小波理论

小波变换

一、小波变换的基本原理及性质 1、小波是什么？

小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A 、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅；B 、在有限时间范围内平均值为0。

2、小波的“容许”条件

用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波变换的可逆性。

小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含有直流趋势成分，即满足

3、信号的信息表示

时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布参数）。

频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号，需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT 。 时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法，信息为瞬时频率、瞬时能量谱

信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或者哪几种信号表示方法

)

()(ωψ??x ∞

<=?∞

∞-ωω

ωψ?d C 2

)

(0

)()0(==?∞

∞

-dx x ?ψ

平稳信号

非平稳信号

不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号。

信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失去意义。 时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析，同样的可以应用于平稳信号的分析。

4、为什么选择小波

小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不同于FT 方法，与STFT

方法比较具有更为明显的优势。

)

,,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n t t t x x x f t t t x x x f [][][]

???

????∞<-=====?+∞

∞-)(),()()(),()()(21

22121t x E t t R t x t x E t t R m dx x xf t x E x x x ττ时间幅度

小波变换

时间

尺度

5、小波变换的定义：

小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号时，小波变换具有对信号的自适应性，也是一种优于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的信号处理方法。

6、小波变换原理

小波变换的含义是把某一被称为基本小波（mother wavelet）的函数作位移

τ后，再在不同尺度α下，与待分析信号X(t)左内积，即

式中，α>0，称为尺度因子，其作用是对基本小波Φ（t）函数作伸缩，τ反映

位移，其值可正可负，α和τ都是连续变量，故又称为连续小波变换（continue wavelet transform ， 简称CWT ）。在不同尺度下小波的持续时间随值的加大而增宽，幅度则与a 反比减少，但波的形式保持不变。上式等效的频域表示为：

傅里叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析

是将信号分解为一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移和尺度伸缩得来的。小波分析优于傅里叶分析的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或频域取样步长，从而可以聚焦到对象的任何细节，所以被称为“数学显微镜”。小波分析广泛应用与信号处理、图像处理、语音识别等领域。

可以这样；理解小波变换的含义：打个比喻，我们用镜头观察目标信号f （t ），Φ（t ）代表镜头所起的变化，b 相当于使镜头相对于目标平行移动（代表时域的变化），a 的作用相当于镜头向目标推进或远离（代表频域的变化）。由此可见，小波变换有以下特点：

? 多尺度/多分辨率的特点，可以由粗及细地处理信号。 ? 可以看成用基本频率特性为

的带通滤波器在不同尺度a 下对信号做滤波。

? 适当地选择小波，使ψ（t ）在时域上为有限支撑，

在频域上也比较集中，就

可以使WT 在时、频域都具有表证信号局部特征的能力。

7、连续小波变换（CWT ）

连续小波变换的定义：

可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a 和伸缩因子b 的函数

?

>=

=

b a b a dt

t t x t t x b a CW Tf )()()(),(),(*

,,ψψdt

a

b

t a t x dt t t x t t x b a CWTf R R b a b a )()()()()(),(),(2

1

,,-=>==

伸缩因子对小波的作用

平移因子对小波的作用

平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，伸缩因子通过收缩和

伸张小波，使得每次遍历分析实现对不同频率信号的逼近

连续小波变换实现的过程：

1. 首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将它与信号的初始段进行比较 ；

2. 通过CWT 的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度下的小波与所对应的信号段的相似程度）；

3. 改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个步骤完成一次分析； 增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析；

2468

-101sin(t)---a=1

2468

-101

sin(2t)---a=1/2

幅度 A

2

4

6

8

-1

01sin(4t)---a=1/4

时间 t

-10-50510

-101morlet---a=1

-10-50510

-10

1morlet---a=1/2

-10

-5

5

10

-10

1morlet---a=1/4

信号小波

信号小波

4. 循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。

连续小波变换的性质：

叠加性（线性）、时移不变性、尺度特性、微分特性、内积定理、能量守恒特性、冗余性。 连续小波逆变换

如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波的逆变换是存在的

8、离散小波变换（DWT ）

定义：对尺度参数按幂级数机进行处理，对时间进行均匀离散取值（要求

采样满足拟尼奎斯特采样定理）

dtda a

t b a CW Tf C t x b a ??

∞∞

∞

-=

2,1

)

(),(1

)(ψψ

dtda

a

a b t a

b a CWTf C 22

10

1)(),(1-=-∞

∞

∞

-??

ψψ

?

->==<--R

m m n m dt

n t t x t t x n m DWTx )2()(2)(),(),(2

,ψψ

离散小波变换的可逆问题—框架理论

DWT 的可逆问题蕴含的是DWT 的表达式能够完整的表达待分析信号的全部信息，这就需要数学上的框架理论作为支撑了；如果对于所有的待分析信号满足框架理论条件，那么DWT 就是可逆的

二、小波的快速算法——Mallat 算法 正交小波变换与多分辨分析

对于小波基函数为 ，如果函数族

构成L 2(R)内的正交基，就称小波为正交小波，在正交小波基础上进行的小波变换称为正交小波变换，只有满足正交小波变换才可称为多分辨分析，正交小波变换是完全没有冗余的，非诚适合做数据压缩。

在多分辨分析的讨论中，可以看出正交小波变换可以等效为一组镜像滤波的过程，即信号通过一个分解高通滤波器和分解低通滤波器，自然的高通滤波器输出对应的信号的高频分量部分，称为细节分量，低通滤波器输出对应的信号的相对较低频率分量部分，称为近似分量。对应的快算算法称为Mallat 算法。

滤波分解算法带来一个新的问题，就是针对离散的数据序列，经过滤波分解

-

∈≤>

<≤

∑

R B A t x B t t x t x A n

m n m ,)

()(),()(2

2

,,2

ψ∑∈=

Z

n n m n

m t C

t x )

()(,,ψ)(t ψ{}

Z k j k t t j

j k

j ∈-=,)()(/,222ψ

ψ

会得到多于原数据点数的数据序列。比如，原数据序列有1000个采样点，经过滤波分解后，会得到1000点的近似分量序列和1000点的细节分量序列，这样就得到了2000个采样点数据，在小波变换Mallat 算法实现中，可以利用降采样的方法即在输出两点中只取一个数据点，这样产生两个为原信号数据长度一半的序列，简单记为cA 个cD ，虽然近似分量和细节分量的数据长度仅为原信号序列的一半，但是却完整的包含的原信号的信息内容。

Mallat 算法的降采样

小波分解树

到此我们已经知道离散小波是怎么样分析或怎样分解成一个信号，这个过程通常也成为分解分析，那么自然想到另外一个对应的问题就是如何将这些分解得到分量能够整合到一起恢复原信号并且没有任何的信息损失，这一过程就称为小波重构或者小波合成，实质上就是逆离散小波变换，（Inverse Discrete Wavelet Transform, 简称：IDWT ）。在离散小波变换或小波分解的过程中包含了滤波和降采样，那么在小波重构过程中需要进行过采样和滤波，过采样是通过在相邻采样点之间插入零值来实现的，利用过采样可以使得信号分量的长度增加为原来的两倍，以达到和需要重构的信号一致的采样数据长度。

三、小波包分解算法——精细化处理

S

D

A

High-pass

Low-pass

1000个采样点

1000个采样点

1000个采样点

S

cD

cA

High-pass

Low-pass

1000个采样点

500个采样点

500个采样点

S

cD 1

cA 1

cA 2

cD 2

cA 3

cD 3

小波包可以看作是小波分解的一种推广，利用小波包进行分析可以得到对信号更为精细的分析结果。通过将低频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频分量部分进行进一步的分解，并根据被分析信号特征，通过自适应的选择相应频带，达到与信号频谱的匹配，实现精细化处理。小波包原子是一种被时间、尺度和频率来表征的函数波形，对于一个给定的正交小波函数。我们能够在此基础上生成一组基，这组基一般称为小波包基。简单的说，小波包就是一个函数族，可以由这组函数构造出L2(R)的标准正交基库，从这组标准正交基库中可以选择出多组标准正交基，对于多分辨分析小波变换（正交小波变换）只是选择了其中的一组基，从这个意义上讲小波包就是小波变换的一种推广。

四、几种常用的小波简介

经过十多年的发展，科学家们已经设计出了几种在工程技术领域有非常重要应用的小波函数，在这里做一简单介绍：

1.Morlet小波，它是高斯包络下的单频率复正玄函数：

这是一个相当适用的小波，它的时。频域局部性能都比较好，由于ψ（ω）在ω=0处的斜率很小，所以ψ（ω）在ω=0处的一、二阶导数也近似为0.

2.Marr小波，也叫墨西哥草帽小波，它是盖斯函数的二阶导数。

在ω=0处，ψ（ω）有二阶零点，满足容许条件，且小波系数随ω衰减较快。Marr小波比较接近人眼视觉相应特性。

3.DOC(diffrernce of gaussian)小波，它是两个尺度差一倍的高斯函数之差。

在ω=0处，ψ（ω）及其一阶导数均为零，即DOC小波在ω=0处有二阶零点。

五、小波变换的应用领域

事实上小波分析飞应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理、量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面。

1. 小波分析在地球物理勘探中应用

（1）地震数据压缩。将地震记录作小波变换，变换后的结果做阈值量化，去除大量接近于零的值，用一定的记录方式把结果存储起来，达到压缩的目的。当需要再利用这些地震数据时，作小波逆变换恢复原来的地震记录。

（2）油气预测。地球物理勘探中，寻求地壳物质物性参数的奇异性是非常有意义的。例如，断层会使重力异常产生的较大变化；在地壳介质的分界面处，地震波的传播会产生速度和方向的变化，这些都是地球物理信号的奇异性。判断出奇异性的大小和位置就可以对异常现象做出解释。

2. 小波分析用于信号和图像处理

（1）数据压缩。随着科学技术特别是计算机技术的发展以及互联网的普及，许多应用领域（如卫星监测、地震勘探、天气预报）都存在海量数据传输或存储问题，如果不对数据进行压缩，数量巨大的数据就很难存储、处理和传输。因此，伴随小波分析的诞生，数据压缩一直是小波分析的重要应用领域之一，并由此带来巨大的经济效益和社会效益。

（2）语音分析与处理。小波理论应用于语音分析与处理的主要内容包括：清/浊音分割；基音检测与声门开启时刻定位；去噪、压缩、重建几个方面。

3.小波用于脑电图中尖波的检测

小波变换突出局部特征的能力是它成为检测瞬态突变的有力手段，传统上常用的检测手段是匹配滤波和傅里叶变换，但前者需要有关于待检测信号的先验知识，后者则主要对长期持续的周期性信号有效，而小波变换适于检测低能量的短时瞬变，而且不需要很多先验知识，脑电图中偶尔发生的幅度较大，持续时间较短的尖峰状瞬态称为尖波，它往往和脑电图中的癫痫有关系，小波变换是检测尖波的有效手段，经过小波变换后的尖波会更加突出。

4. 小波变换的去噪应用 小波降噪原理

从信号学角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但由于在去噪后，还能成功地保留信号的特征，所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见，小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合，其流程框图如图所示：

小波分析的重要应用之一就是用于信号的消噪。一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式：

K=0、1.....n-1

其中f(K)为有用信号，S （K ）为含噪声信号，e(k)为噪声，ε为噪声系数的标准偏差。

假设e(K)为高斯白噪声，通常情况下有用信号变现为低频部分或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则表现为高频的信号，下面对s(K)信号进行如图结构的小波分解，则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中，只要对Cd1、Cd2、Cd3作相应的小波系数处理，然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。

特征提取

低通滤波

特征信号

重建信号

带噪信号

(k)()()S f k e k ε=+*S

C

C

C

C

C

C

降噪方法

一般来说，一维信号的降噪过程可以分为3个步骤进行：

1）一维信号的小波分解，选择一个小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号进行N层小波分解计算。

2）小波分解高频系数的阈值量化，对第1层到第N层的每一层高频系数，选择一个阈值进行软阈值量化处理．

3）一维小波的重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过量化处理后的第1层到第N 层的高频系数，进行一维信号的小波重构。在这3个步骤中，最核心的就是如何选取阈值并对阈值进行量化，在某种程度上它关系到信号降噪的质量．在小波变换中，对各层系数所需的阈值一般根据原始信号的信号噪声比来选取，也即通过小波各层分解系数的标准差来求取，在得到信号噪声强度后，可以确定各层的阈值。这里着重讨论了信号在两种不同小波恢复后信号质量的不同和对信号中的信号与噪声进行分离。

图1

图1-1为原始信号图形，1-2为叠加随机噪声后的图形，而1-3和1-4为利用db10和sym8小波默认阈值降噪后的信号图形。

从图1-3和1-4可以看出利用db10和sym8小波降噪后的信号基本上恢复

了原始信号，去噪效果明显。但是滤波后的信号与原始信号也有不同，从图中可以很直观地看到采用阈值消噪后信号特征值较少无法准确还原原始信号这是由于为降噪过程中所用的分析小波和细节系数的阈值不恰当所致，如需要更好的恢复信号，还可以采用其它种类小波对其进行分析，通过选取不同的阈值，分析结果，得到一个合适的阈值。

图2

从图2看出，在经过用db10对信号进行5层分解，然后分别对分解的第5层到第1层的低频系数和高频系数进行重构。可以得出其主要基波函数和高频噪声函数的图形，其中小分波分解的细节信号是有白噪声分解得到的，而正弦信号可以在图2中的近似信号a5得到。因为在这一层的影响已经可以忽略了，所以获得的信号就是初始信号的波形，从而把淹没在噪声中的有用信号有效地分离出来。

六、小波的应用前景

（1）瞬态信号或图像的突变点常包含有很重要的故障信息，例如，机械故障、电力系统故障、脑电图、心电图中的异常、地下目标的位置及形状等，都对应于测试信号的突变点。因此，小波分析在故障检测和信号的多尺度边缘特征提取方面的应用具有广泛的应用前景。

（2）神经网络与小波分析相结合，分形几何与小波分析相结合是国际上研究的热点之一。基于神经网络的智能处理技术，模糊计算、进化计算与神经网络结合的研究，没有小波理论的嵌入很难取得突破。非线性科学的研究正呼唤小波分析，也许非线性小波分析是解决非线性科学问题的理性工具。

（3）小波分析用于数据或图像的压缩，目前绝大多数是对静止图像进行研究的。面向网络的活动图像压缩，长期以来是采用离散余弦变换（DCT）加运动补偿（Mc）作为编码技术，然而，该方法存在两个主要的问题：方块效应和蚊式噪声。利用小波分析的多尺度分析不但可以克服上述问题，而且可首先得到粗尺度上图像的轮廓，然后决定是否需要传输精细的图案，以提高图像的传输速度。因此研究面对网络的地速率图像压缩的小波分析并行算法，具有较高探索性和新颖性。同时也具有较高的应用价值和广泛的应用前景。

（4）目前使用的二维及高维小波基主要是可分离的。不可分离二维及高维小波基的构造、性质应用研究，由于理论上较为复杂，这方面的成果甚少。也许向量小波及高维小波的研究能够为小波分析的应用开创一个新天地。

七、小波分析面临的主要问题

小波分析虽然在许多应用领域已取得了一定的成果但事实上小波分析仍面临的一些问题，主要问题如下：

（1）小波理论尚不完善，除一维小波理论比较成熟以外，高维小波、向量小波的理论还远非人们所期待的那样，特别是各类小波，如正交小波、双正交小波及向量小波、二进小波、离散小波的构造和性质的研究。

（2）最优小波基选取方法的研究。虽然国内外已有一些最优基选取方法的研究但缺乏系统规范的最佳小波基选取方法，即针对不同的问题能最优地选择不同的小波基以实现最好的应用效果。我们知道不存在一种小波基能适应所有的情况，因此，小波基的优化选择始终是小波理论研究的重要内容。

（3）小波分析的应用范围虽然很广，但真正取得极佳应用效果的领域并不多，人们正在挖掘有前景的应用领域。

（4）目前小波分析软件远不如有限差分方法（FDM）、有限元方法（FEM）、边界元方法（EEM）等软件成熟和完善，更无大型系统权威的小波分析软件，作为商品的高水平小波分析软件几乎没有。

（5）小波分析在数据图像压缩方面已取得很好的成绩，人们期待利用小波能够实现高压缩比、高重现度图像的压缩，并探索在图像的边缘检测、分类与描述中的应用。