物理生活中的圆周运动练习题含答案

物理生活中的圆周运动练习题含答案

一、高中物理精讲专题测试生活中的圆周运动

1．如图，在竖直平面内，一半径为R 的光滑圆弧轨道ABC 和水平轨道PA 在A 点相切．BC 为圆弧轨道的直径．O 为圆心，OA 和OB 之间的夹角为α，sinα=

3

5

，一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动，经A 点沿圆弧轨道通过C 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零．重力加速度大小为g ．求：

（1）水平恒力的大小和小球到达C 点时速度的大小； （2）小球到达A 点时动量的大小； （3）小球从C 点落至水平轨道所用的时间． 【答案】（15gR

（223m gR （3355R g 【解析】

试题分析 本题考查小球在竖直面内的圆周运动、受力分析、动量、斜下抛运动及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力．

解析（1）设水平恒力的大小为F 0，小球到达C 点时所受合力的大小为F ．由力的合成法则有

tan F mg

α=① 2220()F mg F =+②

设小球到达C 点时的速度大小为v ，由牛顿第二定律得

2

v F m R

=③

由①②③式和题给数据得

03

4

F mg =④

5gR

v =

（2）设小球到达A 点的速度大小为1v ，作CD PA ⊥，交PA 于D 点，由几何关系得 sin DA R α=⑥

(1cos CD R α=+）⑦

由动能定理有

220111

22

mg CD F DA mv mv -?-?=-⑧

由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A 点的动量大小为 1232

m gR p mv ==

⑨ （3）小球离开C 点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g ．设小球在竖直方向的初速度为v ⊥，从C 点落至水平轨道上所用时间为t ．由运动学公式有

2

12

v t gt CD ⊥+

=⑩ sin v v α⊥=

由⑤⑦⑩

式和题给数据得

355R t g

=

点睛 小球在竖直面内的圆周运动是常见经典模型，此题将小球在竖直面内的圆周运动、受力分析、动量、斜下抛运动有机结合，经典创新．

2．有一水平放置的圆盘，上面放一劲度系数为k 的弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O 上，另一端系一质量为m 的物体A ，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，开始时弹簧未发生形变，长度为l ．设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力．求：

（1）盘的转速ω0多大时，物体A 开始滑动？

（2）当转速缓慢增大到2ω0时，A 仍随圆盘做匀速圆周运动，弹簧的伸长量△x 是多少？ 【答案】（1） g

l

μ（2）

34mgl

kl mg

μμ-

【解析】 【分析】

（1）物体A 随圆盘转动的过程中，若圆盘转速较小，由静摩擦力提供向心力；当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．物体A 刚开始滑动时，弹簧的弹力为零，静摩擦力达到最大值，由静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求解角速度ω0． （2）当角速度达到2ω0时，由弹力与摩擦力的合力提供向心力，由牛顿第二定律和胡克定律求解弹簧的伸长量△x ． 【详解】

若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与静摩擦力的合力提供向心力．

（1）当圆盘转速为n 0时，A 即将开始滑动，此时它所受的最大静摩擦力提供向心力，则有： μmg ＝ml ω02， 解得：ω0= g

l

μ．

即当ω0＝

g

l

μ时物体A 开始滑动．

（2）当圆盘转速达到2ω0时，物体受到的最大静摩擦力已不足以提供向心力，需要弹簧的弹力来补充，即：μmg +k △x ＝mr ω12， r=l+△x 解得：34mgl

x kl mg

μμ-V ＝

【点睛】

当物体相对于接触物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大，这是经常用到的临界条件．本题关键是分析物体的受力情况．

3．如图所示，倾角为45α=?的粗糙平直导轨与半径为r 的光滑圆环轨道相切，切点为b ，整个轨道处在竖直平面内. 一质量为m 的小滑块从导轨上离地面高为H =3r 的d 处无初速下滑进入圆环轨道，接着小滑块从最高点a 水平飞出，恰好击中导轨上与圆心O 等高的c 点. 已知圆环最低点为e 点，重力加速度为g ，不计空气阻力. 求： （1）小滑块在a 点飞出的动能； （）小滑块在e 点对圆环轨道压力的大小；

（3）小滑块与斜轨之间的动摩擦因数. （计算结果可以保留根号）

【答案】（1）12k E mgr =；（2）F ′=6mg ；（3）42μ-= 【解析】 【分析】 【详解】

（1）小滑块从a 点飞出后做平拋运动： 2a r v t =

竖直方向：2

12

r gt = 解得：a v gr =

小滑块在a 点飞出的动能211

22

k a E mv mgr =

= （2）设小滑块在e 点时速度为m v ，由机械能守恒定律得：

2211

222

m a mv mv mg r =+? 在最低点由牛顿第二定律：2

m mv F mg r

-= 由牛顿第三定律得：F ′=F 解得：F ′=6mg

（3）bd 之间长度为L ，由几何关系得：()

221L r =+ 从d 到最低点e 过程中，由动能定理21

cos 2

m mgH mg L mv μα-?= 解得42

14

μ-=

4．如图所示，粗糙水平地面与半径为R =0.4m 的粗糙半圆轨道BCD 相连接，且在同一竖直平面内，O 是BCD 的圆心，BOD 在同一竖直线上．质量为m =1kg 的小物块在水平恒力F =15N 的作用下，从A 点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B 点时撤去F ，小物块沿半圆轨道运动恰好能通过D 点，已知A 、B 间的距离为3m ，小物块与地面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g 取10m/s 2．求： （1）小物块运动到B 点时对圆轨道B 点的压力大小． （2）小物块离开D 点后落到地面上的点与D 点之间的距离

【答案】（1）160N （2）2 【解析】 【详解】

（1）小物块在水平面上从A 运动到B 过程中，根据动能定理，有： （F -μmg ）x AB =

1

2

mv B 2-0 在B 点，以物块为研究对象，根据牛顿第二定律得：

2B

v N mg m R

-=

联立解得小物块运动到B 点时轨道对物块的支持力为：N =160N

由牛顿第三定律可得，小物块运动到B 点时对圆轨道B 点的压力大小为：N ′=N =160N （2）因为小物块恰能通过D 点，所以在D 点小物块所受的重力等于向心力，即：

2D

v mg m R

=

可得：v D =2m/s

设小物块落地点距B 点之间的距离为x ，下落时间为t ，根据平抛运动的规律有： x =v D t ，

2R =

12

gt 2

解得：x =0.8m

则小物块离开D 点后落到地面上的点与D 点之间的距离20.82m l x =

=

5．如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上放着A 、B 两个物块，转盘中心O 处固定一力传感器，它们之间用细线连接．已知1kg A B m m ==两组线长均为

0.25m L =．细线能承受的最大拉力均为8m F N =．A 与转盘间的动摩擦因数为

10.5μ=，B 与转盘间的动摩擦因数为20.1μ=，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦

力，两物块和力传感器均视为质点，转盘静止时细线刚好伸直，传感器的读数为零．当转

盘以不同的角速度勾速转动时，传感器上就会显示相应的读数F ，g 取2

10m/s ．求：

（1）当AB 间细线的拉力为零时，物块B 能随转盘做匀速转动的最大角速度； （2）随着转盘角速度增加，OA 间细线刚好产生张力时转盘的角速度；

（3）试通过计算写出传感器读数F 随转盘角速度ω变化的函数关系式，并在图乙的坐标系中作出2F ω-图象．

【答案】（1）12/rad s ω= （2）222/rad s ω= （3）22

52/m rad s ω=

【解析】

对于B ，由B 与转盘表面间最大静摩擦力提供向心力，由向心力公式有：

2212B B m g m L μω=

代入数据计算得出：12/rad s ω=

（2）随着转盘角速度增加，OA 间细线中刚好产生张力时，设AB 间细线产生的张力为

T ，有：

212A A m g T m L μω-=

2222B B T m g m L μω+=

代入数据计算得出：222/rad s ω= （3）①当2228/rad s ω≤时，0F =

②当2228/rad s ω≥，且AB 细线未拉断时，有：

21A A F m g T m L μω+-= 222B B T m g m L μω+=

8T N ≤

所以：2

364

F ω=

-；222228/18/rad s rad s ω≤≤ ③当218ω>时，细线AB 断了，此时A 受到的静摩擦力提供A 所需的向心力，则有：

21A A m g m w L μ≥

所以：2222218/20/rad s rad s ω<≤时，0F =

当22220/rad s ω>时，有2

1A A F m g m L μω+=

8F N ≤

所以：2

154

F ω=

-；2222220/52/rad s rad s ω<≤ 若8m F F N ==时，角速度为：222

52/m rad s ω=

做出2F ω-的图象如图所示；

点睛：此题是水平转盘的圆周运动问题，解决本题的关键正确地确定研究对象，搞清向心力的来源，结合临界条件，通过牛顿第二定律进行求解．

6．如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD 光滑，内圆的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一质量m=0.2kg 的小球从轨道的最低点A 处以初速度v 0向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径R=0.2m ，取g=10m/s 2．

（1）若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动，初速度v 0至少为多少？ （2）若v 0=3m/s ，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力F C =2N ，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？

（3）若v 0=3.1m/s ，经过足够长的时间后，小球经过最低点A 时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？（保留三位有效数字） 【答案】（1）0v 10m/s （2）0.1J （3）6N ；0.56J 【解析】 【详解】

（1）在最高点重力恰好充当向心力

2C

mv mg R

从到机械能守恒

220112-22

C mgR mv mv =

解得

010m/s v =

（2）最高点

'2

-C

C mv mg F R

= 从A 到C 用动能定理

'22011-2--22

f C mgR W mv mv =

得=0.1J f W

（3）由0=3.1m/s<10m/s v 于，在上半圆周运动过程的某阶段，小球将对内圆轨道间有弹力，由于摩擦作用，机械能将减小．经足够长时间后，小球将仅在半圆轨道内做往复运动．设此时小球经过最低点的速度为A v ，受到的支持力为A F

2

12

A mgR mv =

2-A

A mv F mg R

= 得=6N A F

整个运动过程中小球减小的机械能

2

01-2

E mv mgR ?=

得=0.56J E ?

7．如图所示，长为3l 的不可伸长的轻绳，穿过一长为l 的竖直轻质细管，两端分别拴着质量为m 、2m 的小球A 和小物块B ，开始时B 静止在细管正下方的水平地面上。保持细管竖直用手轻轻摇动细管，稳定后A 在水平面内做匀速圆周运动而B 保持静止状态。某时刻B 静止在地面上且对地面的压力恰好为零。已知重力加速度为g ，不计一切阻力。求：

()1该时刻连接A 的轻绳与竖直方向的夹角θ； ()2该时刻A 的线速度大小v ；

()3从该时刻起轻摇细管使B 升高到离地高度为/2l 处保持静止，求B 上升过程中手对

A 、

B 系统做的功。

【答案】()1?

60o

；()

32?2

gl

；()938mgl 。

【解析】 【分析】

(1)对B 根据平衡求绳子的拉力；对A 球分析，由力的平衡条件可求绳与竖直方向夹角θ； (2)对A 水平方向做圆周运动，利用牛顿第二定律列式求解；

(3)由力的平衡条件和牛顿第二定律并结合功能关系列式联立可求整个过程中人对A 、B 系统做的功。 【详解】

（1）B 对地面刚好无压力，故此时绳子的拉力为2T mg = 对A 受力分析如图所示：

在竖直方向合力为零，故cos T mg θ= 代入数据解得：60θ=o

（2）A 球水平方向做圆周运动，由牛顿第二定律得：2

sin sin v T m l θθ

=代入数据解得：

32

gl

v =

（3）当B 上升

2l 时，拉A 的绳长为32

l

，此时对水平方向上有： 2

1sin 3sin 2

v T m

l θθ= 联立解得：13

2

v gl =A 相对于原来的高度下降的距离：cos 24l l h V θ=

=B 物体重力势能的增加量：122

l

E mg mgl =?=V A 物体重力势能的减少量：244

l mgl

E mg =?

=V A 物体动能的增加量

2231113

228

E mv mv mgl =

-=V 对系统运用功能关系可得手对系统做的功：1229

8

W E E E mgl =-+=V V V 【点睛】

本题综合考查共点力平衡、牛顿第二定律和功能关系，对于圆锥摆问题，关键分析小球的受力情况，确定其向心力，运用牛顿第二定律和圆周运动的知识结合解答。

8．三维弹球（DPmb1D 是Window 里面附带的一款使用键盘操作的电脑游戏，小明同学受此启发，在学校组织的趣味班会上，为大家提供了一个类似的弹珠游戏．如图所示，将一质量为0.1kg 的小弹珠（可视为质点）放在O 点，用弹簧装置将其弹出，使其沿着光滑的半圆形轨道OA 和AB 运动，BC 段为一段长为L ＝5m 的粗糙水平面，与一倾角为45°的斜面

CD 相连，圆弧OA 和AB 的半径分别为r ＝0.49m ，R ＝0.98m ，滑块与BC 段的动摩擦因数为μ＝0.4，C 点离地的高度为H ＝3.2m ，g 取10m/s 2，求

(1)要使小弹珠恰好不脱离圆弧轨道运动到B 点，在B 位置小滑块受到半圆轨道的支持力的大小；

(2)在(1)问的情况下，求小弹珠落点到C 点的距离？

(3)若在斜面中点竖直立一挡板，在不脱离圆轨道的前提下，使得无论弹射速度多大，小弹珠不是越不过挡板，就是落在水平地面上，则挡板的最小长度d 为多少？

【答案】44.1，(2) 6.2m ；(3) 0.8m 【解析】 【详解】

(1)弹珠恰好通过最高点A 时，由牛顿第二定律有：mg ＝m 2A

v r

从A 点到B 点由机械能守恒律有：mg×2R ＝

221122

B A mv mv - 在B 点时再由于牛顿第二定律有：F N ﹣mg ＝m 2

B

v R

联立以上几式可得：F N ＝5.5N ，v B 44.1m/s ，

(2)弹珠从B 至C 做匀速直线运动，从C 点滑出后做平抛运动，若恰能落在D 点 则水平方向：x ＝v′B t

竖直方向：y ＝H ＝212

gt 又：x ＝y 解得：v′B ＝4m/s

而v B ＞v′B ＝4m/s ，弹珠将落在水平地面上， 弹珠做平抛运动竖直方向：H ＝2

12

gt ，得t ＝0.8s 则水平方向：x ＝v B t ＝

42

1025

m 故小球落地点距c 点的距离：s ＝22x H + 解得：s ＝6.2m

(3)临界情况是小球擦着挡板落在D 点，经前面分析可知，此时在B 点的临界速度：v′B ＝4m/s

则从C 点至挡板最高点过程中水平方向：x'＝v′B t' 竖直方向：y′＝2H ﹣d ＝2

12

gt ' 又：x'＝

2

H 解得：d ＝0.8m

9．过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B 、C 、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B 、C 间距与C 、D 间距相等，半径1 2.0m R =、2 1.4m R =．一个质量为 1.0m =kg 的小球（视为质点），从轨道的左侧A 点以012.0m/s v =的初速度沿轨道向右运动，A 、B 间距1 6.0L =m ．小球与水平轨道间的动摩擦因数0.2μ=，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠，如果小球恰能通过第二圆形轨道．如果要使小球不能脱离轨道，试求在第三个圆形轨道的设计中，半径3R 应满足的条件．（重力加速度取210m/s g =，计算结果保留小数点后一位数字．）

【答案】300.4R m <≤或 31.027.9m R m ≤≤ 【解析】 【分析】

【详解】

设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v 2，由题意

22

2

v mg m R = ①

()22

122011222

mg L L mgR mv mv μ-+-=

- ② 由①②得 12.5L m = ③

要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

I ．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v 3，应满足

2

3

3

v mg m R = ④

()22

1330112222

mg L L mgR mv mv μ-+-=

- ⑤ 由④⑤得30.4R m = ⑥

II ．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3，根据动能定理

()2

13012202

mg L L mgR mv μ-+-=- ⑦

解得 3 1.0R m = ⑧

为了保证圆轨道不重叠，R 3最大值应满足

()()

2

2

22332R R L R R +=+- ⑨

解得：R 3=27.9m ⑩

综合I 、II ，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件

300.4R m <≤或 31.027.9m R m ≤≤ ⑾

【点睛】

本题为力学综合题，要注意正确选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义.

10．如图所示，水平传送带以5m/s 恒定速率顺时针转动，一质量m =0.5kg 的小物块轻轻放在传送带上的A 点，随传送带运动到B 点，小物块从C 点沿圆弧切线进入竖直光滑的半圆轨道（已知B 、C 在同一竖直线上），之后沿CD 轨道作圆周运动，离开D 点后水平抛出，已知圆弧半径R =0.9m ，轨道最低点为D ，D 点距水平面的高度h =0.8m ，（210m/s g =，忽略空气阻力），试求：

(1)小物块刚进入圆轨道时速度的最小值；

(2)若要让小物块从D 点水平抛出后能垂直碰击倾斜挡板底端E 点，挡板固定放在水平面上，已知挡板倾角θ=60°，传送带长度AB =1.5m ，求物块与传送带间的动摩擦因数μ。 【答案】(1)3m/s c v ≥；(2)μ=0.4。 【解析】 【详解】

(1)对小物块，在C 点能够做圆周运动，由牛顿运动定律可得2

c v mg m R

≤，

则c v gR 3/c v m s ≥

(2)小物块从D 点抛出后，做平抛运动，则212

h gt = 将小物块在E 点的速度进行分解可得tan D

v gt

θ= 对小物块，从C 到D 有：22

11222

=

-D C mgR mv mv ； 由于23/5/D v m s m s =<，小物块在传送带上一直加速，则从A 到B ：2

2AB v as =

其中的mg

a m

μ=

解得μ=0.4