抛物线顶点坐标的求法(公式法)
抛物线顶点坐标的求法(公式法)
1、二次函数表达式的“一般形式”为 ; 李丹与王涓(2019届bobo )
2、二次函数表达式的“配方形式”为 ;
一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标
1、先把“一般形式”的二次函数
c
bx ax y 2++=(
a ≠)转化成“配方形式”
为 ,再依据由“配方式”看顶点坐标的方法,可知其顶点坐标
为 ,我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”; ①、求二次函数35x 2x y
2+=-的顶点坐标以及最值?
解:由顶点坐标公式得:==2a
b
x -
顶横
; ==4a
b 4a
c y 2-顶纵
;
∴ 顶点坐标为 ;
又∵ 抛物线开口向 ,有最 点,∴ y 有最 值; 即:当=x 时, = ;
②、求二次函数3112x 2x y
2--+=的顶点坐标,并对函数的增减性作出描述?
解:由顶点坐标公式得:==2a
b
x -
顶横 ; 把=顶横
x 代入函数表达式得:=顶纵y
= ; ∴ 顶点坐标为 ;
又∵ 抛物线开口向 ,所以,
在对称轴的左侧,即当自变量x 时,y 的值随x 的增大而 ; 在对称轴的右侧,即当自变量x 时,y 的值随x 的增大而 ;
③、求二次函数3112x 2x y
2--+=的顶点坐标、并在当4<5x ≤时,求函数y 的最值?
解:由顶点坐标公式得:==2a
b
x -
顶横 ; ∴ 可设抛物线的表达式为:(
)()k x
y
2+=,易求=k ;
∴ 原表达式化为配方式为 ,则顶点坐标为 ; 又=顶横
x ,不在“4<5x ≤”的范围内,∴ 函数y 的最值“不在”顶点处取,
由图形可知,当=x 时,=min y ;
变式:如果把“4<5x
≤”改为“5x 4≤≤”
,问y 有最大值吗?答: ; 点评:第①题是严格运用“顶点坐标”公式,分别求顶横x 和顶纵y (不妨命名为:全求分别法); 第②题是先求顶横x ,然后代入函数表达式,再求出顶纵y (不妨命名为:半求代入法); 第③题是先求顶横x ,然后“拼凑”出配方式,再求出k y =顶纵
(不妨命名为:半求拼凑法);
以上“三种”方法,请根据实际情况灵活选择,以便于计算作为“选择依据”!!!
二、怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标
1、基本事实依据:什么叫抛物线的对称轴?
答:第一种说法,经过抛物线的顶点,且垂直于 轴的直线,叫做抛物线的对称轴; 第二种说法,抛物线上任意一对“对称点”连线的 线,叫做抛物线的对称轴; 2、二次函数的表达式的“交点形式”为()()21x x x x a y
--=(0a ≠).
其中,“a 值”与“一般形式”c bx ax y 2++=(0a ≠)中“a 值”的相等,而“1x 、2x ”
分别代表抛物线c bx ax y 2++=(0a ≠)与x 轴的交点横坐标,即是说“1x 、2x ”是一元二次方
程0c bx ax
2
=++(0a ≠)的二根,所以抛物线的“交点形式”,也可称“二根形式”。
3、重要思路?:如果抛物线c bx ax y
2++=(0a ≠)与x 轴有两个交点,分别为A (1x ,0)、
B (2x ,0),那么线段AB 的“垂直平分线”必为抛物线的 ,这条对称轴的表达式为:
直线顶横也x 2
x x x 2
1=+=
(关于这一结论,可以通过举例,来加以理解!)。 知道了顶横x ,就可以根据表达式()()21x x x x a y
--=,利用“半求代入法”,求出“顶纵y ”,
岂不快哉!如此一来,也能“又快、有准”地写出“配方形式”()k h x a y
2
++=,岂不美哉!
①、求二次函数()()6x 1x 3y +=-的顶点坐标以及最值,并把解析式化为配方式.
解: 联立 得:()()06x 1x 3
=+-,解得:=1x ,=2x ;
∴ 抛物线的对称轴为:直线=x = ;
把=顶横
x 代入()()6x 1x 3y +=-,得=顶纵y = ;
∴ 顶点坐标为 ,∴当=x
时, = ;
则抛物线的配方形式为 ;
()()??
?=+=0
y x 6x 1x 3y 轴:-
抛物线:
②、求抛物线16x 9x y 2--+=的顶点坐标,并在x 1≤-<4的范围内,求函数y 的最值?
③、某商场以每件20元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x (元)满足关系:2x 140m -=,
(1)、写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式;
(2)、如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?
4、提出问题?:如果抛物线c bx ax y 2++=(0a ≠)与x 轴“没有交点”,那么怎样由“交点式”
来求抛物线的顶点坐标呢?
思路:假设抛物线与平行于x 轴的“某条直线”: 如m y =有两个交点,
则联立 得:m c bx ax
2
=++,即:0m c bx ax 2=++-,设此方程的二根为1x 、2x ,
由韦达定理可知:a
b
a b x x 21
-原始原始-
==+,
而点A (1x ,m )、点B (2x ,m )必然是抛物线上的一对“对称点”, ??
?=++=m
y x c bx ax y 2轴:抛物线:
∴ 对称轴为:直线顶横也-x 2a
b
2x x x 21==+=
然后把2a
b
x -
顶横
=代入抛物线表达式c bx ax y
2
++=可得:4a
b 4a
c y 2-顶纵
=
∴ 抛物线的顶点坐标为 ;
启示:无论抛物线与x 轴是否有公共点,其顶点横标,即对称轴直线“永远”为:2a
b
x -
顶横=,
再借“三法之一”就可求出顶点的纵坐标!!!
三、应用练习
1、函数7x 3x y 2+=--化为配方式为 ,可知顶点坐标为 ,
当=x
时,y 有最 值为 ;
2、抛物线()()5x 3x y
+=--先向右平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得新抛物线的表达式
为 ,新抛物线的顶点坐标为 ; 3、已知点A (6-,1y )、B (5-,2y )、C (1-,3y )
在抛物线()k ++=2
4x a y 上,且直线ax
y =经过第二、四象限,试比较1y 、2y 、3y 的大小关系 (用“<”来连接); 4、抛物线()()3x 6x 3y
--=的顶点坐标为 ,当自变量x 的取值范围满足:
x 2≤<5时,函数y 的取值范围满足: ;
5、已知抛物线c bx ax y
2++=的对称轴是直线2x -=,函数y 的取值范围是9y -≥,则抛物线
的开口向 ,若抛物线与y 轴的交点坐标是(
,
3)
,则抛物线的表达式为 ,它与x 轴的两个交点的坐标为 ; 6、已知抛物线c bx ax y
2++=与x x 2y 2+=的开口方向相反,开口大小程度一样,且它与直线
3y =的两个交点的横坐标分别为15和--,则抛物线的表达式为 ,
它与x 轴的两个交点的距离为 ;
7、如图,△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm ,BC=12cm ,点P 从点A 开始,沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动,点Q 从点B 开始,沿着BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动,如果P 、Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大?最大面积是多少?
B
Q
C
A