中考数学总复习名师讲义完全平方公式变形应用.doc
2019-2020 年中考数学总复习名师讲义— 完全平方公式变形的应用
完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。
一 . 完全平方公式常见的变形有 a 2+b 2=（ a+b ） 2-2ab ， 2
2
2
a +
b =（ a-b ） +2ab ，
（ a+b ） 2-（ a-b ）2 =4ab ，
a 2+
b 2+
c 2=（ a+b+c ） 2-2（ab+ac+bc ）
二 . 乘法公式变形的应用
例 1： 已知： x 2+y 2+4x-6y+13=0 ， x 、 y 均为有理数，求 x y 的值。
分析：逆用完全乘方公式，将
x 2+y 2+4x-6y+13 化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出 x 与 y 的值即
可。
解：∵ x 2+y 2+4x-6y+13=0 ，
（ x 2+4x+4 ） +（ y 2
-6y+9 ）=0 ，
2
2
。 即（ x+2） +（ y-3 ） =0 ∴ x+2=0 ， y=3=0 。
即 x=-2 ， y=3。
∴ x y =（ -2） 3=-8 。
例 2 已知
a
6，试求
a 2
的值。
a 2
a 1
a 4
a 2
1
分析：本题巧妙地利用
a 2
1 ( a 1 )
2 2
进行运算。 a 2 a
解：由
a ，可知 a ，因此可得
a 2 a 1 6
a 2
1
a 1 a 1 1 ，
6
a a a 1 5 。 a 6
a 2 1 1
1 a 4 a
2 1 a
2
1 1 (a 1 2
5 ) 2 1
a 2 )
1 (
a
6
例 3 已知： a+b=8， ab=16+c 2，求（ a-b+c ） 2002 的值。
分析：由已知条件无法直接求得（ a-b+c ） 2002 的值，可利用（ b 与 c 的关系，再计算（ a-b+c ） 2002 的值。
2 2 2 2 2 解：（ a-b ） =（ a+b ） -4ab=8 -4（ 16+c ） =-4c 。
∴ a-b=0， c=0。∴（ a-b+c ）2002=0。
36 3 3 。 11 11
a-b ） 2=（ a+b ） 2
-4ab 确定 a-
例 4 已知： a、 b、 c、 d 为正有理数，且满足a4+b4 +C4+D 4=4abcd。
求证： a=b=c=d 。
444 4
分析：从 a +b +C +D =4abcd 的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。
444 4
证明：∵ a +b +C +D =4abcd，
∴a4-2a2b2+b 4+c4-2c2d2+d 4+2a2b2-4abcd+2c
2d2=0，（ a2-b2）2+（ c2-d2）2+2（ ab-cd）2=0 。
a2-b2=0， c2-d2=0，ab-cd=0
又∵ a、 b、 c、 d 为正有理数，
∴a=b， c=d。代入 ab-cd=0，
得 a2=c2，即 a=c。
所以有 a=b=c=d 。
练习：
1. 已知： x2+3x+1=0 。
2 1
求：（ 1） x 2
x
（ 2） x4 1 的值。
x 4
2.已知 x， y，z 满足条件
x y z 3
xy yz zx10
求：（ 1） x2+y 2+z2
（2） x4+y 4+z4的值
3. 已知： x=a2+b2， y=c 2+d 2。
求证： x， y 可表示成平方和的形式。
4. 已知： ad-bc=1
求证： a2+b2+c2+d2+ad+cd≠ 1。