高中数学必修一测试卷及答案3套
高中数学必修一测试卷及答案3套
测试卷一
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.如果A ={x |x >-1},那么( ) A .0?A B .{0}∈A C .?∈A
D .{0}?A
2.已知f (1
2x -1)=2x +3,f (m )=6,则m 等于( )
A .-14
B.14
C.32
D .-32
3.函数y =x -1+lg(2-x )的定义域是( ) A .(1,2) B .[1,4] C .[1,2)
D .(1,2]
4.函数f (x )=x 3
+x 的图象关于( ) A .y 轴对称
B .直线y =-x 对称
C .坐标原点对称
D .直线y =x 对称
5.下列四类函数中,具有性质“对任意的x >0,y >0,函数f (x )满足f (x +y )=
f (x )f (y )”的是( )
A .幂函数
B .对数函数
C .指数函数
D .一次函数
6.若0 >2n B .(12)m <(12)n C .log 2m >log 2n D .12 log m >12 log n 7.已知a =0.3,b =20.3 ,c =0.30.2 ,则a ,b ,c 三者的大小关系是( ) A .b >c >a B .b >a >c C .a >b >c D .c >b >a 8.函数f (x )=log 3x -8+2x 的零点一定位于区间( ) A .(5,6) B .(3,4) C .(2,3) D .(1,2) 9.下列计算正确的是( ) A .(a 3)2 =a 9 B .log 26-log 23=1 C .12 a ·12 a =0 D .log 3(-4)2 =2log 3(-4) 10.已知函数f (x )=a x +log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为( ) A.12 B.14 C .2 D .4 11.函数y =|lg(x +1)|的图象是( ) 12.若函数f (x )=lg(10x +1)+ax 是偶函数,g (x )=4x -b 2 x 是奇函数,则a +b 的值是 ( ) A.12 B .1 C .-12 D .-1 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知A ={-1,3,m },集合B ={3,4},若B ∩A =B ,则实数m =________. 14.已知f (x 5 )=lg x ,则f (2)=________. 15.函数y =f (x )是定义域为R 的奇函数,当x <0时,f (x )=x 3 +2x -1,则x >0时函数的解析式f (x )=______________. 16.幂函数f (x )的图象过点(3,4 27),则f (x )的解析式是______________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)(1)计算:1 2 72 9?? ???+(lg5)0 +13 2764- ?? ??? ; (2)解方程:log 3(6x -9)=3. 18.(12分)某商品进货单价为40元,若销售价为50元,可卖出50个,如果销售价每涨1元,销售量就减少1个,为了获得最大利润,求此商品的最佳售价应为多少? 19.(12分)已知函数f (x )=-3x 2 +2x -m +1. (1)当m 为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点; (2)若函数恰有一个零点在原点处,求m 的值. 20.(12分)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体:在定义域D 内存在x 0,使得 f (x 0+1)=f (x 0)+f (1)成立. (1)函数f (x )=1 x 是否属于集合M ?说明理由; (2)若函数f (x )=kx +b 属于集合M ,试求实数k 和b 满足的约束条件. 21.(12分)已知奇函数f (x )是定义域[-2,2]上的减函数,若f (2a +1)+f (4a -3)>0,求实数a 的取值范围. 22.(12分)已知函数f (x )=. (1)若a =1,求函数f (x )的零点; (2)若函数f (x )在[-1,+∞)上为增函数,求a 的取值范围. 答案 1.D [∵0∈A ,∴{0}?A .] 2.A [令1 2x -1=t ,则x =2t +2, 所以f (t )=2×(2t +2)+3=4t +7. 令4m +7=6,得m =-1 4 .] 3.C [由题意得:??? ?? x -1≥0 2-x >0 ,解得1≤x <2.] 4.C [∵f (x )=x 3 +x 是奇函数, ∴图象关于坐标原点对称.] 5.C [本题考查幂的运算性质. f (x )f (y )=a x a y =a x +y =f (x +y ).] 6.D [由指数函数与对数函数的单调性知D 正确.] 7.A [因为a =0.3=0.30.5 <0.30.2 =c <0.30 =1, 而b =20.3 >20 =1,所以b >c >a .] 8.B [f (3)=log 33-8+2×3=-1<0, f (4)=lo g 34-8+2×4=log 34>0. 又f (x )在(0,+∞)上为增函数, 所以其零点一定位于区间(3,4).] 9.B [A 中(a 3)2 =a 6 ,故A 错; B 中log 26-log 23=log 26 3=log 22=1,故B 正确; C 中,12 a -·12a =1122 a -+=a 0 =1,故C 错; D 中,log 3(-4)2 =log 316=log 342 =2log 34.] 10.C [依题意,函数f (x )=a x +log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上具有单调性,因此a +a 2 +log a 2=log a 2+6,解得a =2.] 11.A [将y =lg x 的图象向左平移一个单位,然后把x 轴下方的部分关于x 轴对称到上方,就得到y =|lg(x +1)|的图象.] 12.A [∵f (x )是偶函数, ∴f (-x )=f (x ), 即lg(10-x +1)-ax =lg 1+10x 10 x -ax =lg(10x +1)-(a +1)x =lg(10x +1)+ax , ∴a =-(a +1),∴a =-1 2,又g (x )是奇函数, ∴g (-x )=-g (x ), 即2-x -b 2-x =-2x +b 2x ,∴b =1,∴a +b =12 .] 13.4 解析 ∵A ={-1,3,m },B ={3,4},B ∩A =B , ∴m =4. 14.1 5 lg2 解析 令x 5 =t ,则x =15 t . ∴f (t )=15lg t ,∴f (2)=1 5lg2. 15.x 3 -2-x +1 解析 ∵f (x )是R 上的奇函数,∴当x >0时, f (x )=-f (-x )=-[(-x )3+2-x -1]=x 3-2-x +1. 16.f (x )=34 x 解析 设f (x )=x n ,则有3n =4 27,即3n =34 3, ∴n =3 4 ,即f (x )=3 4x . 17.解 (1)原式=1 2 259?? ???+(lg5)0 +133 34-?????? ??? ???? =53+1+4 3 =4. (2)由方程log 3(6x -9)=3得 6x -9=33=27,∴6x =36=62 , ∴x =2. 经检验,x =2是原方程的解. 18.解 设最佳售价为(50+x )元,最大利润为y 元, y =(50+x )(50-x )-(50-x )×40 =-x 2 +40x +500. 当x =20时,y 取得最大值,所以应定价为70元. 故此商品的最佳售价应为70元. 19.解 (1)函数有两个零点,则对应方程-3x 2 +2x -m +1=0有两个根,易知Δ>0,即Δ=4+12(1-m )>0, 可解得m <43;Δ=0,可解得m =43;Δ<0,可解得m >4 3. 故m <4 3 时,函数有两个零点; m =43 时,函数有一个零点; m >43 时,函数无零点. (2)因为0是对应方程的根,有1-m =0,可解得m =1. 20.解 (1)D =(-∞,0)∪(0,+∞), 若f (x )=1 x ∈M ,则存在非零实数x 0, 使得 1x 0+1=1 x 0 +1, 即x 2 0+x 0+1=0, 因为此方程无实数解,所以函数f (x )=1 x ?M . (2)D =R ,由f (x )=kx +b ∈M ,存在实数x 0,使得 k (x 0+1)+b =kx 0+b +k +b ,解得b =0, 所以,实数k 和b 的取值范围是k ∈R ,b =0. 21.解 由f (2a +1)+f (4a -3)>0得f (2a +1)>-f (4a -3), 又f (x )为奇函数,得-f (4a -3)=f (3-4a ), ∴f (2a +1)>f (3-4a ), 又f (x )是定义域[-2,2]上的减函数, ∴2≥3-4a >2a +1≥-2 即???? ? 2≥3-4a 3-4a >2a +12a +1≥-2 ∴????? a ≥ 14 a < 1 3a ≥-32 ∴实数a 的取值范围为[14,1 3 ). 22.解 (1)当a =1时,由x -2x =0,x 2 +2x =0, 得零点为2,0,-2. (2)显然,函数g (x )=x -2x 在[1 2,+∞)上递增, 且g (12)=-72 ; 函数h (x )=x 2 +2x +a -1在[-1,12]上也递增, 且h (12)=a +14 . 故若函数f (x )在[-1,+∞)上为增函数, 则a +14≤-72,∴a ≤-154. 故a 的取值范围为(-∞,- 15 4 ]. 测试卷二 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.集合A ={0,2,a },B ={1,a 2 },若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .4 2.设函数f (x )=,则f ( 1 f 3 )的值为( ) A. 127128 B .-127128 C.18 D. 116 3.若函数y =f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f 2x x -1 的定义域是( ) A .[0,1] B .[0,1) C .[0,1)∪(1,4] D .(0,1) 4.已知f (x )=(m -1)x 2 +3mx +3为偶函数,则f (x )在区间(-4,2)上为( ) A .增函数 B .减函数 C .先递增再递减 D .先递减再递增 5.三个数a =0.32 ,b =log 20.3,c =20.3 之间的大小关系是( ) A .a D .b 6.若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内,那么下列命题中正确的是( ) A .函数f (x )在区间(0,1)内有零点 B .函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C .函数f (x )在区间[2,16)内无零点 D .函数f (x )在区间(1,16)内无零点 7.已知0 =|log a x |的实根个数是( ) A .2 B .3 C .4 D .与a 值有关 8.函数y =1+ln(x -1)(x >1)的反函数是( ) A .y =e x +1 -1(x >0) B .y =e x -1 +1(x >0) C .y =e x +1-1(x ∈R ) D .y =e x -1 +1(x ∈R ) 9.函数f (x )=x 2 -2ax +1有两个零点,且分别在(0,1)与(1,2)内,则实数a 的取值范围是( ) A .-1 B .a <-1或a >1 C .1 D .-5 4 10.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数y =x 2 ,x ∈[1,2]与函数y =x 2 ,x ∈[-2,-1]即为“同族函数”.请你找出下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是( ) A .y =x B .y =|x -3| C .y =2x D .y =12 log x 11.下列4个函数中: ①y =2008x -1; ②y =log a 2 009-x 2 009+x (a >0且a ≠1); ③y =x 2 009+x 2 008 x +1 ; ④y =x ( 1a -x -1+1 2 )(a >0且a ≠1). 其中既不是奇函数,又不是偶函数的是( ) A .① B .②③ C .①③ D .①④ 12.设函数的集合P ={f (x )=log 2(x +a )+b |a =-12,0,1 2,1;b =-1,0,1},平面上 点的集合Q ={(x ,y )|x =-12,0,1 2 ,1;y =-1,0,1},则在同一直角坐标系中,P 中函数 f (x )的图象恰好.. 经过Q 中两个点的函数的个数是( ) A .4 B .6 C .8 D .10 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.计算:0.25×(-12 )-4 +lg8+3lg5=________. 14.若规定=|ad -bc |,则不等式<0的解集是____________. 15.已知关于x 的函数y =log a (2-ax )在[0,1]上是减函数,则a 的取值范围是________. 16.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=1-2-x ,则不等式f (x )<-1 2 的解集是______________. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)已知函数f (x )12 log (1)x -A ,函数g (x )=2 23 m x x ---1 的值域为集合B ,且A ∪B =B ,求实数m 的取值范围. 18.(12分)已知f(x)=x+a x2+bx+1 是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性,并证明你的结论. 19.(12分)若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b),且当x<0时,f(x)>1; (1)求证:f(x)>0; (2)求证:f(x)为减函数; (3)当f(4)=1 16时,解不等式f(x2+x-3)·f(5-x2)≤ 1 4 . 20.(12分)我市有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40),试求f(x)和g(x); (2)选择哪家比较合算?为什么? 21.(12分)已知函数y=f(x)的定义域为D,且f(x)同时满足以下条件: ①f(x)在D上是单调递增或单调递减函数; ②存在闭区间[a,b]D(其中a b].那么,我们称函数y=f(x)(x∈D)是闭函数. (1)判断f(x)=-x3是不是闭函数?若是,找出条件②中的区间;若不是,说明理由. (2)若f(x)=k+x+2是闭函数,求实数k的取值范围. (注:本题求解中涉及的函数单调性不用证明,直接指出是增函数还是减函数即可) 22.(12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=a x -1.其中a >0且 a ≠1. (1)求f (2)+f (-2)的值; (2)求f (x )的解析式; (3)解关于x 的不等式-1 答案 1.D [∵A ∪B ={0,1,2,a ,a 2 }, 又∵A ∪B ={0,1,2,4,16}, ∴??? ?? a =4, a 2 =16, 即a =4. 否则有??? ?? a =16a 2 =4 矛盾.] 2.A [∵f (3)=32 +3×3-2=16, ∴ 1f 3=1 16 , ∴f ( 1f 3)=f (116)=1-2×(116)2=1-2256=127 128 .] 3.B [由题意得:??? ?? 0≤2x ≤2x ≠1 ,∴0≤x <1.] 4.C [∵f (x )=(m -1)x 2 +3mx +3是偶函数, ∴m =0,f (x )=-x 2 +3,函数图象是开口向下的抛物线,顶点坐标为(0,3),f (x )在(-4,2)上先增后减.] 5.C [20.3 >20 =1=0.30 >0.32 >0=log 21>log 20.3.] 6.C [函数f (x )唯一的一个零点在区间(0,2)内,故函数f (x )在区间[2,16)内无零点.] 7.A [分别画出函数y =a |x | 与y =|log a x |的图象,通过数形结合法,可知交点个数为2.] 8.D [∵函数y =1+ln(x -1)(x >1), ∴ln(x -1)=y -1,x -1=e y -1 ,y =e x -1 +1(x ∈R ).] 9.C [∵f (x )=x 2 -2ax +1, ∴f (x )的图象是开口向上的抛物线. 由题意得:???? ? f 0>0,f 1<0, f 2>0. 即???? ? 1>0,1-2a +1<0,4-4a +1>0, 解得1 4 .] 10.B 11.C [其中①不过原点,则不可能为奇函数,而且也不可能为偶函数;③中定义域不关于原点对称,则既不是奇函数,又不是偶函数.] 12.B [当a =-12,f (x )=log 2(x -1 2)+b , ∵x >1 2 , ∴此时至多经过Q 中的一个点; 当a =0时,f (x )=log 2x 经过(1 2 ,-1),(1,0), f (x )=lo g 2x +1经过(12 ,0),(1,1); 当a =1时,f (x )=log 2(x +1)+1经过(-1 2 ,0),(0,1), f (x )=lo g 2(x +1)-1经过(0,-1),(1,0); 当a =12时,f (x )=log 2(x +12)经过(0,-1),(1 2 ,0) f (x )=lo g 2(x +1 2)+1经过(0,0),(12 ,1).] 13.7 解析 原式=0.25×24 +lg8+lg53 =(0.5×2)2 ×22 +lg(8×53 )=4+lg1000=7. 14.(0,1)∪(1,2) 解析 ?? ?? ?? 1 11 x =|x -1|, 由log 2 |x -1|<0,得0<|x -1|<1, 即0 解析 依题意,a >0且a ≠1, ∴2-ax 在[0,1]上是减函数, 即当x =1时,2-ax 的值最小,又∵2-ax 为真数, ∴????? a >12-a >0 ,解得1 16.(-∞,-1) 解析 当x >0时,由1-2-x <-12, (12)x >3 2 ,显然不成立. 当x <0时,-x >0. 因为该函数是奇函数,所以f (x )=-f (-x )=2x -1. 由2x -1<-12,即2x <2-1 ,得x <-1. 又因为f (0)=0<-1 2不成立, 所以不等式的解集是(-∞,-1). 17.解 由题意得A ={x |1 ]. 由A ∪B =B ,得A ?B ,即-1+31+m ≥2,即3 1+m ≥3, 所以m ≥0. 18.解 ∵f (x )= x +a x 2 +bx +1 是定义在[-1,1]上的奇函数, ∴f (0)=0,即0+a 02+0+1=0, ∴a =0. 又∵f (-1)=-f (1),∴-12-b =-1 2+b , ∴b =0,∴f (x )= x x 2 +1 . ∴函数f (x )在[-1,1]上为增函数. 证明如下: 任取-1≤x 1 x 1 x 2 1 +1- x 2 x 22 +1 =x 1x 22+x 1-x 2 1x 2-x 2x 2 1+1x 22+1 =x 1x 2x 2-x 1+x 1-x 2 x 21+1x 22+1 = x 1-x 21-x 1x 2 x 21+1 x 22+1 <0, ∴f (x 1) ∴f (x )为[-1,1]上的增函数. 19.(1)证明 f (x )=f (x 2+x 2)=f 2 (x 2)≥0, 又∵f (x )≠0,∴f (x )>0. (2)证明 设x 1 f x 2 = f x 1 f x 2 >1,∴f (x 1)>f (x 2),∴f (x )为减函数. (3)解 由f (4)=f 2 (2)=116,f (x )>0,得f (2)=14. 原不等式转化为f (x 2 +x -3+5-x 2 )≤f (2),结合(2)得: x +2≥2,∴x ≥0, 故不等式的解集为{x |x ≥0}. 20.解 (1)f (x )=5x,15≤x ≤40; g (x )=? ?? ?? 90, 15≤x ≤30 30+2x ,30 (2)①当15≤x ≤30时,5x =90,x =18, 即当15≤x <18时,f (x ) 21.解 (1)f (x )=-x 3 在R 上是减函数,满足①; 设存在区间[a ,b ],f (x )的取值集合也是[a ,b ],则????? -a 3 =b -b 3 =a ,解得a =-1,b = 1, 所以存在区间[-1,1]满足②, 所以f (x )=-x 3 (x ∈R )是闭函数. (2)f (x )=k +x +2是在[-2,+∞)上的增函数, 由题意知,f (x )=k +x +2是闭函数,存在区间[a ,b ]满足② 即:?? ? k +a +2=a k +b +2=b . 即a ,b 是方程k +x +2=x 的两根,化简得, a , b 是方程x 2-(2k +1)x +k 2-2=0的两根. 且a ≥k ,b >k . 令f (x )=x 2 -(2k +1)x +k 2 -2,得??? ?? f k ≥0Δ>0 2k +12>k , 解得-9 4 所以实数k 的取值范围为(-9 4,-2]. 22.解 (1)∵f (x )是奇函数, ∴f (-2)=-f (2),即f (2)+f (-2)=0. (2)当x <0时,-x >0, ∴f (-x )=a -x -1. 由f (x )是奇函数,有f (-x )=-f (x ), ∵f (-x )=a -x -1, ∴f (x )=-a -x +1(x <0). ∴所求的解析式为f (x )=???? ? a x -1 x ≥0-a -x +1x <0 . (3)不等式等价于??? ? ? x -1<0-1<-a -x +1 +1<4 或????? x -1≥0 -1 -1<4, 即? ???? x -1<0-3 <2或? ???? x -1≥00 <5. 当a >1时,有? ?? ?? x <1 x >1-log a 2或? ?? ?? x ≥1 x <1+log a 5, 注意此时log a 2>0,log a 5>0, 可得此时不等式的解集为(1-log a 2,1+log a 5). 同理可得,当01时,