2010年十堰中考数学试卷及解析

绝密*启用前：

湖北省十堰市2010年初中毕业生学业考试

数学试题卷

注意事项：

本试卷分为试题卷和答题卡两部分，考试时间为120分钟，满分120分.

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填在答题卷中相应的格子内.注意可以用多种不同的方法选取正确答案. 1．(2010．十堰)－3的绝对值是（ C ）

A ．13

B ．－13

C ．3

D ．－3

2．(2010．十堰)下列运算中正确的是（ D ）

A ．a 3a 2=a 6

B ．（a 3）4= a 7

C ．a 6 ÷ a 3 = a 2

D ．a 5 + a 5 =2 a 5

3．(2010．十堰)）据人民网5月20日电报道：中国森林生态系统年涵养水源量4947.66亿立方米，

相当于12个三峡水库2009年蓄水至175米水位后库容量，将4947.66亿用科学记数法表示为（ C ）

A ．4.94766×1013

B ．4.94766×1012

C ．4.94766×1011

D ．4.94766×1010

4．(2010．十堰)若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ A ） A

．三棱柱 B ．四棱柱 C ．五棱柱 D ．长方体

5．

要了解哪种品牌最畅销，公司经理最关心的是上述数据找（ B ） A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．方差

6．(2010．十堰)如图，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转40°得△A ’CB ’，若AC ⊥A ’B ’，则∠BAC 等于（ A ）

A ．50°

B ．60°

C ．70°

D ．80°

（第6题）

A

A ′

C

B

B ′

主视图 俯视图 左视图

（第4题）

7．(2010．十堰)如图，已知梯形ABCD 的中位线为EF ，且△AEF 的面积为6cm 2

，则梯形ABCD

的面积为（ C ）

A ．12 cm

2

B ．18 cm 2

C ．24 cm 2

D ．30 cm 2

8．(2010．十堰)下列命题中，正确命题的序号是（ D ）

①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ②一组邻边相等的平行四边形是正方形 ③对角线相等的四边形是矩形 ④对角互补的四边形内接于圆

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④ 9．(2010．十堰)方程x 2+2x －1=0的根可看成函数y =x +2与函数1

y x

=

的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x 3+x －1=0的实根x 所在范围为（ C ） A ． 102x -

<< B ．102x << C ．112x << D ．312

x << 10．(2010．十堰)如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB =4，点E 、F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ C ）

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）

11．(2010．十堰)分解因式：a 2－4b 2= （a +2b ）（a －2b ） .

A ．

B ．

C ．

D ．

A D B

C

E F （第7题）

（第10题） C

D

E F

A

B

12．(2010．十堰)

函数3

y x =

-的自变量x 的取值范围是 x ≥2且x ≠3 . 13．（2010湖北十堰，13，3分）如图，直线l 1∥l 2被直线l 3所截，∠1=∠2=35°，∠P =90°，则

∠3= 55° .

14．(2010．十堰)在平面直角坐标系中，若点P 的坐标（m ，n ），则点P 关于原点O 对称的点P ’

的坐标为 （－m ，－n ） .

15．(2010．十堰) 下图是根据某中学为地震灾区玉树捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校

学生3000人，请根据统计图计算该校共捐款 37770 元.

16．(2010．十堰)如图，n +1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线

上，设四边形P 1M 1N 1N 2面积为S 1，四边形P 2M 2N 2N 3的面积为S 2，……，四边形P n M n N n N n+1的面积记为S n ，通过逐一计算S 1，S 2，…，可得S n =

14214

n -?+ .

三、全面答一答（本题有9个小题，满分72分）

本大题解答应写出文字说明，证明过程或推理步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写的解答写出一部分也可以. 17．(2010．十堰)（本小题满分7分）

l 1

l 2 l 3

3 1

2 P

（第13题）

初一 32% 初二 33%

初三

35%

（图1） 人数统计

（图2）

（第15题） （第16题）

N 1

N 2

N 3

N 4

N 5

计算：30

(2)|5|(32)2sin 30-+---+?

解：原式=－8 + 5－1+ 2×1

2 =－3.

18．(2010．十堰)（本小题满分7分）

先化间，再求值：211(1)(2)11x x x -

÷+-+-，其中6x =. 解：原式=11

1

x x +-?+（x +1）

（x －1）+（x －2） =x （x －1）+（x －2） =x 2－2

当x = 6 时，原式=（ 6 ）2－2=4．

19．(2010．十堰)（本小题满分7分）如图，△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC ，

CE ⊥AB . 求证：BD =CE .

证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ∴∠ADB =∠AEC =90°

在△ABD 和△AEC 中，∠ADB =∠AEC =90°，∠A =∠A ，AB =AC ∴△ABD ≌△AEC ∴BD =CE .

20．(2010．十堰)（本小题满分8分）某乡镇中学数学活动小组，为测量数学楼后面的山高AB ，

用了如下的方法.如图所示，在教学楼底C 处测得山顶A 的仰角为60°，在教学楼顶D 处，测得山顶A 的仰角为45°.已知教学楼高CD =12米，求山高AB .（参考数据 3 =1.73， 2 =1.41，精确到0.1米，化简后再代入参考数据运算）

解：过D 作DE ⊥AB 于E ，而AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，故四边形DEBC 为矩形，

A

B

C D E

（第19题）

（第20题）A

B C D

E

则CD =BE ，∠ADE =45°，∠ACB =60°.

设AB =h 米，在Rt △A BC 中，BC =h ·cot 60°=h ·tan 30°=

3

h

在Rt △AED 中，AE =DE ·tan 45°=BC ·tan 45°=3

h 又AB －AE =BE =CD =12

∴h －

3

h =12

∴h

3

18=+=18+6×1.73=18+10.38≈28.4（米）

答：山高AB 是28.4米.

21．(2010．十堰)（本小题满分8分）暑假快到了，老家在十堰的大学生张明与王艳打算留在上

海，为世博会做义工.学校争取到6个义工名额，分别安排在中国馆园区3个名额，世博轴园区2个名额，演义中心园区1个名额. 学校把分别标号为1、2、3、4、5、6的六个质地大小均相同的小球，放在不透明的袋子里，并规定标号1、2、3的到中国馆，标号4、5到世博轴，标号6的到演艺中心，让张明、王艳各摸1个. （1）求张明到中国馆做义工的概率；

（2）求张明、王艳各自在世博轴、演艺中心做义工的概率（两人不同在一个园区内）.

解：（1）如表所示，张明、王艳各摸一球可能出现的结果有6×5=30个，它们出现的可能性相等，张明到中国馆的结果有15个，∴P （张明到中国馆做义务）=151

=.

（2）张明、王艳各自在世博轴、演艺中心的结果共4个，其概率P=

2

3015

=. 22．(2010．十堰)（本小题满分8分）如图所示，直线AB 与反比例函数图像相交于A ，B 两点，

已知A （1，4）.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连结OA ，OB ，当△AOB 的面积为15

2 时，求直线AB 的解析式.

解：（1）设反比例函数解析式为y= k

x ，

∵点A （1，4）在反比例函数的图象上 ∴4=

1k ，∴k =4，∴反比例函数的解析式为y =4x

. （2）设直线AB 的解析式为y =ax +b （a >0，b >0），则当x =1时，a +b =4即b =4－a .

联立4y x y ax b

?

=???=+?，得ax 2 +bx －4=0，即ax 2 +（4－a

方法1：（x －1）（ax +4）= 0，解得x 1=1或x =－

4

a

设直线AB 交y 轴于点C ，则C （0，b ），即C （0，由S △AOB =S △AOC +S △BOC =

114(4)1(4)222

a a a -?+-?=a 2+15a －16=0，∴a =1或a =－16（舍去） ∴

b =4－∴ 直线AB 的解析式为y =x +3

方法2：由S △AOB = 12 |OC |·|x 2－x 1|=15

2

而|x 2－x 1

4()a =4||a a +=4

a a

+（a >0）， |OC |=b =4－a ，可得

1415

(4)()22

a a a +-=，解得a =1或a =－16（舍去）. 23．(2010．十堰)（本小题满分8分）如图所示，某地区对某种药品的需求量y 1（万件），

供应量y 2（万件）与价格x （元/件）分别近似满足下列函数关系式：y 1=－x + 70，y 2=2x －38，需求量为0时，即停止供应.当y 1=y 2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量. （1）求该药品的稳定价格与稳定需求量.

（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？

（3）由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以利

提高供应量.根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量.

解：（1）由题可得1270

238

y x y x =-+??

=-?，

当y 1=y 2时，即－x +70=2x －38 ∴3x =108，∴x =36

当x =36时，y 1=y 2=34，所以该药品的稳定价格为36元/件，稳定需求量为34万件.

（2）令y 1=0，得x =70，由图象可知，当药品每件价格在大于36元小于70元时，该药品的需求量低于供应量.

（3）设政府对该药品每件价格补贴a 元，则有

346703462()38x x a +=-+??+=+-?，解得30

9

x a =??

=? 所以政府部门对该药品每件应补贴9元.

24．(2010．十堰)（本小题满分9分）如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，

⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C . （1）求证：O 2C ⊥O 1O 2；

（2）证明：AB ·BC =2O 2B ·BO 1；

（3）如果AB ·BC =12，

O 2C =4，求AO 1的长.

元/件)

解：（1）∵AO 1是⊙O 2的切线，∴O 1A ⊥AO 2 ∴∠O 2AB +∠BAO 1=90° 又O 2A =O 2C ，O 1A =O 1B ，∴∠O 2CB =∠O 2AB ，∠O 2BC =∠ABO 1=∠BAO 1 ∴∠O 2CB +∠O 2BC =∠O 2AB +∠BAO 1=90°，∴O 2C ⊥O 2B ，即O 2C ⊥O 1O 2 （2）延长O 2O 1交⊙O 1于点D ，连结AD . ∵BD 是⊙O 1直径，∴∠BAD =90° 又由（1）可知∠BO 2C =90°

∴∠BAD =∠BO 2C ，又∠ABD =∠O 2BC ∴△O 2BC ∽△ABD ∴

2O B BC

AB BD

=

∴AB ·BC =O 2B ·BD 又BD =2BO 1 ∴AB ·BC =2O 2B ·BO 1

（3）由（2）证可知∠D =∠C =∠O 2AB ，即∠D =∠O 2AB ，又∠AO 2B =∠DO 2A ∴△AO 2B ∽△DO 2A ∴

2222AO O B

DO O A

= ∴AO 22=O 2B ·O 2D ∵O 2C =O 2A

∴O 2C 2=O 2B ·O 2D ① 又由（2）AB ·BC =O 2B ·BD ②

由①－②得，O 2C 2－AB ·BC = O 2B 2 即42－12=O 1B 2 ∴O 2B =2，又O 2B ·BD =AB ·BC =12 ∴BD =6，∴2AO 1=BD =6 ∴AO 1=3

25．(2010．十堰)（本小题满分10分）已知关于x 的方程mx 2

-(3m －1)x +2m －2=0

（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.

（2）若关于x 的二次函数y= mx 2

-(3m －1)x +2m －2的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求

抛物线的解析式.

（3）在直角坐标系xoy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y =x +b 与（2）

中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围. 【答案】解：（1）分两种情况讨论：

①当m =0 时，方程为x －2=0，∴x =2 方程有实数根 ②当m ≠0时，则一元二次方程的根的判别式

△=[－（3m －1）]2－4m （2m －2）=m 2+2m +1=（m +1）2≥0 不论m 为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根

综合①②，可知m 取任何实数，方程mx 2

-(3m －1)x +2m －2=0恒有实数根.

（2）设x 1，x 2为抛物线y= mx 2

-(3m －1)x +2m －2与x 轴交点的横坐标. 则有x 1+x 2=

31m m -，x 1·x 2=22

m m

- 由| x 1－x 2|=2

1212()4x x x x +-=2314(22)()m m m m ---=22(1)m m

+=1

||m m +， 由| x 1－x 2|=2得1||m m +=2，∴

1m m +=2或1m m

+=－2 ∴m =1或m =13

-

∴所求抛物线的解析式为：y 1=x 2－2x 或y 2=13

-x 2+2x －83

即y 1= x （x －2）或y 2=1

3

-（x －2）（x －4）其图象如右图所示.

（3）在（2）的条件下，直线y =x +b 与抛物线y 1，y 2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b 的取值范围.

212

y x x y x b ?=-?=+?，当y 1=y 时，得x 2

－3x －b =0，△=9+4b =0，解得b =－94

； 同理2218233

y x x y x b ?=-+-???=+?，可得△=9－4（8+3b ）=0，得b =－2312 .

观察函数图象可知当b <－94 或b >－23

12

时，直线y =x +b 与（2）中的图象只有两个交点.

由21222

182

33y x x y x x ?=-??=-+-??

当y 1=y 2时，有x =2或x =1 当x =1时，y =－1

所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y =x －2，

综上所述可知：当b <－94 或b >－23

12 或b =－2时，直线y =x +b 与（2）中的图象只有两个交

点.