初中几何中三角形中位线定理的应用

初中几何中三角形中位线定理的应用

三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；

（2）等于第三边的一半，这是数量关系。就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。

一、证明问题

1、证明角相等关系

例1、已知：如图在四边形ABCD 中

对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD

中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N

为EF 与BD ，AC 的交点。求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明

∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与

△ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而 得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。

证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH

分别为△ABD 与△DAC 的中位线。

∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理)

而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE

又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠

DMF ，∠HFE=∠ANM

∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON

例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ，

M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN

交AB 于E ，交CD 于F ，求证：

∠AEF=∠DFE

分析：欲证：∠AEF=∠DFE 。由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN=∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有

12GM AB ∥，12

GN CD ∥，由于AB=CD ，进而有GM=GN ，∠GMN=∠GNM 然后再转化∠EPN=∠Q ，从而证出结论。

证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ， 取BD 的中点G ，连结GM 、GN 。∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、

AD 的中点∴12GM AB ∥。同理可证：12

GN AB ∥，又∵AB=CD ，∴GM=GN ，∴∠GMN=∠GNM ，∵GM//AB ，GN=CD ，∴∠GMN=∠EPN ，∠GNM=∠Q ，∴∠EPN=∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF=∠DFE （等角的余角相等）

说明：添辅助线是证明几何题的难点。尤其像例2、要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结。

2、证明线段的倍分以及相等关系 例1、 如图，已知平行四边形ABCD 中，

BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点。 求证：（1）BM=14BD （2）ME=MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM=MO 。又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD ，即BM=41BD 。欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM=12AO ，MF=12

OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论。

证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，

∴BM=MO=12BO （平行线等分线段定理）

又∵四边形ABCD 是平行四边形

∴BO=OD=12BD ，AO=OC=1

2

AC ， ∴BM=1124BO BD =，即BM=14

BD （2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点． ∴1

2=ME AD ，12=MF OC ，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF

小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系。

例2、 巳知：如图，在△ABC 中AB ＝AC ，

延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 的中点，

求证：CD ＝2CE 分析：这是证明线段的倍半问题，证明一条

线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先

找出短线段的二倍，或者取长线段的一半，设法把线段的倍半问题转化为证明线段的相等问题，

这就是通常所说的“加倍”、“折半”的方法，下面我们就把问题转化成证明线段的相等。

方法：1、找出CD 的一半，然后证明CD 的一半和CE 相等， 此重取CD 中点F ，证CF ＝CE

证明：取CD 的中点F 连结BF ，

∴CD ＝2CF ，∵AB ＝BD ，∴BF 是 △ADC 的一条中位线，BF ∥AC ，

12=BF AC ，∴∠2=∠ACB ， ∵AB=AC, ∴∠1=∠ACB ，∴∠1=∠2，∴E 是AB 中 点，∴12=BE AC ，∵12=BF AC ，且AB=AC ，∴BE=BF ， 在△BCE 和△BCF 中，

?????BE=BF 1=2BC=BC

∠∠，∴△BCE ≌△BCF(SAS)，

∴CE=CF ，∵CD=CF ，∵CD=2CF ，

∴CD=2CE

方法：2、找出CE 的2倍，然后证明CE 的

2倍和CD 相等，因此，要延长CE 到使EF=CE

证CF=CD

证明：延长CE 至F 使EF=CE ，连结FB

∴CF=2CE , ∠1=∠2，∵E 为AB 中点，

∴AE=BE ，在△AEC 和△BEF 中

?????CE=EF 1=2AE=BE ∠∠，∴△AEC ≌△BEF(SAS)

，

∴AC=BF ，∠3=∠F ，∴AC ∥BF ，∴∠FBC+∠ACB=1800， ∵∠CBD+∠ABC=1800，又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠FBC=∠DBC ，∵AC=AB ， AB=BC ，AC=BF ，∴BF=BD 。

在△CBF △CBD 中

?????CB=CB FBC=DBC FB=DB

∠∠，∴△CBF ≌△CBD(SAS)，

∴CD=CF ，∴CF=2CE ，∴CD=2CE

小结：证明线段相等的方法很多，要学会根据条件来选择合适的方法。

3、证明线段平行关系

例1、 如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E 。 求证：DE ∥BC 分析：欲证ED//BC 我们可想到有关平行

的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC 。

证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB=∠BDG=900．

在△ABD 与△GBD 中

?????1=2BD=BD

BDG= BDA

∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD(ASA) ∴AD=DG ，同理可证，AE=GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点，

∴ED ∥BC

小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行。

二、比较大小

1、比较线段大小

例1、 如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行。求证：

MN ＜12(AB ＋CD) 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD)，我们从表 面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了。

证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP

∵N 为AD 中点，P 为BD 中点

∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD 。∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上。在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM+PN ＝12

(AB+CD)

小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等

知识，即可得出证明。

2、比较角的大小 例1、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB>AC ，那么∠BAD<∠CAD 。

分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB>AC, 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD<∠CAD

证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12 AB ，E 为AC 中点。∴∠1=∠3，∵AB>AC ，∴12AB>12

AC ，即在△AED 中，DE>AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD<∠CAD

小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理

这时就考虑到如何将这两个角放在一个三

角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就

可解决求证问题。 三、求值问题

例1， 如图所示，在梯形ABCD 中，

AD ∥BC ，AD+DC=8，且AD ：BC=3:7,E , F 分别是BD ，AC 的中点，求EF 的长。

分析：欲求EF 的长，关键是如何建构三角形，使EF 成为这个三角形的中位线，所以，本题的突破口在于添作辅助线DH ，这也是解题中常用的方法。

解：AD+BC=8，AD ：BC=3∶7 得 AD=2.4 BC=5.6

连结DF ，并延长交BC 于H ，在△ADF 与△CHF 中

AF=CF 1= 2DF=FH

?????∠∠，∴△ADF ≌△CHF(SAS)

∴CH=AD ，DF=FH ，∴EF=12BH ＝12(BC －AD)＝1.6 例2、 如图，正方形ABCD 两对角线相交于

点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，

若GE ＝24 求FC 的长。

分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，

就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC

1FC所以只要能求出PE的长即可，而PE的长可由∠3＝且有PE=

2

∠4求出，因为∠3为△APE的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF为∠BAC的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=

FC,这样问题就解决了。∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE=GE=1

2

解：过点E，作EP∥BC，交AF于点P，则P为AF中点，

∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF平分∠BAC，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP＝EG，∵PE是△AFC的中位线，∴PE＝1

FC=EG，即FC=2EG=2PE=2×24=48

2

小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题。

总之，三角形中位线定理的应用，这部分知识在初二几何第四章《四边形》中占有很重要的地位，它对《梯形中位线》、《平行等分线段定理》与第五章《相似形》的学习中起到辅助的作用，所以学好本课知识很有必要的，特别是如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点。要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理。一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标。

参考文献目录

1、《初中数学教与学》

2、《中小学数学》

3、《点拨初二几何》

4、初中版《学科教学》