)对?x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2）

x1－x2>0?f(x)在D上是增函数；

f()x1－f()x2

x1－x2<0?f(x)在D上是减函数．

(2)对勾函数y＝x＋a

x(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)．

(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”

5.常用结论

1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

(1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；

(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反；

(3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1

f （x ）的单调性相反；

(4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．

2．增函数与减函数形式的等价变形：?x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则

(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f （x 1）－f （x 2）

x 1－x 2>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数；

(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f （x 1）－f （x 2）

x 1－x 2<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数．

三、自主热身、归纳总结

1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )

A ．递减函数

B ．递增函数

C ．先递减再递增函数

D ．先递增再递减函数

2、函数y ＝1

x －1在[2，3]上的最小值为( )

A ．2 B.12

C.13 D ．－12

3、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )

A. y ＝1

f （x ）在R 上为减函数

B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数

C. y ＝－1

f （x ）在R 上为增函数

D. y ＝－f (x )在R 上为减函数

4、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是(

)

A ．

B ．

C ．

D ．

5、已知函数2()361f x x x =--，则( )

A ．函数()f x 有两个不同的零点

B ．函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增

C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则3a =

D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则13

a =

6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ．

7、已知f(x)＝x x －a (x≠a)，若a ＞0且f(x)在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．

8、函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．

三、例题选讲

考点一 函数的单调区间

例1、求下列函数的单调区间

(1)y ＝－x 2＋2|x|＋1；

(2)f(x)＝x 2－2x －3；

（3）212

log (32)y x x =-+

变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )

A.????32，＋∞

B.????1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和????32，2

D.????－∞，32和[2，＋∞)

变式2、已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( )

A.(－∞，－1]

B.[－1，＋∞)

C.[－1，1)

D.(－3，－1]

变式3、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.

方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：

(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；

(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解；

(3)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

考点二 复合函数的单调区间

例2、（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )

A ．(－∞，－2)

B ．(－∞，1)

C ．(1，＋∞)

D ．(4，＋∞)

变式1、函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调增区间为( )

A.????12，3

B.????－2，12

C.(－2，3)

D.????12，＋∞

变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )

A.????－∞，12

B.????0，12

C.????12，＋∞

D.????12，1

方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。

考点三 函数单调性的证明与判断

例3、判断函数f(x)＝x 1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．

变式1、已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0).

(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f (x )在??????12，2上的值域是??????12，2，求a 的值.

变式2、试讨论函数f(x)＝ax x 2

＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．

方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.

2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下： 取值→作差→变形→确定符号→得出结论

其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．

考点四 函数单调性的应用

例4、已知函数f (x )＝?

????（1－2a ）x ＋3a ，x ＜1，

2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．

变式1、(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知函数f (x )＝?

????log 2（x ＋1），x ≥1，

1，x ＜1，则满足f (2x ＋1)＜f (3x －2)的实数x 的取值范围是( )

A ．(－∞，0]

B ．(3，＋∞)

C ．[1，3)

D ．(0，1)

变式2、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)

的取值范围是( )

A.????13，23

B.????13，23

C.????12，23

D.????12，23

变式3、如果函数f (x )＝?????（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1

满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________.

变式4、【2019年天津理科06】已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜b

B ．a ＜b ＜c

C ．b ＜c ＜a

D ．c ＜a ＜b

方法总结 1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”.

3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

五、优化提升与真题演练

1、【2019年新课标1理科03】已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则（ ）

A ．a ＜b ＜c

B ．a ＜c ＜b

C ．c ＜a ＜b

D ．b ＜c ＜a 2、【2017年新课标1理科05】函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f （1）＝﹣1，则满足﹣1≤f （x ﹣2）≤1的x 的取值范围是（ ）

A ．[﹣2，2]

B ．[﹣1，1]

C ．[0，4]

D ．[1，3]

3、已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ????????1x

A ．(－1，1)

B ．(0，1)

C ．(－1，0)∪(0，1)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4、函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ） A ．(,1)-∞- B ．3

(,)2-∞- C ．3(,)2+∞

D ．(4,)+∞

5、【2019年新课标3理1】设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ） A ．f （log 3）＞f （2）＞f （2）

B ．f （log 3）＞f （2）＞f （2）

C ．f （2）＞f （2）＞f （log 3）

D ．f （2）＞f （2）＞f （log 3）

6、【2017年浙江05】若函数f （x ）＝x 2+ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M ﹣m （ ） A ．与a 有关，且与b 有关

B ．与a 有关，但与b 无关

C ．与a 无关，且与b 无关

D ．与a 无关，但与b 有关 7、(多选)已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f (x )是增函数的是( ) A ．对任意x ≥0，都有f (x ＋1)＞f (x )

B ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)

C ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2＜0，都有f (x 1)－f (x 2)＜0

D ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2

＞0

8、（2019·重庆南开中学模拟）若f (x )＝?????

3a －1x ＋4a ，x ＜1，

－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为________．

9、定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________． 10、设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________.

.

11、设函数f (x )＝???－x 2＋4x ，x ≤4，

log 2x ，x >4.

若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.

12、已知f (x )＝x x －a (x ≠a )．

(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．