2020-2021学年江西省上饶市横峰中学等高二(统招班)上期中考试数学(文)(解析版)
2020-2021学年江西省上饶市横峰中学、弋阳一中、铅山一中
高二（统招班）上学期期中考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}
2
230A x x x =--≤，{}3,2,1,0,1,2B =---，则A
B =（ ）
A ．{}3,2,1---
B ．
1,0,1,2
C ．{}1,2
D ．{}2,1,0,1--
【答案】B
【分析】求出集合A ，利用交集定义能求出A B .
【详解】
{}
{}223013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}3,2,1,0,1,2B =---，
因此，{}1,0,1,2A B ?=-. 故选：B.
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
2．已知向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()
-⊥a b b ，则a ，b 的夹角是（ ）. A ．
π3
B ．
π6
C ．
2π3
D ．
5π6
【答案】A
【分析】先利用向量垂直的性质得到22||a b b b ?==，再计算cos θ的值，从而求得a 与
b 的夹角θ的值．
【详解】非零向量,a b 满足2=a ，1=b ， 且()a b b -⊥，则()0-?=a b b ，
即22|1|a b b b ?===，
所以2||11
cos 212
||||||||a b b a b a b θ?=
===???， 又[0θ∈，]π， 所以a 与b 的夹角为3
πθ=．
故选：A ．
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有垂直关系的向量表示，向量夹角大小的计算问题，属于基础题目．
3．某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：
现根据表中所提供的数据,求得y 关于x 的线性回归方程为?21y
x =-,则a 值等于( ) A ．4.5 B ．5
C ．5.5
D ．6
【答案】B
【分析】由已知表格中的数据求得x 与y 的值,代入线性回归方程求解a 值. 【详解】由所给数据可求得
∴ 234
33
x ++=
=, 103
a
y +=
, 代入线性回归方程为?21y
x =-, 得
102313
a
+=?-, 解得5a = 故选:B.
【点睛】本题考查线性回归方程的求法,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.
4．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23
A π
=，2b =，且ABC
a 的值为（ ）
A ．12
B ．8
C ．
D ．【答案】D
【分析】根据已知条件，利用三角形面积公式求得c 的值，然后利用余弦定理求得a 的值.
【详解】由题可得，
1sin 2b c A ???=221c ?=?，
∴2c =，
又2222cos a b c bc A =+-=1448122??
+-?-= ???
，
∴a = 故选：D ．
【点睛】本题考查三角形的面积公式和余弦定理的综合运用,属基础题.
5．若sin cos 1
sin cos 3
αααα+=-，则tan α等于（ ）
A ．2-
B ．3
4
C ．43-
D ．2
【答案】A
【分析】根据弦化切，将原式化为关于正切的方程，求解，即可得出结果. 【详解】因为sin cos 1sin cos 3
αααα+=-，所以
tan 11
tan 13αα+=-，即3tan 3tan 1αα+=-， 解得tan 2α.
故选：A.
【点睛】本题主要考查由弦化切求三角函数值，属于基础题型.
6．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
A ．08
B ．07
C ．02
D ．01
【答案】D
【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.
【解析】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.
7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）
A ．4
B ．13
C ．40
D ．41
【答案】C
【分析】模拟程序运行的过程，分析循环体各变量的变化情况，可得答案 【详解】模拟程序运行，可得：1,0A B == 满足条件4,A ≤执行循环体，1,2B A ==； 满足条件4,A ≤执行循环体，4,3B A ==； 满足条件4,A ≤执行循环体，13,4B A ==； 满足条件4,A ≤执行循环体，40,5B A ==； 此时不满足条件4A ≤,退出循环，输出B 的值为40 故选：C
8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．
310
π
B ．
320
π C ．3110
π-
D ．3120
π-
【答案】D
【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半
径为：815381517
r ?==?++落在内切圆内的概率为2
331
208152
r ππ
?==
??，故落在圆外的概率为3120
π-
9．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P 的坐标，则点P 落在圆22
15x y +=内
的概率为
A ．
19
B ．
29
C ．
59
D ．
79
【答案】B
【分析】由抛掷两枚骰子得到点P 的坐标共有36种，再利用列举法求得点P 落在圆
2215x y +=内所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．
【详解】由题意知，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P 的坐标，
共有6636?=种结果，
而满足条件的事件是点P 落在圆22
15x y +=内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，
2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果， 根据古典概型概率公式，可得8236
9
P =
=
，故选B ．
【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，令古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2
127m n a a a =，则
116
m n
+的最小值为（ ） A ．5 B ．
215
C ．
516
D ．
654
【答案】A
【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2
127m n a a a =可得出5m n +=，利用
基本不等式即可求出
116
m n
+的最小值. 【详解】正项等比数列中，
29
7
9a q a ==，所以3q =. 因为1122
2111127m n m n m n a a a q a q a q
a --+-=?==，所以5m n +=.
因为
11611161161()()(17)17)5555n m m n m n m n m n +=++=++≥=， 当且仅当
16n m
m n
=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =，
所以
116
m n
+的最小值为5. 故选：A.
【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 11．在直角梯形ABCD 中， AB AD ⊥， //AD BC ， 22AB BC AD ===， ,E F 分别为BC ， CD 的中点，以A 为圆心， AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在弧DG 上运动（如图）.若AP AE BF λμ=+，其中λ， R μ∈，则6λμ+的取值范围是（ ）
A ．2]
B ．[1,2]
C ．2,2]
D ．[2,22]
【答案】D
【分析】建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （2，0），D （0，1），C （2，2），E （2，1），F （1，1.5），P （cos α，sin α）（0≤α2
π
≤），由AP =λAE +μBF 得，（cos α，
sin α）＝λ（2，1）+μ（﹣1，3
2
），λ，μ用参数α进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．
【详解】解：建立如图所示的坐标系，
则A （0，0），B （2，0），D （0，1），C （2，2），E （2，1），F （1，1.5）， P （cos α，sin α）（0≤α2
π
≤
），
由AP =λAE +μBF 得，（cos α，sin α）＝λ（2，1）+μ（﹣1，3
2
） ?cos α＝2λ﹣μ，sin α＝λ32
μ+
?λ3184cos sin αα=+，11
24
sin cos μαα=-
∴6λ+μ＝6（3184cos sin αα+）1124sin cos αα+-=2（sin α+cos α）＝2sin （4
π
α+）
∵3444π
ππα??
+
∈????，，∴sin （4πα+）21?∈???
∴2sin （4
π
α+）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]．
故选D ．
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．属于中档题．
二、多选题
12．已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m // α，n // β，且m // n ，则α // β C ．若m ⊥α，n // β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n // β，且m // n ，则α⊥β 【答案】AD
【分析】根据直线与平面平行，垂直的性质定理，判断定理，灵活判断，可以正确推导，也可以举反例说明．
【详解】解：对于A ：若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥可以判断αβ⊥是正确的，因为可以设两个平面的法向量为1n ，2n ，可得数量积为零，即12n n ⊥，所以可判断αβ⊥是正确的，故A 正确，
对于B ：若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ．不正确，如两个面相交，两个相交的墙面，直线m ，n 都平行于交线，也满足，//m α，//n β，所以B 不正确； 对于C ：若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则有可能//αβ，不一定αβ⊥，所以C 不正确； 对于D ：
若m α⊥，//n β，且//m n ，n α∴⊥，//n β，αβ∴⊥，故D 正确；
故选：AD ．
【点睛】本题考察了直线与平面的位置关系，熟练掌握好平行，垂直的定理即可判断，属于中档题．
三、填空题
13．已知向量a ，b 的夹角为60°，||1,||2a b ==，则2a b -
=________. 【答案】2
【分析】先根据已知条件计算数量积a b ?，再由()
2
2
22a b
a b -=-计算，即得结果.
【详解】因为向量a ，b 的夹角为60°，||1,||2a b ==，所以12cos601a b ?=???=， 故()
()2
2
2
2222441444a b
a b
a a
b b -=-=-?+=?-+=，22a b ∴-=.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了数量积的定义和向量模长的计算，属于基础题.
14．已知实数x ，y 满足1
2020x x y x y ≤??
+-≥??-+≥?
，则2z x y =-的最大值为________．
【答案】1
【分析】先根据约束条件画出可行域，再根据可行域求目标函数的最大值即可.
【详解】解：由约束条件12020x x y x y ≤??
+-≥??-+≥?
，画出可行域，如图，
有题意12
x y x =??=-+?，解得点(1,1)B ，根据图象可得，
当目标函数过点(1,1)B 时，2z x y =-取得最大值211=1z =?-， 故答案为：1.
【点睛】本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值，是基础题.
15．函数()sin cos 6f x x x π?
?=++ ??
?的值域为______________.
【答案】[]1,1-
【分析】利用两角和与差的三角函数，化简已知表达式，再利用余弦函数的值域求出它的值域即可.
【详解】解：函数
(
)1sin cos sin cos sin cos 6226f x x x x x x x ππ???
?=++=+-=- ? ????
?，
∵[]cos 1,16x π?
?
-
∈- ??
?
， ∴函数的值域为：[]1,1-. 故答案为：[]1,1-.
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，余弦函数的值域，属于基本知识的考查. 16．已知等比数列{}n a 满足(
)143n
n n a a n N
*
++=?∈，的前n 项和为n
S
，若不等式
n n S ka ≥对于任意n *∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是______.
【答案】(],1-∞
【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列的定义求出q 的值，结合等式
143n n n a a ++=?可求得数列n a ，并计算出n S ，由n n S ka ≥可得1
31223n k -≤
-?，求出数列n n S a ??
?
???
的最小值，即可求得实数k 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，
则()1143n
n n n a a q a ++=+=?，可得()1
211143
n n n n a a q a +++++=+=?，
上述两式相除得()()111433143
n n n
n q a q q a +++?===+?，则1443n n n n a a a ++==?，得3n n a =， 所以，等比数列{}n a 的公比为3，首项也为3，则()11133313
2
n n n
a S +--==
-，
由于n n S ka ≥，则1133
3123223n n n n n S k a +--≤==-
?，所以数列n n S a ??
????单调递增， 当1n =时，数列n n S a ??
????
中最小项为111S a =，1k ∴≤. 因此，实数k 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞.
【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，涉及等比数列通项公式的求解，考查
运算求解能力，属于中等题.
四、解答题
17．当0a ≤时，解关于x 的不等式()2
1330ax a x +--≤.
【答案】答案见解析.
【分析】将所求不等式变形为()()130ax x +-≤，对实数a 的取值进行分类讨论，结合二次不等式的求解方法可得出原不等式的解集.
【详解】由()2
1330ax a x +--≤，可得()()130ax x +-≤.
①当0a =时，原不等式即30x -≤，解得3x ≤； ②当0a <时，()()130ax x +-≤. 方程()()130ax x +-=的两根为11
0x a
=->，23x =. 当13
a =-时，原不等式即()2
1303x -
-≤，即()230x -≥，解得x ∈R ； 当1
当13a <-时，13a -<，解原不等式得3x ≥或1
x a
≤-.
综上，当0a =时，原不等式的解集为{}
3x x ≤； 当13
a =-时，原不等式的解集为R ； 当1
03
-