【图论课件】第二课时·图的遍历

哈密尔顿图的充分必要条件

哈密尔顿图的充分必要条件 摘要 图论在现实生活中有着较为广泛的应用, 到目前为止,哈密尔顿图的非平凡充分必要条件尚不清楚,事实上,这是图论中还没解决的主要问题之一,但哈密尔顿图在实际问题中,应用又非常广泛,因此哈密尔顿图一直受到图论界以及运筹学学科研究人员的大力关注. 关键词:哈密尔顿图;必要条件;充分条件;

1 引言 (3) 2 哈密尔顿图的背景 (3) 3 哈密尔顿图的概念 (4) 4 哈密顿图的定义 (5) 4．1定义 (5) 4．2定义 (5) 4．3哈密顿路是遍历图的所有点。 (6) 4 哈密尔顿图的充分条件和必要条件的讨论 (7) 5 结论 (8) 参考文献 (8) 指导老师 (9)

1 引言 图论是一门既古老又年轻的学科,随着科学技术的蓬勃发展,它的应用已经渗透到自然科学以及社会科学的各个领域之中,利用它我们可以解决很多实际生活中的问题,给你一个图,你怎么知道它是否是哈密尔顿图呢?当然如果图的顶点不多,你可以用最古老的”尝试和错误”的方法试试找哈密尔顿回路就可以解决和判断.但是,数学家们并不满足这样的碰得焦头烂额后才找到的真理方法.是否存在一组必要和充分的条件,使得我们能够简单轻易地判断一个图是否是哈密尔顿图?有许多智者通过各种方式去尝试过了,遗憾的是至今尚未找到一个判别哈密尔顿回路和通路的充分必要条件.虽然有些充分非必要或必要非充分条件,但大部分还是采用尝试的办法,不过这些条件也是非常有用的. 2 哈密尔顿图的背景 美国图论数学家奥在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。闭合的哈密顿路径称作哈密顿圈，含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径. 1857年，哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游过的城市，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示(如图1)。

图论讲义第2章-连通性

第二章 图的连通性 在第一章中已经定义连通图是任二顶点间都有路相连的图。对于连通图，其连通的程度也有高有低。例如，下列三个图都是连通图。对于图G 1，删除一条边或一个顶点便可使其变得不连通；而对于图G 2，至少需要删除两条边才能使其不连通，也可以删除一个顶点使其不连通；对于图G 3，要破坏其连通性，则至少需要删除三条边或三个顶点。 本章主要讨论如何通过图的顶点集、边集和不交的路集合的结构性质来获知图的连通性程度。通过研究割边和割点来刻画1连通图的特性；定义连通度和边连通度来度量连通图连通程度的高低；通过不交路结构和元素的共圈性质来反映图的2连通和k 连通性。 §2.1 割点和割边 定义2.1.1 设)(G V v ∈，如果)()(G w v G w >?，则称v 为G 的一个割点。 （注：该定义与某些著作中的定义有所不同，主要是在环边的顶点是否算作割点上有区别）。 例如，下图中u , v 两点是其割点。 定理2.1.1 如果点v 是简单图G 的一个割点，则边集E (G)可划分为两个非空子集1E 和2E ，使得][1E G 和][2E G 恰好有一个公共顶点v 。 证明留作习题。 推论2.1.1 对连通图G ，顶点v 是G 的割点当且仅当v G ?不连通。 定理2.1.2 设v 是树T 的顶点，则v 是T 的割点当且仅当1)(>v d 。 证明：必要性：设v 是T 的割点，下面用反证法证明1)(>v d 。 若0)(=v d ，则1K T ?，显然v 不是割点。 若1)(=v d ，则v T ?是有1)(??v T ν条边的无圈图，故是树。从而)(1)(T w v T w ==?。因此v 不是割点。 以上均与条件矛盾。 充分性：设1)(>v d ，则v 至少有两个邻点u ,w 。路uvw 是T 中一条),(w u 路。因T 是树，uvw 是T 中唯一的),(w u 路，从而)(1)(T w v T w =>?。故v 是割点。证毕。

第二章 生成树

第二章树 教学安排的说明 章节题目：§2.1树的特性；§2.2割边与割点，§2.3生成树 学时分配：共2课时 本章教学目的与要求：会正确表述关于树的一些基本概念（如树、生成树、割边与割点），会用避圈法和破圈法找生成树，会用树的方法描述一些简单的 实际问题．

课 堂 教 学 方 案 课程名称：§2.1树的特性；§2.2割边与割点；§2.3 生成树 授课时数：2学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授法 教学目的与要求：会正确表述关于树的一些基本概念（如树、生成树、割边与割点）， 会用避圈法和破圈法找生成树，会用树的方法描述一些简单的实际问题． 教学重点、难点： （1） 理解树的概念以及树的等价命题； （2） 掌握割边与割点的概念； （3） 理解生成树的定义； （4） 掌握找生成树的两种方法——避圈法和破圈法。 教学内容： 树是图论中的一个重要概念。树是一种极为简单而又非常重要的特殊图，它在 计算机科学以及其它许多领域都有广泛的应用。在1847年克希霍夫就用树的理论来研究电网络，1857年凯莱在计算有机化学中222n C H 的同分异构物数目时也用到了树的理论。各类网络的主干网通常都是树的结构。本节介绍树的基本知识，其中谈到的图都假定是简单图。 2.1 树的特性 定义2.1.1 连通无圈的无向图称为无向树，简称为树（Undirected tree ）。记作T ，树中的悬挂点（或称T 中度数为1的顶点）又称为树叶（leave ）（或叶顶点），其它顶点称为树枝（Branch Point 或内点(Inner Point)）。诸连通分支均为树的图称为森林（forest ），树是森林。 例1 图1中（a ），（b ）为树，（c ）为森林。 图1 由于树无环也无重边（否则它有圈）,因此树必定是简单图。树还有等价命题：

图论第二章和第四章的课后习题

图论第二章和第四章书后练习题2.2 给出满足下列条件的图或说明这样的图为什么不存在

(a)没有奇点的图。 (b)所有顶点的度为三的图。 (c)阶至少为5的图G ,且对于G 中任意两个邻接的顶点,,v u 均有u deg v deg ≠。 (d)阶至少为5的非完全图H ,且对于H 中任意两个不邻接的顶点,,v u 均有u deg v deg ≠。 解：（a ） （b ） (c) (d) 2.4 给出一个阶为6且边数为10的图G ,满足.4)(,3)(=?=G G δ 解：所求图如下所示：

2.6 在一个阶为)1(3≥n n 的图中，若度为n n ,1-和1+n 的顶点数个数均为n ，则n 必为偶数。 证：∵n-1+n+n+1=3n; ∴图中仅有度为n+1,n,n-1三种度的顶点 ∑deg(v)=(n-1)n+n*n+(n+1)n=3n 2 由图论第一定理知，3n 2 为偶数 则n 为偶数。 2.8 设G 为n 阶图，若对G 中任意三个互不邻接的顶点v u ,和w ，都有 u d e g ,1d e g d e g -≥++n w v 则G 一定是连通的吗？ 解：不一定，如下图： 2.10 我们已经知道，若n 阶图G 的任意两个不邻接的顶点u 和v 都满足 ,2d e g d e g -≥+n v u 则G 可能不连通。 (a) 证明：存在n 阶的连通图G ，它满足：对G 中两个任意不邻接的顶点u 和v ，都有,2deg deg -≥+n v u 且G 有两个不邻接的顶点x 和y ，使得y x deg deg +=2n -。 (b) 证明：若n 阶图G 的任意两个不邻接的顶点u 和v 都满足,2deg deg -≥+n v u 则G 至多有两个连通分支。 (c) (b)中的界是紧的吗？ （a ）证：假设deg deg 1u v n +≤-，则由定理4可知G 不是联通的，这与已知矛盾。 ∴原结论正确。 （b ）证：假设存在G1，G2,G3 三个连通分支，其阶数分别为n1,n2,n3,且n1+n2+n3≤n;

哈密尔顿图1

《哈密尔顿图》教学设计 所属学科、专业: 理学--数学类 所属课程：《离散数学》 授课题目：哈密尔顿图 适用对象：计算机科学与技术专业、数学与应用数学专业本科生 选用教材：《离散数学》(第四版)，耿素云等编著，北京大学出版社，2008. ------------------------------------------------------------------------------ 一、教学背景 本节课是《哈密尔顿图》的第一课时，主要学习哈密尔顿图的定义和判定条件.在此之前，学生已经学习了图论的基本概念，有了初步的图论建模的思想方法，并且在前一节课刚学过与哈密尔顿图类似的欧拉图，因此学生对本节课的学习有相当的兴趣和积极性． 二、教学目标 知识目标：使学生理解哈密尔顿图的定义，掌握常见的判断哈密尔顿图的充分条件和必要条件； 能力目标：通过把实际问题转化为哈密尔顿图求解，提高用图论方法建模的能力．三、重难点分析 教学重点：哈密尔顿图的定义和判定条件； 教学难点：如何判断哈密尔顿图． 四、教学方法 探究式、启发式教学；任务驱动法 五、教学设计方案 本节课的教学设计遵循理论联系实际、循序渐进的教学原则，由实际问题出发，创设情境，激发学生兴趣；针对学生普遍认为学习难度比较大的内容，如哈密尔顿图的判定条件，本课程主要采取诱导、启发的方式，采取PPT和板书相结合的方式进行教学；在新知识给出的同时，及时通过实例进行巩固，例子的设置由浅入深，使学生循序渐进地掌握课程内容．具体教学过程安排为： （一）由哈密尔顿图的起源引入： 哈密尔顿图起源于一种数学游戏，它是由爱尔兰数学家哈密尔顿于1859年提出的“周游世界问题”，即用一个正十二面体的20个顶点代表世界上20个著名城市，要求沿着正十二面体的棱，从一个城市出发，经过每个城市恰好一次，然后回到出发点．与哥尼斯堡七桥问题形成鲜明对照的是，没过多久,哈密尔顿先生就收到来自世界各地的表明已成功周游世界的答案． 教师提出问题，并适当介绍相关数学史，激发起学生兴趣，许多同学马上就开始跃跃欲