小学数学 奥数讲义计数专题：几何计数
华杯赛计数专题：几何计数
基础知识：
1.几何计数，从类型上看，可分为数线段、数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等几类.
2.几何计数的基本方法和思想：分类枚举与对应.
3.分类的标准：按大小，按包含的图形等.
4.常见对应方法：线段对应到端点，三角形对应到端点或边，长方形对应到对边等.
5.特殊方法：去点法与去线法，本质是分类.
方法铺垫：
1）加法原理，乘法原理；
2）容斥原理；
3）排列数，组合数；
4）对应法.
例题：
例1.如图，数一数图中有多少条线段？
【答案】28（条）
【解答】
分类：
1个单位长的线段有7条；
2个单位长的线段有6条；
3个单位长的线段有5条；
……
7个单位长的线段有1条；
故共有线段7＋6＋5＋……＋1=28（条）.
例2.数一数，图中共有多少个三角形？
【答案】13（个）
【解答】
分类：
含有1块的三角形有4个；
含有2块的三角形有5个；
含有3块的三角形有2个；
含有4块的三角形有1个；
含有6块的三角形有1个；
故共有三角形4＋5＋2＋1＋1=13（个）.
例3.如图，数一数，图中有多少个三角形？
【答案】48（个）.
【解答】
分类：
包含1个小三角形的三角形有1＋3＋5＋7＋9=25个；包含4个小三角形的三角形有1＋2＋3＋4＋3=13个；包含9个小三角形的三角形有1＋2＋3=6个
包含16个小三角形的三角形有1＋2=3个；
包含25个小三角形的三角形有1个；
故共有三角形25＋13＋6＋3＋1=48（个）.
例4.数一数，图中共有多少个三角形？
【答案】35（个）
【解答】
分类：
含有1块的三角形有10个；
含有2块的三角形有10个；
含有3块的三角形有10个；
含有5块的三角形有5个；
故共有三角形10＋10＋10＋5=35（个）.
例5.图中有多少个正方形？
【答案】30（个）
【解答】
包含1个正方形的正方形有4×4=16个；
包含4个正方形的正方形有3×3=9个；
包含9个正方形的正方形有2×2=4个；
包含16个正方形的正方形有1个；
故共有三角形16＋9＋4＋1=30（个）.
例6.如图，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？
【答案】70（条）; 60个
【解答】
线段：
横线，共有4×条；竖线：5×，
故共有线段40＋30=70条；
矩形：
竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，
根据乘法原理，共有矩形10矩形原60个.
例7.如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形.请问：（1）从中可以数出多少个长方形？
（2）从中可以数出包含红点的长方形有多少个？
【答案】450（个）；144个
【解答】
（1）竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，
根据乘法原理，共有矩形45×10=450个.
（2）竖线中选出两条，共有6竖线中选出条，横线中选出两条，共有2×3=6条，根据乘法原理，共有矩形24×6=144个.
例8.如图，数一数，图中共有多少个长方形？
【答案】135个
【解答】
横向看：共有矩形个，
竖向看：共有矩形个，
这样重复计算了个，
所以共有矩形90＋63－18=135个.
例9.如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？
【答案】200（个）
【解答】
共有三角形个.
例10.下图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成, 则正方形的个数为多少？（17届华杯赛笔试初赛小高组第6题）
【答案】83（个）
【解答】
包含1小个正方形的正方形有2＋4＋6＋8＋8＋6＋4＋2=40个；
包含4小个正方形的正方形有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1=25个；
包含9小个正方形的正方形有2＋4＋4＋2=12个；
包含16小个正方形的正方形有1＋3＋1=5个；
共有正方形40＋25＋12＋5＋1=83个.
例11. 求图中一共有多少条线段？求图中一共有多少个矩形？
【答案】70条线段，60个矩形
【解答】每一条线段由同一行或同一列的两个顶点确定，因此共有
条线段.
每个矩形由长和宽上的各一条线段对应形成，如下图：
因此共有个矩形.
例12. 数一数，图中有多少个三角形？
【答案】78个
【解答】只包含1个基本图形的有36个（朝上的21个，朝下的15个）；包含4个基本图形的有21个（朝上的15个，朝下的6个）；包含9个基本图形的有11个（朝上的10个，朝下的1个）；包含16个基本图形的有6个；包含25个基本图形的有3个；包含36个基本图形的有1个.
所以共有36＋21＋11＋6＋3＋1=78个.
例13. 下图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：
1）从中可以数出多少个矩形？
2）从中可以数出多少个正方形？3）从中可以数出包含黑点的矩形有多少个？
【答案】1）450个；2）80个；3）144个
【解答】
1）图中共有个矩形；
2）包含1个基本图形的正方形共有4×9=36个；包含4个基本图形的正方形共有
3×8=24个；包含9个基本图形的正方形共有2×7=14个；包含16个基本图形的正方形共有1×6=6个.则共有36＋24＋14＋6=80个.
3）黑点左下方的顶点共有18个，黑点右上方的顶点共有8个，所以包含黑点的矩形共有18×8=144个.
例14. 图中一共包含多少个矩形？
【答案】135个
【解答】第（1）部分和第（3）部分合并起来是一个3×5的大矩形（如下图所示），
其中一共包含矩形个；
第（2）部分和第（3）部分合并起来是一个6×2的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；
第（3）部分中的矩形被重复计算了，其中共有矩形个.
所以图中一共包含矩形90＋63－18=135个.
例15. 图中的木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵. 那么用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？
【答案】200个
【解答】从12枚钉子中选择3枚钉子的组合总数是.
而图中共有3条直线上各有4个点（如下图实线所示），另外还有8条直线上各有3个点（如下图虚线所示）.
因此用橡皮筋一共可以套出个不同的三角形.
例16. 求图中所有矩形的面积和以及周长的总和.
【答案】周长总和：1364；面积总和：1800
【解答】
矩形的10种长的总长是3＋+4＋+2＋+6＋+7＋+6＋+8＋+9＋+12＋+15=72。.
矩形的6种宽的总长是1＋4＋2＋5＋6＋7=25.
所以图中所有矩形的面积和是25×72=1800，
周长的总和是
例17. 如图，在图中的3×3正方形格子中，格线的交点称为格点.例如，A，B，C这3个点都是格点.那么，以格点为顶点，且覆盖了阴影部分小方格的三角形有________个.
【答案】16个
【解答】
解法1：如图，和最左边的这个图所示的格点三角形大小形状完全相同的格点三角形
一共有4个；和中间的这个图所示的格点三角形大小形状完全相同的格点三角形一共有4个；和最右边的这个图所示的格点三角形大小形状完全相同的格点三角形一共有8个.
所以一共有4＋4＋8=16个符合条件的格点三角形.
解法2：如图，能覆盖住阴影部分小方格的三角形必然有一条边形如线段AB，而这样的线段一共有4条，选定其中一条以后，以线段AB为例，这种三角形的第3个顶点还有4种选择，即C、D、E、F.所以根据乘法原理，
这样的三角形一共有4×4=16个.
例18. 如果凸n边形的任三条对角线在形内没有公共点，那么请求出对角线在形内的交点个数.
【答案】
【解答】凸n边形中每4个顶点确定对角线在形内的一个公共点，故共有个交点.
小学数学 奥数讲义计数专题：几何计数
华杯赛计数专题：几何计数 基础知识： 1.几何计数，从类型上看，可分为数线段、数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等几类. 2.几何计数的基本方法和思想：分类枚举与对应. 3.分类的标准：按大小，按包含的图形等. 4.常见对应方法：线段对应到端点，三角形对应到端点或边，长方形对应到对边等. 5.特殊方法：去点法与去线法，本质是分类. 方法铺垫： 1）加法原理，乘法原理； 2）容斥原理； 3）排列数，组合数； 4）对应法. 例题： 例1.如图，数一数图中有多少条线段？ 【答案】28（条） 【解答】 分类： 1个单位长的线段有7条； 2个单位长的线段有6条； 3个单位长的线段有5条； …… 7个单位长的线段有1条； 故共有线段7＋6＋5＋……＋1=28（条）. 例2.数一数，图中共有多少个三角形？ 【答案】13（个） 【解答】 分类： 含有1块的三角形有4个； 含有2块的三角形有5个； 含有3块的三角形有2个；
含有4块的三角形有1个； 含有6块的三角形有1个； 故共有三角形4＋5＋2＋1＋1=13（个）. 例3.如图，数一数，图中有多少个三角形？ 【答案】48（个）. 【解答】 分类： 包含1个小三角形的三角形有1＋3＋5＋7＋9=25个；包含4个小三角形的三角形有1＋2＋3＋4＋3=13个；包含9个小三角形的三角形有1＋2＋3=6个 包含16个小三角形的三角形有1＋2=3个； 包含25个小三角形的三角形有1个； 故共有三角形25＋13＋6＋3＋1=48（个）. 例4.数一数，图中共有多少个三角形？ 【答案】35（个） 【解答】 分类： 含有1块的三角形有10个； 含有2块的三角形有10个； 含有3块的三角形有10个； 含有5块的三角形有5个； 故共有三角形10＋10＋10＋5=35（个）.
小学奥数知识点分类【完整】
小学奥数知识点分类 小学奥数大约80 个知识点，可分成5 大类，数论和行程是重点也是难点。 计算能力速算与巧算、分数百分数、循环小数、分数拆分、四则混合运算等等 基础知识和差倍、年龄、植树、周期、鸡兔、方阵、逻辑、容斥、排列组合等 图形问题平面图形、立体图形、几何计数、周长面积、表面积体积、阴影面积 行程问题相遇、追及、行程、流水、过桥、时钟、圆周、发车间隔等等 数论问题平方数、奇数、偶数、约数、倍数、质数、合数、整除、余数、进制 第一部分计算能力 万丈高楼平地起，计算能力任何时候都是学好数学的根基，必须高度重视！ 第二部分基础知识 基础知识点列表 1 归一归总9 鸡兔问题17 加法乘法原理 2 和差问题10 方阵问题18 排列与组合 3 和倍问题11 抽屉问题19 商品利润 4 差倍问题12 容斥问题20 存款利息 5 植树问题13 逻辑问题21 浓度问题 6 年龄问题14 数字谜22 工程问题 7 盈亏问题15 等差数列23 正反比例 8 周期问题16 一笔画24 牛吃草问题 第三部分数论知识 数论由于比较抽象，是小学数学的重点也是难点，而且小学数论与中学的代数学有着密切的联系，因此我们必须高度重视。 数论知识点列表 1 定义新运算 6 整数进制
2 约数倍数7 数的整除 3 奇数偶数8 余数与同余 4 质数合数9 高斯取整 5 平均数10 不定方程 第四部分图形知识 图形属于小学奥数三大专题之一，主要考察学生们对平面图形和立体图形的认识、建构、以及对周长、面积、表面积、体积的计算等方面的知识，图形问题的重点在于等积变换的直线型面积 数论知识点列表 1 几何计数 4 体积与表面积 2 周长与面积 5 阴影面积 3 长方体与正方体 6 直线型面积 第五部分行程问题 行程问题是研究物体运动的速度、时间、路程三者之间的关系. 基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间 关键问题：确定运动过程中的位置。 相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式） 追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式） 过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。 流水问题：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速 平均问题：平均速度=总路程÷总时间 基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。 数论知识点列表 1 相遇问题 4 流水行船 2 追及问题 5 钟表问题 3 火车过桥 6 发车间隔
四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练：第2讲：图形计数(教师版)
第二讲图形计数 几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯． 一：简单图形计数的方法。 二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。
例（1）数出右图中总共有多少个角 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角： 4＋3＋2＋1＝10（个） 解：4＋3＋2＋1＝10（个） 答：图中总共有10个角。 例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是： （3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）. ②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三 角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共： （4+3+2+1）×3=10×3=30（个） 解：：①在△ABC中共有线段是： （3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条） ②在△ABC中共有三角形是：
奥数讲义计数专题：4 包含与排除
华杯赛计数专题：4包含与排除 基础知识： 1.包含与排除的思想，是为了解决计数分类的过程中，出现重复计数的情况. 2.基本的想法：减去重复计算的，多算了几次，就减几次，常用工具文氏图. 3.两个对象及三个对象的容斥原理，利用文氏图帮助理解. 4.容斥原理中的最值问题，可以利用线段图. 引子：从7本不同的数学书和8本不同的语文书中，选出6本书，不能全是同一种的书，那么有多少种不同的选法？ 用前面学的知识能解决吗？ 还有别的方法吗？ 总结：当正面计数比较繁琐、困难时，可以从反面考虑，即从总的数量减去不符合要求的数量. 例1.学生要从八门课中选学三门，如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，那么共有几种选课的方法？ 【答案】50（种） 【解答】所有的选课方法一共有种，数学课和钢琴课都选学的方法有种，其中代表数学课和钢琴课都选学，其中代表从剩余的课程中再选学1门.所以符合题意的选课方法一共有种. 例2.从4台不同型号的TCL电视机和5台不同型号的Haier电视机中任意取出3台,其中至少要有TCL与Haier电视机各1台，不同的取法共有多少种? 【答案】70（种） 【解答】 9台不同的电视，随意选取3台，一共有种方法.其中包括只选取Haier的方 法一共种，还包括只选取TCL的方法一共种.所以符合题意的方法一共有 84-10-4=70种.
例3.7个同学站成一排，要求其中的甲不排头，乙不排尾，有多少种排法? 思考：答案是吗？为什么 【答案】3720（种） 【解答】7个同学随意排列，共有种排法，若甲排在头，则剩下的6个同学全排列，一共有种排法，同理，若乙排在尾，一共有种排法，若同时满足甲在排头、乙 在排尾，共有种排法，根据容斥原理，符合题意的排法共有 种. 例4.板报组有10名同学，每个人至少擅长绘画或写文章中的一种，已知其中7个人擅长绘画，5个人擅长写文章，要从中选出两个人担任组长，要求其中既有擅长绘画的也有擅长写文章的，那么有多少种选组长的方法？ 如果要从中选出两名同学去参赛，分别参加绘画比赛和作文比赛，那么有多少种参赛方法？ 【答案】32（种） 【解答】因为10名同学中7个人擅长绘画，5个人擅长写文章，所以既擅长绘画又擅长写文章的有5＋7－10=2个人，所以只擅长绘画的有5个人，只擅长写文章的有3个人, 选组长可以分为三类： 第一类：先从擅长绘画的人中选1个，再从剩下的人中选1个，共有5×5=25种选法； 第二类：从既擅长绘画又擅长写文章的2个人选1个，再从擅长写文章的3个人中选1个，共有2×3=6种选法； 第三类：选2个既擅长绘画又擅长写文章的，共有1种选法； 综合共有25＋6＋+1=32种. 例5.一次考试共有A、B、C三道题，一共有100个人参加了这次考试.其中，答对A 题的有50人，答对B题的有60人，答对C题的有20人.已知答对C题的人在A、B两道题中至少还答对了一道题，且只答对A题的有24人，只答对A题和B题的有10人，还有10个人A、B均未答对.那么有________个人只答对了B题. 【答案】36（人） 【解答】因为100人中有10人A、B两题均未答对，所以有90人至少答对A，B中的一道. 又因为50人答对A题，60人答对B题，所以至少答对A、B两题的有50＋60－90=20人.即答对AB两题或答对ABC三题的人合起来有20个.而只答对AB两题的人有10个，所以ABC三个题全答对的人有20－10=10个. 由于有24人只答对A题，所以还有50－24=26人答对A题和至少另外一道题.这26人答对的题目只有3种可能：AB、AC和ABC.由上面的结论知只答对AC两题的应该有26－20=6个人.
小学数学奥数35个专题题型分类及解题技巧
小学奥数辅导35个专题汇总 1.和差倍问题 2.年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3.归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4.植树问题
5.鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6.盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
奥数讲义计数专题：排列组合(含答案)
华杯赛计数专题：2排列组合 基础知识： 1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。 2.排列数的计算：约定：0!=1 排列数是由乘法原理得到的，因此排列可以看成是乘法原理的一种应用。 3.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。 4.排列与组合的关系：。 5.组合数的计算： 6.排列数与组合数的一些性质： 例题： 例1.4名男生和3名女生站成一排: （1）一共有多少种不同的站法? （2）甲,乙二人必须站在两端的排法有多少种? （3）甲,乙二人不能站在两端的排法有多少种? （4）甲不排头,也不排尾,有多少种排法? （5）甲只能排头或排尾,有多少种排法? 【答案】（1）5040；（2）240；（3）2400；（4）3600；（5）略 【解答】 例2.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共多少种？
【答案】4186种 【解答】至少有3件是次品，分两种情况 第一种情况：3件是次品的抽法：从4件次品中中抽出3件是种，其中， ，然后，从46件正常品中抽2件，总共种。其中， 所以，3件是次品的抽法共种。 第二种情况：4件是次品的抽法共：种。 任意抽出5件产品，至少有3件是次品的抽法，是将上述两种情况加在一起， 所以，总共是4×23×45+46=23×182=4186种。 总结：有序是排列，无序是组合。 例3.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种？ 【答案】540种 【解答】可设三所学校为甲、乙、丙，三位医生去3所学校的分配方案：用排列数表示为 =3×2×1=6。用乘法原理表示为3！=6。 六名护士去学校甲有种选法，剩下4名护士去乙学校，有种选法，剩下两名自然去学校丙。 所以，不同的分配方法共有种。 例4.有多少个五位数，满足其数位上的每个数字均至少出现两次？ 【答案】819 【解答】 方法一： （1）出现一个数字的情况是9种； （2）出现两个数字，首位不能是0，共有9种情况， （i）首位确定之后，如果首位数总共出现3次，则从后面的4个数位中，选出两位，共种情况，剩下的两个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。所以，这种情况总共有×9=54种。 （ii）首位确定之后，如果首位数总共出现2次，则从后面的4个数位中，选出一位，总共种情况，剩下的三个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。
小学奥数-几何计数-专题
知识框架图 7 计数综合 7-8 几何计数 1.掌握计数常用方法； 2。熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 2 1223(2)2 n n n ++++= ++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n （n-1）+2;n 个三角形将平面最多分成3n （n-1)+2部分;n 个四边形将平面最多分成4n （n —1）+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 教学目标 知识要点 几何计数
二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点（包括两个端点）(或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+（n-1）+…+2+1条 数角:数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形:可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连,可构成一个三角形，共有15个三角形,同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的,对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段,则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 例题精讲 【例 1】下图的两个图形(实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍,那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？(4级） 【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形。如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴？（4级） 【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多
奥数讲义计数专题：加法原理、乘法原理
华杯赛计数专题：加法原理、乘法原理 基础知识： 1.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法. 2.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.乘法原理的关键在于分步，步与步之间用乘法. 3.分类原则：分类要做到“不重不漏”.任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏. 4.分步原则：分步要做到“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关. 例题： 例1.从1开始依次写下去一直到999，得到一个多位数1234567891011121314…997998999，请问：（1）这个多位数一共有多少位？ （2）第999位数字是多少？ （3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？ （4）数字0一共出现了多少次？ 问题（1）这个多位数一共有多少位？ 【答案】（1）2889；（2）9；（3）300；（4）189 【解答】分析1：999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数的位数.将这999个自然数分成3类：第1类是1位数；第2类是2位数；第3类是3位数.分别计算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了. 详解1：按照自然数的位数去分类. 构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了9位；2位数有90个，占了 2×90=180位；3位数有900个，占了3×900＝2700位；所以这个多位数总共有 9+180+2700=2889位. 问题（2）第999位数字是多少？ 详解2：1位数和2位数一共占了189位，999位数数字还需要3位数占据999－ 189=810位.由810÷3=270…0可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369，所以第999位数字是9. 问题（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？ 分析3：前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一类.但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了：1位数含有1个9，2位数含有19个9，但是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单. 可以考虑按照分段的方法去分类，第1类1—99；第2类100—199；第3类200—299；……；第10类900—999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了.注意利用每一类的相似性，比如第1类到第9类每一类所包含9的个数应该一样多，当然
【精品奥数】四年级上册数学思维训练讲义-第九讲 几何计数 人教版(含答案)
第九讲几何计数 第一部分：趣味数学 解析几何的产生 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。 1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。 笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。 从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。 为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系。x，y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。 具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。
小学四年级数学难点解析,附34个必考公式
四年级奥数 四年级是一个承前启后的阶段,学习内容的难度和广度有所增加,各种竞赛任务和招生考试的成绩重要性大大增加。 不论自己的孩子是刚刚开始学习奥数,还是已经着手为竞赛、升学做准备,如何更好的完成四年级的学习计划,如何做好四年级和五年级的过渡,如何规划小升初之前的这两年时间是每个家长都要面对的问题。 学习重点难点解析： 1、计算：计算是贯穿整个小学阶段的重点,每个年级奥数的学习都以计算为基础,较好的计算能力是学好其它章节,取得优异成绩的保证。 每个年级的计算有每个年级的特点,四年级的计算以加入了小数的计算为主,对于奥数基础扎实的同学并且希望在五年级取得一些成绩的同学还应该加入一些分数的计算。 四年级计算应该掌握的重点题型有多位数的计算,小数的基本运算,小数的简便运算等。其中,多位数的计算主要以通过缩放讲多位数凑成各位数全是9的多位数,再利用乘法的分配率进行计算。小数的简便运算主要与等差数列求和、乘法的分配率和结合率、换元法等结合在一起,需要同学们对各种题型熟练的掌握,尤其是多位数的计算。
最后,小数计算的重点还是最基础的小数的加减乘除混合运算,在初学小数时由于小数点的原因计算经常出错,如果计算不准确,再好的方法和技巧都无从谈起。 所以,四年级学习计算的重点在于以基础计算为主,掌握各种简便运算技巧,提高准确度和速度。 2、平均数问题：在学习平均数问题的时候一定要先对平均数的概念有很好的理解。我们在授课过程中经常发现绝大多数同学在解平均数问题时经常犯一个错,尤其是在行程问题中的一道题,错误率最高。 小明从学校到家速度为12,从家到学校速度为24,问往返的平均速度是多少？很多同学答案都是18,误以为平均数度就是速度的平均,这是不对的。 在学习平均数问题的时候还要会利用基准数处理一大串数据的求和问题和求平均数的问题。很多复杂的平均数问题都是可以利用浓度三角的方法来解决的,尤其是思维导引中后面的一些复杂的平均数问题,同学们应该尝试用浓度三角的方法来解决平均数问题。 平均数问题的学习对以后浓度问题的学习很有好处,因为大部分平均问题的题型和浓度问题的题型从本质上来讲是相同的。
小学五年级上学期数学培优奥数讲义(全国通用)-第16讲 估算与近似值(含答案)
第16讲估算与近似值 知识与方法 1、在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。 但在大多数情况下，得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似 地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。取近似值的方法一般有：（1）四舍五入法；（2）去尾法；（3）进一法。 2、在某些计算中，我们要估算出结果的整数部分，往往不需要通过直接计算得出。可通过将算式整体放大或者整体缩小的方式，将计算结果限定到一定的范围内，从而得到想要的结果，这种方法叫做放缩法。 初级挑战1 有一列数，第一个数是15，第二个数是20，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数。那么第19个数的整数部分是多少？ 思维点拨： 根据题意可将这列数依次往下写出来：15，20，（），（），（），（）…，观察后面的数整数部分的特点。 答案：写出这列数为：15、20、17.5、18.75、18.125、18.4375… 不难发现，从18.75开始后面的数都是比18大，比19小，整数部分都是18。 所以第19个数的整数部分是18。 能力探索1 有一列数，第一个数是25，第二个数是32，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数。那么第2013个数的整数部分是多少？ 答案：写出这列数为：25，32，28.5，30.25，29.375，29.8125，29.59375…，后面的数的整数部分都是29，所以第2013个数的整数部分是29。 初级挑战2 设A＝0.8＋0.88＋0.888＋0.8888＋0.88888，求A的整数部分。 思维点拨：直接相加求和，计算稍复杂，观察题目是要求A的整数部分，可进行估算。 放缩法：假设5个加数都比最大的加数0.88888大，不妨设都为0.9，则A小于：（）； 假设5个加数都等于最小的加数0.8，则A大于：（）； 由此可知（）＜A＜（），从而得出A的整数部分。 答案：A的大小在5×0.8＝4和5×0.9＝4.5之间，比4大，比4.5小。所以A 的整数部分为4。
四年级上册数学奥数讲义-线段 含解析 冀教版
线段 平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系． 构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础． 几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究． 解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法．例题 【例1】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个． 思路点拨画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑． 注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著《几何原本》． 当今，几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一． 求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，读者思考以下典型问题： (1)线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段? (2)n条直线两两相交的直线最多有几个交点? (3)n条直线最多能把平面分成几个区域? 【例2】如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于( )． A．1 B．2 C．3 D．4 思路点拨利用中点，设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表示． 【例3】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度． 思路点拨引人未知数，通过列方程求解． 【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米? 思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名 段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考． 【例5】(1)如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小； (2)如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；
高斯小学奥数五年级上册含答案_第12讲_几何计数
第十二讲几何计数 漫画，共一格 一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。旁边文字描述：西周时期，道路和渠道纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。 分割田地大概有3条横线、4条竖线左右，可适当增减。人的耕作情况要符合西周时的实际情况，比如不能有拖拉机，不能有牛耕。 后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？
几何计数，同学们一看这一讲的名字就知道了，我们学习的内容就是专门数几何图形的个数．可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画好了，一边看图一边数，肯定不会数错的．真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？学完这一讲后，大家就知道答案了． 三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧． 例题1．下列图形中各有多少个三角形？ 「分析」对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举，并注意寻找规律．那么，本题应该按照怎样的顺序去枚举呢？ 下图中有多少个三角形？ 例题2．右图中共有多少个三角形？
「分析」对于这道题目，我们也首先想到枚举法．应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现其中的规律吗？ 练习2:．请数出这个图形中有多少个三角形． 下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法. 例题3．下列图形中，分别有多少个正方形？ 「分析」同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏． 围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？ 例题4．在右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形） （1）一共有多少个长方形？ （2）包含“★”的长方形共多少个？ （3）包含“☆”的长方形共多少个？ （4）两个五角星都包含的长方形共多少个？（5）至少包含一个五角星的长方形共多少个？（6）两个五角星都不包含的长方形共多少个？★ ☆
六年级奥数专题 立体几何综合(学生版)
学科培优 数学 立体几何综合 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 本讲复习已经学过的立体图形的相关知识和解题技巧,主要有:长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积及表面积求解,立体几何计数及多面体顶点与棱以及表面的关系。 重难点在于：1．不规则立体图形的表面积或体积求解 2．多面体的顶点与棱数计数 3．体积的等量代换 主要的考点：1．规则立体图形的表面积（侧面积）与体积计算 2．不规则立体图形的表面积与体积计算 3．染色问题 4．立体图形的三视图与展开图 知识梳理 主要知识点 立体几何 ⑴规则立体图形的表面积和体积公式 长方体：体积：长宽高 表面积：（长宽+宽高+长高） 立方体：体积：棱长的立方 表面积：棱长的平方6 圆柱： 体积：2r h π 侧面积：2rh π 圆锥： 体积：213 r h π ⑵不规则立体图形的表面积 整体观照法 ⑶体积的等积变形 ①水中浸放物体：V 升水=V 物
②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水 ⑷三视图与展开图 最短线路与展开图形状问题 ⑸染色问题 几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。 例题精讲 【试题来源】 【题目】一个长方体的表面积是33.66平方分米,其中一个面的长是2.3分米,宽是2.1分米,它的体积是_____立方分米. 【试题来源】 【题目】右图是一个棱长为2厘米的正方体,在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为 1厘米的小洞；第三个小洞的挖法与 2 前两个相同,棱长为 1厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是平方厘米 4 【试题来源】 【题目】把一个长25厘米,宽10厘米,高4厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体,然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是_____平方厘米。 【试题来源】 【题目】右图是3层没有缝隙的小立方块组成的．如果它的外表面(包括底面)全都被涂成红色,那么把它们再分开成一个个小立方块时,有多少个小立方块恰有三面是红色的?
小学奥数：第18讲四年级数学图形的周长和面积教案 ;;
1、上节学习了几何计数问题，利用上节课学到的知识和技能解答下面题目： （1）数一数下图中，各有多少条线段？各有多少个三角形？ （2）如下图数一数图中长方形的个数。 一、专题导入 同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。
二、专题精讲 【例1】有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。 分析解答：根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是18×4=72厘米。 【例2 】一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？ 分析解答：思路导航把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=88（厘米）。 【例3 】已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？ 分析解答：从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。三条横着的线段和是（a＋b）×2，三条竖着的线段和是b×2。所以，整个图形的周长是（a＋b）×2＋b
小学奥数系列训练题-几何计数｜通用版
2015年小学奥数计数专题——几何计数 1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴? 2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍? 3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔? 4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？ 5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和． 6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?
7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个? 8．图中共有多少个三角形? 9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个? 10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 11．在图中，共有多少个不同的三角形? 12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?
13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个? 14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形? 15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少? 16．数一数下列图形中各有多少条线段. 17．数出下图中总共有多少个角. 18．数一数下图中总共有多少个角？ 19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？
四年级数学专题讲义第八讲 数数与计数
第九讲几何计数 几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题. 〖经典例题〗 例1、数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？ 分析：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条。 由2个基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF 4条． 由3个基本线段构成的线段有：AD、BE、CF 3条． 由4个基本线段构成的线段有：AE、BF 2条． 由5个基本线段构成的线段有：AF 1条． 总数5+4+3+2+1＝15条． 例2、数出右图中总共有多少个角. 分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠ AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共 有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2 个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）. 例3、用三根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．用这样的等边三角形如图所示，拼合成一个大的等边三角形．如果这个大的等边三角形 的底为20根火柴长，那么一共要多少根火柴？ 分析：注意引导学生用“分层数的思路”.把大的等边三角 形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根 火柴；从上向下数第二层用了3×2=6根火柴；从上向下数第三
小学奥数讲义6年级-15-计数综合-难版
对枚举计数、加法乘法原理、排列组合以及几何计数的综合复习。 枚举法 【例1】★数一数，下图中有多少个三角形。 【解析】图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。 单个的三角形有6个：1 ，2，3，5，6，8。 由两部分组成的三角形有4个： （1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。 由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。 由四部分组成的三角形有2个： （1，3，4，5），（2，6，7，8）。 典型例题 知识梳理
由八部分组成的三角形有1个： （1，2，3，4，5，6，7，8）。 总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。 【小试牛刀】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？ 【解析】我们可以利用列举的方法： 如果起点站是1，那么终点站只能是7、8、9或10； 如果起站站是2，那么终点站只能是8、9或10； 如果起点站是3，那么终点站只能是9或10； 如果起点站是4，终点站只能是10； 如果起点站是5、6时，就找不到与它至少相隔5站的终点站了； 如果起点站是7，终点站只能是1； 如果起点站是8，那么终点站是2或1； 如果起点站是9，那么终点站是3、2或1； 如果起点站是10，那么终点站是4、3、2或1。所以，起点到终点至少相隔5个车站的车票有： 4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20种。 【例2】★在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？ 【解析】上珠一个表示5，下珠一个表示1。分三类枚举： （1）两颗珠都是上珠时，可表示5005，5050，5500三个数； （2）两颗珠都是下珠时，可表示1001，1010，1100，2000四个数； （3）一颗上珠、一颗下珠时，可表示5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000 七个数。 一共可以表示 3＋4＋7=14（个）四位数。 【小试牛刀】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。 【解析】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。