研究生《最优化方法》课程实验-最优化编程作业答案-东北大学
研究生《最优化方法》课程实验（第一部分）
function a=li_H(x1,x2,f1,f2)
t1=0.00001;t2=0.00001;t3=0.0001;
a=0;
if norm(grad(x2))>=t3
a=1;
end
if (norm(x2-x1))/(norm(x1)+1)>=t1
a=1;
end
if (abs(f2-f1))/(abs(f1)+1)>=t2
a=1;
end
end
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- function t= line(f,a,b,e)
B=0.618;
t2=a+B *(b-a);
hanshu2=subs(f,t2);
t1=a+b-t2;
f1=subs(f,t1);
while abs(t1-t2)>=e
if f1<=f2
b=t2;
t2=t1;
f2=f1;
t1=a+b-t2;
f1=subs(f,t1);
else
a=t1;
t1=t2;
f1=f2;
t2=a+B *(b-a);
f2=subs(f,t2);
end
end
tb=0.5*(t1+t2);
fb=subs(f,tb);
f2=tb;
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- function y=qujian(x,p)
t0=0.000001;h=0.5;
y0=fv(x+t0*p);t2=t0+h;y2=fv(x+t2*p);
if y2>=y0
t1=t2;y1=y2;h=-h;
t2=t0+h;y2=fv(x+t2*p);
while(y2<=y0)
t1=t0;y1=y0;t0=t2;y0=y2;h=2*h;
t2=t0+h;y2=fv(x+t2*p);
end
a=min(t1,t2);b=max(t1,t2);
else
t1=t0;y1=y0;t0=t2;y0=y2;h=2*h;t2=t0+h;y2=fv(x+t2*p);
while(y2<=y0)
t1=t0;y1=y0;t0=t2;y0=y2;h=2*h;
t2=t0+h;y2=fv(x+t2*p);
end
a=min(t1,t2);b=max(t1,t2);
end
sq=[a,b];
end
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------syms t
q=1;
f=input(' 请输入目标函数: ','s');
M=sym(input(' 请输入目标函数的变量: ','s'));
x0=input(' 请输入计算的初值: ');
f0=subs(f,M,x0);
g=jacobian(f,M);
g0=subs(g,M,x0);
p0=-g0;
H0=eye(length(M));
x1=x0-t*p0;
yt=subs(f,M,x1);
v=qujian (yt,0.001,0);
t0=line(yt,v(1),v(3),0.001);
x1=x0-t0*p0;
f1=subs(f,M,x1);
g1=subs(g,M,x1);
xk=x0;
xk1=x1;
Hk=H0;
gk=g0;
gk1=g1;
disp('中间运行结果')
disp('n=1')
disp('x=')
fprintf(1,'%7.5f\n',xk')
fprintf(1,'f(x)=%7.5f\n',f1)
n=1;
fk=f0;
fk1=f1;
flag= li_H(xk,xk1,fk,fk1);
while flag==0
n=n+1;
sk=xk1-xk;
yk=gk1-gk;
Hk1=Hk+(sk'*sk)/(sk*yk')-(Hk*yk'*yk*Hk)/(yk*Hk*yk');
pk1=Hk1*gk1';
xk=xk1;
xk1=xk-t*pk1';
yt=subs(f,M,xk1);
v=qujian(yt,0.001,0);
tk=line(yt,v(1),v(3),0.001);
xk1=xk-tk*pk1' ;
fk=subs(f,M,xk);
gk=subs(g,M,xk);
fk1=subs(f,M,xk1);
gk1=subs(g,M,xk1);
fprintf(1,'n=%7.5f\n',n)
disp('x=')
fprintf(1,'%7.5f\n',xk1)
fprintf(1,'f(x)=%7.5f\n',fk1)
flag= li_H(xk,xk1,fk,fk1);
if flag==0
disp('不是极小点需要继续迭代')
end
end
if q==1
disp(' 目标函数的最优解是:');
fprintf(1,' %7.5f\n',xk);
disp(' 迭代次数为n=')
fprintf(1,'%7.5f\n',n)
disp('最优解是:')
fprintf(1,'%7.5f\n',fk1)
end
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
请输入目标函数: x1^2+x2^2+x3^2+x4^2
请输入目标函数的变量: [x1 x2 x3 x4] 请输入计算的初值: [1 0 1 0]
中间运行结果
n=1
x=
1.00000
0.00000
1.00000
0.00000
f(x)=0.00023
n=2.00000
x=
0.00521
0.00000
0.00521
0.00000
f(x)=0.00005
不是极小点需要继续迭代
n=3.00000
x=
0.00254
0.00000
0.00254
0.00000
f(x)=0.00001
不是极小点需要继续迭代
n=4.00000
x=
0.00124
0.00000
0.00124
0.00000
f(x)=0.00000
不是极小点需要继续迭代
n=5.00000
x=
0.00060
0.00000
0.00060
0.00000
f(x)=0.00000
目标函数的最优解是:
0.000124
0.00000
0.000124
0.00000
迭代次数为n=
5.00000
最有解是:
0.00000
>>
请输入目标函数: x1^4+2*x2^4+x3^4+x4^4+2*x5^4 请输入目标函数的变量: [x1 x2 x3 x4 x5] 请输入计算的初值: [1 0 1 0 0]
中间运行结果
n=1
x=
1.00000
0.00000
1.00000
0.00000
0.00000
f(x)=0.02908
n=2.00000
x=
-0.08026
0.00000
0.16255
0.00000
0.00000
f(x)=0.00060
不是极小点需要继续迭代
n=3.00000
x=
0.00186
0.00000
-0.00611
0.00000
0.00000
f(x)=0.00000
不是极小点需要继续迭代
n=4.00000
x=-0.00070
0.00000
-0.00043
0.00000
0.00000
f(x)=0.00000
目标函数的最优解是:
0.00186
0.00000
-0.00611
0.00000
0.00000
迭代次数为n=
4.00000
最有解是:
0.00000
>>
《最优化方法》复习题
《最优化方法》复习题 一、 简述题 1、怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如: 判断函数212 2 212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数） 2、写出几种迭代的收敛条件. 3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）. 见书本61页(利用单纯形表求解); 69页例题 (利用大M 法求解、二阶段法求解); 4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点. 简述共轭梯度法的基本思想. 写出Goldstein 、Wolfe 非精确一维线性搜索的公式。 5、叙述常用优化算法的迭代公式． （1）0.618法的迭代公式：(1)(), ().k k k k k k k k a b a a b a λτμτ=+--??=+-? （2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)() n k k k k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+? =+-?? =-? ?=+-?? L ． （3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 1 1k k k k x x G g -+=-． （4）推导最速下降法用于问题1min ()2 T T f x x Gx b x c = ++的迭代公式： 1()T k k k k k T k k k g g x x f x g G gx +=-? （5）Newton 法的迭代公式：211[()]()k k k k x x f x f x -+=-??． （6）共轭方向法用于问题1min ()2 T T f x x Qx b x c = ++的迭代公式： 1()T k k k k k T k k f x d x x d d Qd +?=-． 二、计算题 双折线法练习题 课本135页 例3.9.1 FR 共轭梯度法例题：课本150页 例4.3.5 二次规划有效集：课本213页例6.3.2,
软件工程-东北大学
软件工程 （学科代码: 0835） 一、学科简介与研究方向 东北大学软件工程学科是2011年2月国家首次批准调整建设的一级学科。东北大学于2011年8月设立软件工程一级学科博士学位授权点，是国家设立的第一批软件工程学科。东北大学软件工程学科的人才培养已经形成了较为完整成熟的本科生和硕士生培养体系，建立了国家软件人才国际培训（沈阳）基地、国家级人才培养模式创新实验区、辽宁省软件工程实验教学示范中心，质量工程建设取得一系列重大成果，成功培养了大批软件实用性人才。软件工程专业是省级示范专业，并被批准为国家级特色建设专业。本学科已培养了大批硕士研究生走上工作岗位，软件工程被评为“全国工程硕士研究生教育特色工程领域”。2012年，软件工程学科开始招收博士研究生，已形成了完善的本硕博贯通式软件工程人才培养体系。在全国第四轮学科评估中，东北大学软件工程学科排名全国并列第九。本学科学术队伍现有教授12人（其中博士生导师7人），副教授18人，以国家、区域科技需求为导向，结合学科的发展趋势和多年研究积累，已形成相互促进、彼此渗透、有一定优势和特色的学科研究方向。 （一）网构化软件工程及其演化技术体系。研究结合大数据的高速、多样、价值密度等特性，描述软件生态环境，分析大数据对软件工程的影响及收益，形成全新的以数据为驱动的，具有自主性、协同性、反应性、演化性和多态性相结合的软件工程理论。 （二）软件安全技术。针对软件理论和技术的研究与软件产业发展所面临的软件安全问题，围绕国家科技战略目标，立足创新研究，强调理论和应用相结合。从软件安全开发模型和软件开发的生命周期入手，重点研究安全软件工程的防护框架、软件安全防护理论与关键技术和可信软件的关键技术。 （三）基于混合现实的交互式软件开发技术。重点研究虚拟与真实空间位置映射技术、增强现实及交互技术、交互式医学信息可视化关键技术、云渲染关键技术及应用。 （四）软件定义互联网体系架构与关键技术。主要围绕着①可扩展、可信的软件定义互联网体系架构模型，②可行、高效、安全的软件定义互联网运行机制，③准确、有效的软件定义互联网量化模型与分析方法展开研究。 （五）复杂系统理论与应用技术。以混沌、分形、复杂网络等理论为基础和手段，将复杂系统理论成果和研究方法应用于计算机科学、软件工程等领域中，研究和解决软件工程领域的设计方法、可靠性分析、质量管理与预测及复杂网络与社交网络的建模、分析、挖掘、预测等问题。 （六）大数据计算与应用技术。研究高效的大数据获取、存储、管理、分析、理解和展示等方面的关键技术,包括数据密集型计算，高能效计算，非结构化数据存储和数据管
2011东北大学大学物理期末考题及答案
东北大学大学物理期末 一、 填空题 1. 已知两分振动的振动方程分别为：t x ωcos 1= 和 )2 cos( 32π ω+=t x ， （其中 x 的单位为m ，t 的单位为s ），则合振动的振幅为A = ____2___m 。 2. 在驻波中，设波长为λ，则相邻波节和波腹之间的距离为_____ 4 λ ____ 。 3．火车A 行驶的速率为20m/s ，火车A 汽笛发出的声波频率为640Hz ；迎面开来另一列 行驶速率为25m/s 的火车B ，则火车B 的司机听到火车A 汽笛声的频率为 730 Hz . (空气中的声速为: 340m/s) 4．在空气中，用波长为λ= 500 nm 的单色光垂直入射一平面透射光栅上，第二级缺级 光栅常数 d =2.3×10 －3 mm ，则在观察屏上出现的全部主极大条纹条数为__5 _条。 5．光的偏振现象说明光波是____横波______。 6．一体积为V 的容器内储有氧气（视为理想气体，氧气分子视为刚性分子），其压强为P ，温度为T ，已知玻耳兹曼常数为k 、普适气体常数（摩尔气体常数）为R ， 则此氧气系统的分子数密度为__ kT p ___ 、此氧气系统的内能为___pV 2 5 ____。 7．处于平衡态A 的理想气体系统，若经准静态等容过程变到平衡态B ，将从外界吸热416 J ； 若经准静态等压过程变到与平衡态B 有相同温度的平衡态C 时，将从外界吸热582 J ， 则从平衡态A 变到平衡态C 的准静态等压过程中，系统对外界所作的功为 166 J 。 8．不考虑相对论效应，电子从静止开始通过电势差为U=300V 的静电场加速后， 其德布罗意波长为___0.07__nm 。 (电子静止质量：kg 101.931 -?=e m ；电子电量：C 10 6.119 -?=e ； 普朗克常量：s J 10 63.634 ??=-h ) 9．描述微观粒子运动的波函数ψ(r , t )须满足的条件是 单值 、连续、有限、归一。
研究生《最优化方法》课程实验-最优化编程作业答案-东北大学
研究生《最优化方法》课程实验（第一部分） function a=li_H(x1,x2,f1,f2) t1=0.00001;t2=0.00001;t3=0.0001; a=0; if norm(grad(x2))>=t3 a=1; end if (norm(x2-x1))/(norm(x1)+1)>=t1 a=1; end if (abs(f2-f1))/(abs(f1)+1)>=t2 a=1; end end ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- function t= line(f,a,b,e) B=0.618; t2=a+B *(b-a); hanshu2=subs(f,t2); t1=a+b-t2; f1=subs(f,t1); while abs(t1-t2)>=e if f1<=f2 b=t2; t2=t1; f2=f1; t1=a+b-t2; f1=subs(f,t1); else a=t1; t1=t2; f1=f2; t2=a+B *(b-a); f2=subs(f,t2); end end tb=0.5*(t1+t2); fb=subs(f,tb); f2=tb; ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- function y=qujian(x,p)
最优化方法试题
《最优化方法》试题 一、 填空题 1.设()f x 是凸集n S R ?上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）； 2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（ ）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ?是 （ ）矩阵； 3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ?=+---?--≥-??--≥-≥?，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。 二、选择题 1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ?=-+??-+≤??-≤?? ，则下列各点属于K-T 点的是（ ） A) (0,0)T B) (1,1)T C) 1(,22 T D) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ） A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B) 23122()(0)f x x x x =-< C) 2 222112313()226f x x x x x x x x =+++- D) 123()346f x x x x =+- 三、求下列问题
()22121212121211min 51022 ..2330420 ,0 f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥ 取初始点()0,5T 。 四、考虑约束优化问题 ()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥ 用两种惩罚函数法求解。 五．用牛顿法求解二次函数 222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++- 的极小值。初始点011,1,22T x ??= ???。 六、证明题 1.对无约束凸规划问题1min ()2 T T f x x Qx c x =+，设从点n x R ∈出发，沿方向n d R ∈ 作最优一维搜索，得到步长t 和新的点y x td =+ ，试证当1T d Q d = 时， 22[() ()]t f x f y =-。 2.设12*** *3(,,)0T x x x x =>是非线性规划问题()112344423min 23..10f x x x x s t x x x =++++=的最优解，试证*x 也 是非线性规划问题 144423* 123min ..23x x x s t x x x f ++++=的最优解，其中****12323f x x x =++。
2020春东北大学大学物理IX作业1
一、单选题 1、静电场的环路定理的数学表达式和它所说明的静电场的特点是：（ A ） （A ）数学表达式为∮L E ? ·dl =0，它说明静电场是保守场。 （B ）数学表达式为∮L E ? ·dl =0，它说明静电场是非保守场。 （C ）数学表达式为∮L E ? ·dl ??? =1ε0∑qi i ，它说明静电场是非保守场 （D ）数学表达式为∮L E ? ·dl ??? =1 ε ∑qi i ，它说明静电场是保守场 ——————————————————————————————————————— 2、在下列说法： （1）可逆过程一定是准静态过程。 （2）准静态过程一定是可逆的。 （3）不可逆过程一定是非准静态过程。 （3）非准静态过程一定是不可逆的。 正确的是：（ A ） （A ）（1）、（4） （B ）（2）、（3） （C ）（1）、（2）、（3）、（4） （D ）（1）、（3） 3、计算热机效率的两个公式：①η=1- |Q|2Q 1 和②η=1- T 2T 1 ,下述说法正确的是（ D ） （A ）两个公式对任何循环都可使用 （B ）公式①对任何循环过程都可使用，而公式②只能对卡诺循环使用。 （C ）公式①对任何循环过程都可使用，而公式②只能对理想气体的卡诺循环使用。 （D ）公式①对任何循环过程都可使用，而公式②只能对可逆卡诺循环可以使用。 ——————————————————————————————————————— 4、使4mol 的理想气体，在T=400K 的等温状态下，体积从V 膨胀到2V ，则此过程中气体的熵增加为ΔS 1;若此气体的膨胀在绝热状态下进行的气体的熵增加为ΔS 2则有：（ D ） （A ）ΔS 1=4Rln2J ·K -1 ΔS 2﹥0 （B ）ΔS 1=4Rln2J ·K -1 ΔS 2≠0 （C ）ΔS 1=4Rln2J ·K -1 ΔS 2﹤0 （D ）ΔS 1=4Rln2J ·K -1 ΔS 2=0 ——————————————————————————————————————— 5、某导体圆环在匀强磁场之中发生了热膨胀，若该导体圆环在平面与纸面平行，且已知导体圆环中产生的感应电流是顺时针的，则该圆环所在处的磁感强度的方向为：（ C ） （A ）平行纸面向左 （B ）平行纸面向右 （C ）垂直纸面向外 （D ）垂直纸面向里 ——————————————————————————————————————— 6、在重力场中，分子质量m 的气体温度T 恒定，取z 轴竖直向上，z=0处的分子数密度为n 0，任意高度z 处的分子数密度为n ；在z=0处的压强这p 0。测得某高度处的压强为p 该处的高度为，它们的表达式可分别写为：（ C ） （A ）n=kT mg ln p 0p 和z=n 0e ?mgz kT 。 （B ）n=n 0e mgz kT 和z=kT mg ln p 0p （C ）n=n 0e ? mgz kT 和z=kT mg ln p 0 p （D ）n=n 0e ? mgz kT 和z=?kT mg ln p 0p ———————————————————————————————————————
天津大学《最优化方法》复习题(含答案)
天津大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的 严格局部最优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍
属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法，则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。 14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √ 15 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式
东北大学控制理论与控制工程博士论文要求
控制理论与控制工程学科 一、学科简介 该学科以工程系统为主要对象，以数学方法和计算机技术为主要工具，研究各种控制策略及控制系统的理论、方法和技术。控制理论是学科的重要基础和核心内容；控制工程是学科的背景动力和发展目标。东北大学控制理论与控制工程学科是经国家教委批准建立的全国首批博士点及自动控制博士后流动站；是国家和省级重点学科，是国家“211工程”和“985工程”的重点建设学科；拥有国家冶金自动化工程技术中心，教育部流程工业综合自动化实验室，“985”流程工业综合自动化科技创新平台。以控制理论与控制工程学科为龙头的控制科学与工程学科在国家一级学科评比中排名第一。学科现有博士生导师15人，学术梯队年龄结构合理，拥有国家自然科学基金创新群体2个，教育部创新团队1个，其中包括学科带头人中科院院士张嗣瀛教授、中国工程院院士柴天佑教授，“长江学者计划”特聘教授刘晓平教授、张化光教授、杨光红教授。学科目前承担国家“十一五”科技攻关项目、自然科学基金重点项目、973项目、863项目、国家、教育部、省、市各级纵向科研项目多项；与美、英、加、澳等众多的国家和地区的著名大学建立长期的学术合作关系；在国内外重要学术杂志和国际学术会议上发表论文数量在国内同学科名列前茅；若干理论研究成果已达到国际领先水平。曾获国家自然科学三等奖、国家科技进步二、三等奖、国家教育部科学进步一等奖、省部科技进步一等奖等多项奖励。学科还主办《控制与决策》和《控制工程》等学术杂志，并举办“中国控制与决策学术年会”，在国内具有重要影响。目前，该学科已成为东北大学教学、科研与研究生培养的一个重要基地，具备独立培养高质量高层次人才的能力。 二、培养目标 控制理论与控制工程博士的培养目标是为国家培养控制领域的高层次研究开发人才，具体目标有： 1．热爱祖国，遵纪守法，具有良好的道德品质，学风严谨。 2．掌握本学科坚实宽广的基础理论和系统深入的专门知识。 3．具有独立的从事科研工作的能力。 4．在本学科领域取得一定的创造性成果。 三、学习年限与学分要求 全日制攻读博士学位，学习年限原则上为3年；在职攻读博士学位，学习年限原则上为4年，但无论全日制还是在职攻读博士学位，保留学籍时间不超过6年。 学分要求：最低学分10学分。
东北大学大学物理2011
一、 填空题 1. 已知两分振动的振动方程分别为：t x ωcos 1= 和 )2 cos(32π ω+ = t x ， （其中 x 的单位为m ，t 的单位为s ），则合振动的振幅为A = ______m 。 2. 在驻波中，设波长为λ，则相邻波节和波腹之间的距离为_______ 。 3．火车A 行驶的速率为20m/s ，火车A 汽笛发出的声波频率为640Hz ；迎面开来另一列 行驶速率为25m/s 的火车B ，则火车B 的司机听到火车A 汽笛声的频率为 Hz . (空气中的声速为: 340m/s) 4．在空气中，用波长为λ= 500 nm 的单色光垂直入射一平面透射光栅上，第二级缺级 光栅常数 d =2.3×10 －3 mm ，则在观察屏上出现的全部主极大条纹条数为__ _条。 5．光的偏振现象说明光波是____ ______。 6．一体积为V 的容器内储有氧气（视为理想气体，氧气分子视为刚性分子），其压强为P ，温度为T ，已知玻耳兹曼常数为k 、普适气体常数（摩尔气体常数）为R ， 则此氧气系统的分子数密度为_____ 、此氧气系统的内能为_______。 7．处于平衡态A 的理想气体系统，若经准静态等容过程变到平衡态B ，将从外界吸热416 J ； 若经准静态等压过程变到与平衡态B 有相同温度的平衡态C 时，将从外界吸热582 J ， 则从平衡态A 变到平衡态C 的准静态等压过程中，系统对外界所作的功为 J 。 8．不考虑相对论效应，电子从静止开始通过电势差为U=300V 的静电场加速后， 其德布罗意波长为_____nm 。 (电子静止质量：kg 101.931 -?=e m ；电子电量：C 10 6.119 -?=e ； 普朗克常量：s J 10 63.634 ??=-h ) 9．描述微观粒子运动的波函数ψ(r , t )须满足的条件是 、连续、有限、归一。 二、 选择题
北京理工大学级数学专业最优化方法期末试卷试题A卷MT.doc
课 程 编 号 : 0 7 0 0 0 2 0 3 北 京 理 工 大 学 2 0 0 7 - 2 0 0 8 学 年 第 二 学 期 2005 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷） 1． (20 分 )某化工厂有三种资源 A 、 B 、 C ，生产三种产品甲、乙、丙，设甲、乙、丙的产量分别为 x 1,x 2,x 3 ,其数学模型为： max z 3 x 1 2 x 2 5 x 3 1 2 x 2 3 430 ( A 资源限制 ) x x 3 x 1 2 x 3 460 ( B 资源限制 ) s.t 4 x 2 420 (C 资源限制 ) x x 1 , x 2 , x 3 0 请回答如下问题： （ 1）给出最优生产方案； （ 2）假定市场信息表明甲产品利润已上升了一倍，问生产方案应否调整？ （3）假定增加一种添加剂可显着提高产品质量，该添加剂的资源限制约束为： x 1 2 x 2 3x 3 800 问最优解有何变化？ 2． (12 分 )用 Newton 法求解 min f ( x ) 4 x 12 x 22 2 x 12 x 2 ，初始点取为 x 0 (1, 1)T ，迭代一步。 3．(10 分 )用 FR 共轭梯度法求解三个变量的函数 f ( x ) 的极小值，第一次迭代的搜索方向为 p 0 (1, 1,2)T ，沿 p 0 做精确线搜 索，得 x 1 ( x 11 , x 21 , x 31 )T ， 设 f ( x 1 ) 2, f ( x 1 ) 2 ，求从 x 1 出发的搜索方向 p 1 。 x 11 x 21 4． (15 分 ) 给定下面的 BFGS 拟 Newton 矩阵修正公式： H k 1 ( I s k y k T )H k ( I s k y k T )T s k s k T ， y k T s k y k T s k y k T s k 其中 s k x k 1 x k , y k g k 1 g k 用对应的拟 Newton 法求解： min f ( x ) x 1 2 2x 1 x 2 2 x 22 4 x 1 ，初始点取为 x 0 (0,0) T ， H 0 I 。 5． (15 分 )写出问题 取得最优解的 Kuhn-Tucker （ K － T ）必要条件，并通过 K － T 条件求出问题 K － T 点及相应 Lagrange 乘子。 6(12 分 )．求约束问题 在 x (0,0) T 及 x 2 (1,0) T 处的下降方向集合、可行方向集合以及可行下降方向集合，并画图表示出来 1 7（ 8 分）考察优化问题 min f ( x ) s.t. x ， D 设 D 为凸集， f ( x ) 为 D 上凸函数，证明： f ( x) 在 D 上取得极小值的那些点构成的集合是凸集。 8（ 8 分）设 min f ( x ) 1 x T Ax b T x c ，其中 A 为对称正定矩阵， x * 为 f ( x ) 的极小值点，又设 x 0 ( x*) 可表示为 2 x 0 x * p ，其中 R 1， p 是 A 对应于特征值 的特征向量，证明：若从 x 0 出发，沿最速下降方向做精确一维搜索， 则一步达到极小值点。 课程编号 :07000203 北京理工大学 2008-2009 学年第一学期 2006 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷） 1． (15 分 ) 用单纯形法求解线性规划问题 2． (10 分 )写出线性规划问题 的对偶问题并证明该对偶问题没有可行解。 3． (15 分 )考虑用最速下降法迭代一步 min f ( x) x 12 2x 22 ， 初始点取为 x 0 ( 1, 1)T 。（ 1）采用精确一维搜索；（ 2） 采用 Wolfe 条件进行不精确一维搜索，其中 0.1, 0.9 。 4． (15 分 )用 DFP 拟牛顿法求解 min f ( x) x 12 2x 22 初始点取为 x 0 1 ，初始矩阵 H 0 2 1 。 1 1 1 5． (15 分 )证明集合 S { x | x 1 2x 2 4, 2x 1 x 2 6} 是凸集，并计算原点 (0,0) 到集合 S 的最短距离。 6． (15 分 ?) 考虑问题 （1）用数学表达式写出在点 ( 1 , 5)T 处的下降可行方向集。 3 3 （ 2）假设当前点在 (0,0) T 处，求出用投影梯度法进行迭代时当前的下降可行方向（搜索方向）。 7（ 7 分）证明：在精确一维搜索条件下，共轭梯度法得到的搜索方向是下降方向。
(完整版)天津大学最优化历年试题
2003—2008《工程与科学计算》历届试题类型 1. 直解法 例 1. 用列主元素Gauss 消去解下列线性方程组（结果保留5位小数） ?? ? ??=++=++=++0000 .11000.12100.13310.18338.00000.10000.10000.16867.09000.08100.07290.0321321321x x x x x x x x x 例2. 设线性方程组b Ax =,其中 1 123 1 112341113 4 51 A ??? ?=?????? 求)(A Cond ∞，并分析线性方程组是否病态 ? 2.迭代法 例1. 设线性方程组b Ax =为 ?? ?? ??????=????????????????????-----221221122321x x x ααα ， 0≠α 写出求解线性方程组的Jacobi 迭代格式，并确定当α取何值时Jacobi 迭代格式收敛. 例 2. 写出求解线性方程组b Ax =的Seidel 迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中 b Ax =为 ?? ? ? ?=++-=+=-5 228262332 13231x x x x x x x 3.插值 例 1. 已知,12144,11121,10100=== （1）试用二次插值多项式计算115的近似值（数据保留至小数点后第5位） （2）估计所得结果的截断误差（数据保留至小数点后第5位） 例 2. 由下列插值条件 4. Runge —Kutta 格式 例 写出标准Kutta Runge -方法解初值问题 ???==+-=1 )0(,1)0(sin 2' 2'''y y x y xy y 的计算格式
13-14(1)最优化方法期末试卷
2013-2014学年第一学期 数学计算经数专业《最优化方法》（课程）期末试卷 试卷来源：自拟 送卷人:赵俊英 打印：赵俊英 乔凤云 校对：赵俊英 一．填空题（20分） 1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________， 可行域D 可以表 为_____________________________， 若____________________，称* x 为问题的全局最优解. 2.()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ，则=?)(x f ， =?)(2 x f . 3.设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向. 4. 无约束最优化问题：min (),n f x x R ∈，若k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =______________ 5. 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式为 . 6 .举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： . 7.函数222 21 12313()226f x x x x x x x x =+++- （填是或不是） 严格凸函数. 二．（18分）简答题： 1. 设计求解无约束优化问题的一个下降算法，并叙述其优缺点. 2. 叙述单折线法的算法思想. 3. 写出以下线性规化问题的对偶： 1234123412341234134min ()2536..873411,762323,324712,0,0,0.f x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+-??-+++=?? +++≥??+++≤? ≤≥≥??
东北大学材料工程研究生培养方案
附件11 专业学位硕士研究生培养方案 材料工程 （085204） 一、专业领域简介与研究方向 (一)专业领域简介 东北大学材料工程是国家首批试点招收与培养工程硕士的领域之一，也是首批设立培养全日制专业硕士学位研究生的领域之一。与本领域相对应的材料科学与工程学科是我国冶金与材料领域最早建立的学科之一，涵盖材料物理与化学、材料学、材料加工工程3个二级学科，具有学科齐全、理工结合等特点。本学科1962年起开始培养研究生，1981年具有首批硕士、博士学位授权点，1998年被批准为博士学位授权一级学科，2007年被评为一级学科国家重点学科，并于同年设立博士后流动站。 依托本学科，建有“轧制技术及连轧自动化国家重点实验室”、“材料电磁过程研究教育部重点实验室”、“材料各向异性与织构教育部重点实验室”和发改委与地方共建的“材料电磁冶金国家工程实验室”、“金属材料微结构设计与控制辽宁省重点实验室”、“教育部新材料与功能材料网上合作研究中心”、“新材料技术辽宁省高校重点实验室”和“辽宁省金属防护专业技术服务中心”等科研教学基地。 本学科以金属材料和无机非金属材料为重点，以功能材料为发展前沿，以金属材料升级换代和新材料研制为使命，围绕工艺绿色化、装备智能化和产品高质化开展基础研究、应用基础研究及关键共性技术研究，在行业关键共性技术和高端金属材料产品两方面实现突破，为材料的研制、生产和应用提供原创性理论和关键技术。学科立足国际前沿，致力于建设高层次复合型人才培养、科研与成果转化和学术交流的国际一流基地，使学科成为推动材料发展、促进材料技术进步和服务经济社会及国防建设的典范。 (二)研究方向： 1.材料设计、模拟与仿真 2.低维材料的制备、结构与性能 3.材料微结构与性能的调控 4.新型功能材料的制备、结构与性能 5.高性能陶瓷及粉末冶金材料 6.材料表面技术
最优化方法课程教学大纲
《最优化方法》课程教学大纲 Methods of Optimization 课程代码： 课程性质：专业基础理论课/选修 适用专业：信息计算、统计学开课学期：6 总学时数：56总学分数：3.5 编写年月：2002年3月修订年月：2007年7月 执笔：刘伟 一、课程的性质和目的 最优化计算方法是在生产实践和科学实验中选取最佳决策，研究在一定限制条件下，选取某种方案，以达到最优目标的一门学科，广泛应用与空间科学、军事科学、系统识别、通讯、工程设计、自动控制、经济管理等各个领域，是工科院校高年纪学生、研究生、应用数学专业学生和搞优化设计的工程技术人员的一门重要课程。通过本课程教学，使学生掌握最优化计算方法的基本概念和基本理论，初步学会处理应用最优化方法解决实际中的碰到的各个问题，培养解决实际问题的能力。 二、课程教学内容及学时分配 （一）教学内容 1. 最优化方法和最优化模型 最优化方法定义、最优化问题的数学模型与分类；根据问题特点（无约束最优化与约束最优化），根据函数类型（线性规划，非线性规划）；最优化方法（解析法，直接法），最优解与极值点。 2.基础知识 多元函数泰勒公式的矩阵形式，古典极值理论问题，二次函数求梯度公式，凸集，凸函数，凸规划，几个重要的不等式。 3. 常用的一维搜索方法 一维搜索法是最优化的基础，“成功－失败”法的思想与算法，黄金分割法（０.618法）的思想与算法，二次插值法，三次插值法，Ｄ。Ｓ。Ｃ法，Ｐowell 法等方法的思想与算法。 4. 无约束最优化方法 无约束最优化方法是最优化方法中的基本方法。最速下降法的思想与算法步骤，牛顿法的思想与算法步骤，共轭方向法的思想与算法步骤，共轭梯度法的思想与算法步骤，变尺度法（ＤＦＰ法和ＢＦＧＳ法）的思想与算法步骤 5. 约束最优化方法 约束最优化方法通常约束问题转化为无约束问题求解。序列无约束极小化方法（ＳＵＭＴ－外点法与ＳＵＭＴ－内点法）的思想与算法步骤，内点的求法，其他罚函数法,Frank-Wolfe法的思想与算法步骤
最优化方法考试试题
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2010--2011学年第 1 学期 考试科目： 运筹学与最优化方法 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、 用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12121212max 105349 ..528,0z x x x x s t x x x x =++≤?? +≤??≥?
二、灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分） 12121212max 62 ..33,0z x x x x s t x x x x =++≥?? +≤??≥? 三、解下列0-1型整数规划问题（共 10 分） 12345123451345124512345max 325232473438..116333,,,,01 z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+++++≤??+-+≤?? -+-≥??=?或
四、利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分） 22121122 121212 max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤??+≤??≥? 五、用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分） 21 121 2min ()6923..3 f X x x x x s t x =-++≥??≥?
六、给定初始点(0)(1,1)T X =，用最速下降法迭代一次研究下列函数的极大值。（共 15 分） 22 121122()46222f X x x x x x x =+--- 七、某人因工作需要购置了一辆摩托车,他可以连续使用或任一年末将旧车卖掉,换一辆新车,下表列出了于第i 年末购置或更新 的车至第j 年末的各项费用的累计(含更新所需费用、运行费用及维修费用等)，试据此确定该人最佳的更新策略，使从第一年至第五年末的各项费用的累计之和为最小。（共 15 分）
东北大学《现代设计方法》期末考试必备真题集(含答案)71
现代设计方法 一．选择题 1. 机械设计的一般程序，应该是（ C ）。 A) 设计规划、技术设计、方案设计、施工设计 B) 技术设计、设计规划、方案设计、施工设计 C) 设计规划、方案设计、技术设计、施工设计 D）设计规划、方案设计、施工设计、技术设计 2. 功能分解的结果有两种表达方式，其中，（ B ）在形式上比较简单、直观，可以清晰地表达各分功能的层次关系，而（ A ）则能够更充分地表达各分功能之间的相互配合关系。 A) 功能结构图B) 功能树 C) 功能元D）核心功能 3. 布置传动系统时，一般把转变运动形式的机构（如凸轮机构、连杆机构等）布置在传动链的（），与执行机构靠近，这样安排可使传动链简单，且可减小传动系统的惯性冲击。 A) 低速端B) 高速端 4. 室内工作的机械选择（ B ）作为动力机不太合适。 A）电动机B）内燃机 C）液压马达D）气动马达 5. 执行系统中直接完成工作任务的零部件是（ A ）。 A. 执行构件 B. 执行机构 6. 考虑力流的合理性时，以下的结构设计中（ A ）比较好。 A) B) 7. 平面应力问题的几何和受力特点是（ D ）。 A) 薄板问题、应力是平面的。B) 薄板问题、应变是平面的。
C) 坝体问题、应力是平面的。D) 坝体问题、应变是平面的。 8. 可靠度R(t)与不可靠度F(t)之间的关系通常是（A ） A) R(t)·F(t) = 1 B) R(t) – F(t) = 1 C) R(t) + F(t) = 1 二．判断题： 1. 一个机械系统通常由动力系统、执行系统、传动系统、操纵控制系统、架体支撑系统几部分组成。（ F ） 2. 利用对未知系统的外部观测，分析该系统与环境之间的输入和输出，通过输入和输出的转换关系确定系统的功能、特性所需具备的工作原理与内部结构，这种方法称为黑箱法。（ T ） 3. 应用有限元法求解复杂的实际问题，得到的不是精确解。（ F ） 4. 在建立优化设计的数学模型时，其不等式约束的个数u必须小于设计变量的维数n。（） 5. 设计可行域指设计空间中满足所有等式约束条件的空间。（ F ） 6. 可修复产品的平均寿命用MTTF表示。（ T ） 三．简答题 1. 试论述机械系统总体方案设计的概念、基本内容和一般过程。 机械系统总体设计是指从全局的角度，以系统的观点，所进行的有关整体方面的设计。 基本内容：机械系统功能原理方案设计、总体布局、系统的主要参数确定及系统的精度等内容。 总体设计程序为：明确设计思想→分析综合要求→决定性能参数→调研同类机械→拟定总体草图→方案对比定型→编写总体设计论证书。 2. 举例说明执行系统的主要计算参数如何决定。 根据功能原理方案，由执行系统的功能来决定。 例：功能为分度或转位，则计算周期、分度角等；功能为抓取，则计算抓取物的尺寸、抓取力等；利用杆机构，则各杆长的计算等等。（举例部分非标准答案，可举你最熟悉的设备的计算实例） 3. 详细说明机械结构设计应遵循的三项基本原则。 答案】
《最优化方法》复习题(含答案)
x zD 天津大学《最优化方法》复习题(含答案) 第一章 概述(包括凸规划) 判断与填空题 arg max f(x)二 arg min 以儿 “ max(x): x D 二 R n 』=-min(x): x D 二 R n ； 设f : D 5 R n > R.若x ： R n ，对于一切R n 恒有f(x”)^f(x)，则称x”为 设f : D 5 R n >R.若x ” ? D ,存在x ”的某邻域N ；(x”)，使得对一切 x ?N .(x)恒有f(x”)：：： f (x)，则称x”为最优化问题 min f (x)的严格局部最 优解? 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值 ? V 非空集合D R n 为凸集当且仅当 D 中任意两点连线段上任一点属于 D . V 非空集合D R n 为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于 D . V 任意两个凸集的并集为凸集? 函数f:D R n >R 为凸集D 上的凸函数当且仅当 -f 为D 上的凹函数? V 设f : D R n >R 为凸集D 上的可微凸函数，X ：D ?则对-D ,有 f (x) - f(x )乞 f (x )T (X —X )? 若c(x)是凹函数，则 D={x^R n C(x)启0}是凸集。 V f(x)的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法, 则对-k ? 5,1, 2,…匚恒有 ________________ f(x k1)乞 f(x k ) ______________ ? 算法迭代时的终止准则(写出三种) ： ___________________________________________________ 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(整理)东北大学系统工程.
系统工程学科 一、学科简介 系统工程硕士点现有教授6人，副教授5人，其中博士导师5人,硕士生导师11人,具有博士学位的教师13人。近年来，在科研方面,先后完成并连续承担国际合作科研项目,国家自然科学基金项目（共13项，包括重点与杰出青年基金项目）,国家863高科技项目,国家九五和十五攻关项目和冶金部重点研究项目等高层次理论研究项目及生产实际课题，获得国家和省部级科技进步奖16余项；学术研究方面,取得了一系列具有国际前沿水平和国内先进水平的研究成果,在国内外杂志上发表了学术论文300余篇，其中国际杂权威志论文60余篇。论文被SCI／EI收录107余篇。本专业研究方向新，处于国际前沿；所有教师均有国外工作经历，显示出很强的实力和巨大的潜力。 二、培养目标 1.思想政治品质高,作风优良,原则性强,执着的敬业精神。 2.能够独立从从事理论研究和工程项目开发能力。 3.具有组织工作能力和协调关系的能力。 按我校研究生院增加培养类型的要求,分别培养理论研究型,应用研究型硕士研究生。 三、学习年限与学分要求 全日制攻读硕士:2学年，最低30学分； 四、论文工作 理论研究型硕士生:要求在系统工程的某研究领域里研究有所创新,发表了2篇以上的学术论文,其中至少1篇发表在国内杂志或国际会议上。应用研究型硕士生:要求在科研中解决了一定的理论或技术难题,在系统分析、设计或开发中完成一定的工作量,取得较好效益或成果,并撰写了2篇以上技术报告。 五、研究方向 系统工程专业今后的研究方向主要集中在以下几个方面: 1.复杂系统(社会、经济、生产系统)的建模与优化的软计算方法 2.电子商务、制造系统生产与物流运作管理、商业与服务系统运作优化与决策
天津大学最优化方法复习题
《最优化方法》复习题 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ?∈-=? ∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为 最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(* x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称* x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈* . 则对D x ∈?，有 ).()()()(* **-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .