高二数学选修第3章综合素质检测

第三章综合素质检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知二次函数y ＝ax 2＋(a 2＋1)x 在x ＝1处的导数值为1，则该函数的最大值是( ) A.

2516 B.258 C.254 D.252

2．曲线y ＝x 3

的切线中斜率等于1的直线( )

A ．不存在

B ．存在，有且仅有一条

C ．存在，有且恰有两条

D ．存在，但条数不确定 3．若曲线y ＝x 4

的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0

4．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调减区间为( )

A ．[－1，＋∞)

B ．(－∞，2]

C ．(－∞，－1)和(1,2)

D ．[2，＋∞) 5．函数f (x )＝x 3

＋3x 2

＋3x 的单调区间为( )

A ．(－∞，＋∞)

B ．(－∞，－1)

C ．(0，＋∞)

D ．(－1，＋∞) 6．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( )

A ．f (x )＝x 4

B ．f (x )＝x 4

－2 C ．f (x )＝x 4

＋1 D ．f (x )＝x 4

＋2

7．已知抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( ) A ．20

B ．9

C ．－2

D ．2

8．已知f (x －1)＝2x 2－x ，则f ′(x )等于( ) A ．4x ＋3

B ．4x －1

C ．4x －5

D ．4x －3

9．已知三次函数f (x )＝1

3x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，

则m 的取值范围是( )

A ．m <2或m >4

B ．－4

C ．2

D ．以上皆不正确

10．函数f (x )＝x 2＋(2－a )x ＋a －1是偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是( )

A ．y ＝2x

B ．y ＝－2x ＋4

C ．y ＝－x

D ．y ＝－x ＋2 11．设函数f (x )的图象如图，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是下图中的( )

12．曲线y ＝x sin x 在点????－π2，π

2处的切线与x 轴，直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )

A.π

2

2

B ．π2

C ．2π2

D.1

2

(2＋π)2

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝x 3

－3a 2

x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．

14．若函数f (x )＝ax 2－1

x 的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．

15．曲线y ＝－133－2在点???

?

－1，－53处的切线的倾斜角为________．

16．函数f (x )＝－1

3x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

)

17．(本题满分12分)已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)、Q (－1，1

2)．

求：(1)曲线在点P 处，点Q 处的切线斜率； (2)曲线在点P 、Q 处的切线方程．

18．(本题满分12分)已知f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a 、b 的值．

19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋1

2(a －1)x 2＋bx (a ，b 为常数)在x ＝1和x ＝4处取得

极值．

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)当x ∈[－2,2]时，y ＝f (x )的图象在直线5x ＋2y －c ＝0的下方，求c 的取值范围．

20．(本题满分12分)(2010·陕西文，21)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )

与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线方程．

21．(本题满分12分)已知x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m <0.

(1)求m 与n 的关系表达式． (2)求f (x )的单调区间．

22．(本题满分14分)若t 为大于－2的常数，求函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，t ]上的最值．

1[答案] B

[解析] y ′＝2ax ＋a 2＋1，∵y ′|x ＝1＝2a ＋a 2＋1＝1， ∴a 2＋2a ＝0，a ＝0或a ＝－2，

又∵a ≠0，a ＝－2，y ＝－2????x －542＋25

8，

∴函数的最大值为25

8

，故选B. 2[答案] C

[解析] y ′＝(x 3)′＝3x 2，令3x 2

＝1，得x ＝±33，

切点为????33，39或????－33，－39，故选C.

3[答案] A

[解析] 考查斜率与导数及直线方程基本知识．

因为y ′＝4x 3

，由y ′＝4得x ＝1.而x ＝1时y ＝1，故l 方程为4x －y －3＝0. 4[答案] B

[解析] 由导数几何意义知，在(－∞，2]上f ′(x )<0，故单调递减． 5[答案] A

[解析] f ′(x )＝3x 2

＋6x ＋3＝3(x 2

＋2x ＋1) ＝3(x ＋1)2≥0对x ∈R 恒成立，

所以f (x )＝x 3＋3x 2＋3x 在R 上为增函数，故选A. 6[答案] B

[解析] 把答案代入验证，排除A 、C 、D ，故选B. 7[答案] C

[解析] 由题意得y ′|x ＝2＝1，又y ′＝－4x ＋b ， ∴－4×2＋b ＝1，∴b ＝9， 又点(2，－1)在抛物线上， ∴c ＝－11，∴b ＋c ＝－2，故选C. 8[答案] A

[解析] ∵f (x －1)＝2x 2－x ，令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝2(t ＋1)2－(t ＋1)＝2t 2＋3t ＋1， ∴f (x )＝2x 2＋3x ＋1，∴f ′(x )＝4x ＋3，故选A. 9[答案] D

[解析] f ′(x )＝x 2

－2(4m －1)x ＋15m 2

－2m －7， 由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立， ∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D. 10[答案] A

[解析] 考查利用导数确定切线方程．由f (x )为偶函数得a ＝2，即f (x )＝x 2＋1，从而f ′(1)＝2.切点(1,2)，所以切线为y ＝2x .

11[答案] D

[解析] 由y ＝f (x )图象知有两个极值点，第一个是极大值点，第二个是极小值点，由极值意义知．选D.

12[答案] A

[解析] y ＝x sin x 在????－π2，π2处切线为y ＝－x ，所围成的三角形面积为π

2

2.

13[答案] ???

?22，＋∞

[解析] f ′(x )＝3x 2

－3a 2

＝3(x ＋a )(x －a )， 令f ′(x )>0得x >a 或x <－a ， 令f ′(x )<0得－a

∴当x ＝－a 时，f (x )取极大值f (－a )＝2a 3＋a ， ∵a >0，∴2a 3

＋a >0，

当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝a －2a 3，

由题意得a －2a 3<0， 又a >0，∴1－2a 2<0，∴a >22

. 14[答案] a ≥0

[解析] f ′(x )＝????ax －1x ′＝a ＋1

x

2，

由题意得，a ＋1

x 2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，

∴a ≥－1

x 2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.

15[答案] 135°

[解析] y ′|x ＝－1＝－1，所以k ＝－1，即倾斜角为135°. 16[答案] [－2,1)

[解析] 由于f ′(x )＝－x 2

＋1.易知(－∞，－1)上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减．故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值条件为?????

a <1，10－a 2

>1，

f (1)≥f (a ).

所以－2≤a <1.

17[解析] ∵－1＝1

t －2，

∴t ＝1 ∴y ＝11－x

， ∴y ′＝

1

(1－x )2

. (1)当P 为切点时，k 1＝y ′|x ＝2＝1， 当Q 为切点时，k 2＝y ′|x ＝－1＝1

4.

(2)当P 为切点时，方程为x －y －3＝0； 当Q 为切点时，x －4y ＋3＝0.

18[解析] 显然a ≠0(否则f (x )＝b 与题设矛盾)，由f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]得，x ＝0.

(1)当a >0时，列表：

由上表知，f (x )在[f (x )在[0,2]上是减函数．

且当x ＝0时，f (x )有最大值，从而b ＝3. 又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3， ∵a >0，∴f (－1)>f (2)，

从而f (2)＝－16a ＋3＝－29，∴a ＝2.

(2)当a <0时，用类似的方法可判断当x ＝0时，f (x )有最小值，当x ＝2时，f (x )有最大值， 从而f (0)＝b ＝－29，f (2)＝－16a －29＝3，得a ＝－2. 综上，a ＝2、b ＝3或a ＝－2、b ＝－29. 19[解析] (1)f ′(x )＝x 2＋(a －1)x ＋b .

由题设知?

????

f ′(1)＝1＋(a －1)＋b ＝0，

f ′(4)＝16＋4(a －1)＋b ＝0，

解得???

??

a ＝－4，

b ＝4.

所以f (x )＝13x 3－5

2x 2＋4x .

(2)由题设知f (x )<－1

2(5x －c )，

即c >2

3

x 3－5x 2＋13x .

设Q (x )＝2

3x 3－5x 2＋13x ，x ∈[－2,2]，所以c 只要大于Q (x )的最大值即可．Q ′(x )＝2x 2－10x

＋13，当x ∈(－2,2)时Q ′(x )>0.

所以Q (x )max ＝Q (2)＝

343，所以c >343. 20[解析] 本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识，考查推理论证能力和分析问题和解决问题的能力．

f ′(x )＝1

2x

，g ′(x )＝a x (x >0)，

由已知得?????

x ＝a ln x ，

12x ＝a

x

，解得a ＝e

2

，x ＝e 2，

∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e )，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝1

2e

∴切线的方程为y －e ＝1

2e (x －e 2)．

21[解析] (1)f ′(x )＝3mx 2

－6(m ＋1)x ＋n ，

∵x ＝1是函数f (x )＝mx 3

－3(m ＋1)x 2

＋nx ＋1的一个极值点，∴f ′(1)＝0，∴3m －6(m ＋1)＋n ＝0，

∴n ＝3m ＋6.

(2)函数f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n ＝3mx 2

－6(m ＋1)x ＋3m ＋6

＝3(x －1)[mx －(m ＋2)]＝3m (x －1)???

?

x －m ＋2m ＝3m (x －1)????x －????1＋2m .

∵m <0，∴1＋2

m

<1，

令f ′(x )>0，得3m (x －1)????x －

????1＋2m >0， ∴(x －1)????x －

????1＋2m <0，∴1＋2m

?1＋2

m ，1，

令f ′(x )<0，得3m (x －1)????x －????1＋2m <0， ∴(x －1)????x －????1＋2m >0，∴x >1或x <1＋2m

， 故函数f (x )的单调减区间为???

?－∞，1＋2

m 和(1，＋∞)．

22[解析] 对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，知f (x )在区间[－2，－1]，(1，＋∞)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减．

①当t ∈(－2，－1)时，f (x )在区间[－2，t ]上单调递增． 所以f (x )min ＝f (－2)＝－2，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t .

②当t ∈[－1,1]时，f (x )在(－2，－1)上单调递增，在(－1，t )上单调递减．由f (t )≥f (1)＝－2＝f (－2)知f (x )min ＝f (－2)＝－2，f (x )max ＝f (－1)＝2.

③当t ∈(1，＋∞)时，f (x )在区间(－2，－1)上递增，在区间(－1,1)上递减，在(1，t )上递增，所以f (x )的最小值为f (－2)，f (1)中较小者．

因为f (－2)＝f (1)＝－2，所以f (x )min ＝－2.

令f (t )＝2，即t 3－3t －2＝0○ ，据f (－1)＝2知t ＝－1是○ 式的一个根．所以t 3－3t －2＝(t ＋1)(t 2－t －2)＝(t ＋1)2(t －2)，所以t ＝2也为○ 式的根，即f (2)＝2.由f (x )的单调性知，当t ∈(1,2]时，f (x )max ＝f (－1)＝2，当t ∈(2，＋∞)时，f (x )max ＝f (t )＝t 3

－3t .

综上，f (x )min ＝－2.

f (x )max ＝?

????

2，t ∈[－1，2]，

t 3－3t ，t ∈(－2，－1)∪(2，＋∞).

[点评] 利用导数求最值，关键是极值点与端点值比较，最大的为f (x )最大值，最小的为

f (x )最小值．本题按照导数为0的点与区间的位置关系进行讨论．进而对最值情况展开讨论．