2015届九年级上学期期末竞赛数学考试及答案

（时间：120分钟 满分：120分）

一、选择题（每题3分，共45分）

1．如图所示几何体的主（正）视图是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．一个口袋中装有 4个白球，1个红球，7个黄球，搅匀后随机从袋中摸出 1个球是白球的概率是（ ） A

2

1 B

3

1 C

4

1 D

5

1

3．抛物线42

-=x y 的顶点坐标是（ ）

A （2，0）

B （－2，0）

C （1，－3）

D （0，－4）

4．若x 1，x 2是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ） A ．1 B ．5 C ．5- D ．6

5．身高1.6米的小芳站在一棵树下照了一张照片，小明量得照片上小芳的高度是1.2厘米，树的高度为6厘米，则树的实际高度大约是（ ）

A ．8米

B ．4.5米

C ．8厘米

D ．4.5厘米 6．顺次连结一个四边形各边中点所得的四边形必定是( )。 A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形.

7. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ）

A ．40°

B ．30°

C ．20°

D ．10°

8. 如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3， 则sinB

的值是（ ）

A. 2 3

B. 3 2

C. 3 4

D. 4 3

9．已知线段AB=1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为（ ） Ａ．

215- B ．253- C ．2

15-或25

3- D ．以上都不对

10．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°．AC ＝4． 则BD 的长为（ ）

（A ）38 （B ）34 （C ）32 （D ）8

11. 如图，AB ∥CD ，BO ：OC=

1：4，点E 、F 分别是OC ，

C

A

B

D

（第8题图）

第7题图

A

'

B

D

A C F

O

A

B

E

OD 的中点，则EF ：AB 的值为（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

12.上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元. 下列所列方程

中正确的是（ ）A ．128)% 1(1682=+a B ．

128)% 1(1682

=-a C ．128)% 21(168=-a D ．

128)% 1(1682

=-a 13.已知点A （11x y ，）、B （22x y ，）是反比例函数x

k

y =（0>k ）图象上的两点，若21

0x x <<，

则有（ ） A ．210y y <<

B ．120y y <<

C ．021<

D ．012<

14.把抛物线2

y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式

为（ ）. A ．2

(1)3y x =--- B ．2

(1)3y x =-+-

C ．2

(1)3y x =--+ D ．2

(1)3y x =-++

15.定义[,,a b c ]为函数2

y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，3

8

)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于2

3

； ③ 当m < 0时，函数在x >

4

1

时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ ）

A. ①②③④

B. ①②④ C . ①③④ D . ②④ 二、填空题（每空3分，共18分） 16. 已知点A （2，m ）在函数x

y 2

=

的图象上，那么m=_________。 17．在比例尺为1:50000的某城市旅游地图上，某条公路的长度是15厘米，则这条公路的

实际长度是_________千米.

18.下图是某天内，电线杆在不同时刻的影长，按先后顺序应当排列为:________.

C

D

19．如图，已知△ADE ∽△ABC ，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=________. 20．定义新运算“*”，规则：()

()

a a

b a b b a b ≥?*=?

522-*=。若

210x x +-=的两根为12,x x ，则12x x *＝ ．

21. 如图，在反比例函数2

y x

=

（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横 坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面

积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ．

三、解答题（共7个大题，共57分）

22．（7分）

（1）解方程：2310x x --=． （2）104cos30sin 60(2)(20092008)-??+---

23.（7分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o降为30o，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）

（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449=== )

2y x

=

x

y

O

P 1

P 2

P 3 P 4 1

2

3

4

第19题图 A D C

E

B

24.（8分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件。每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？为获得最大利润，商场该商品应降价多少元？

25(8分)将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；

（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是；

（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．

第26题图

26. （本小题满分9分）

如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图象与x 轴交于A (-

2

1

，0)、B (2，0)两点，且与y 轴交于点C .

(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状； (2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；

(3) 在拋物线上存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形，求出P 点的坐标.

27．已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．

y x

Q

P

O

B

A

（1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

28．（9分）．如图，在平面直角坐标系x Oy 中，已知点A(4，0)，点B(0，3)，点P 从点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q 从点A 出发沿AO 方向向点O 匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ ．若设运动的时间为t 秒(0＜t ＜2)．

(1)求直线AB 的解析式；

(2)设△AQP 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△AOB 的周长和面积同时平分？

若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

(4)连结PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP O'，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP O'为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．

提示：

亲爱的同学，请认真检查，不要漏题哟！

一：选择题答案：

二：填空题答案：

解答题：

22:（1）略（不好打根号所以略）（3分）（2）1.5 （4分）

23：R

t △ACB中，AC=AB×sin45?=

2

5

5（m）（1分）

∴AD-AB≈ 2.07（m）．改善后的滑梯会加长2.07 m ．（4分）（2）这样改造能行．

因为CD-BC≈2.59（m），而6-3 > 2.59．

24：解：设每件商品应降价x元，由题意得：

（50-x）(30+2x)=2100

解得x

1

=20,x2=15 因为尽快减少库存,所以舍去15元。

设每件应降价x元，获得利润为Y元，由题意得y=(50-x)(30+2x)

根据二次函数顶点坐标得x=17.5元时获利最大。

27：(1)BM+DN=MN AEM全等与三角形ANM

(2)DN-BM=MN AMN全等于三角形AQN

28：

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴

解得，

∴直线AB的解析式是y=-x+3．

（2）在Rt△AOB中，AB==5，

依题意，得BP=t，AP=5-t，AQ=2t，

过点P作PM⊥AO于M，

∵△APM∽△ABO，

∴，

∴，

∴PM=3-t，

∴y=AQ?PM=?2t?（3-t）=-t2+3t．

解得t=1．

若PQ把△AOB面积平分，则S△APQ=S△AOB，

∴-t2+3t=3，

∵t=1代入上面方程不成立，

∴不存在某一时刻t，使线段PQ把△AOB的周长和面积同时平分．

（4）存在某一时刻t，使四边形PQP'O为菱形，

过点P作PN⊥BO于N，

若四边形PQP′O是菱形，则有PQ=PO，

∵PM⊥AO于M，

∴QM=OM，

∵PN⊥BO于N，可得△PBN∽△ABO，

∴，

∴，

∴PN=t，

∴QM=OM=t，

∴t+t+2t=4，

∴t=，

∴当t=时，四边形PQP′O是菱形，

∴OQ=4-2t=，

∴点Q的坐标是（，0）．

∵PM=3-t=，OM=t=，

在Rt△PMO中，PO===，∴菱形PQP′O的边长为．