数字信号处理第二章提高题

一、 信号的取样和内插

知识点：

● 连续时间信号离散后的频谱特点 ● Nyquist 取样定理的理解和掌握

● 理想内插的时域和频域信号特点，了解非理想内插的几个函数

1)考虑两个正弦波信号:

1()cos(6)g t t p =和2()cos(14)g t t p =;

以 Ω= 20πrad/sec 对此信号进行离散化；然后使用截止频率为 ΩT = 10πrad/sec 的理想低通 滤波器恢复得到模拟信号如下 g 1(t), g 2(t)；请给出对应的模拟信号。

解： g 1(t) 满足 Nyquist 抽样定理，无信号的混叠。 g 2(t)不满足 Nyquist 抽样定理，发生

信号的混叠。恢复的模拟信号如下:

11

22()cos(6)()cos(6)()cos(14)()cos(6)

g t t g t t g t t g t t p p p p =-->==-->=%%

2）设有模拟信号)(1t x a =300)2000

sin(t ?π，=)(2t x a 300)5000cos(t ?π，用抽样s f =3000样值/秒分别对其进行抽样，则)()(11s a nT x n x =，)()(22s a nT x n x =的周期分别为多少?

解：1N = 3 ，2N = 6 。

3）已知三角形脉冲的频谱见下图，大致画出三角形脉冲被冲激抽样后信号的频谱（抽样间隔为，令

分析：

频谱为

的信号被冲激信号抽样后，所得的抽样信号

的频谱

其中为抽样频率，为抽样时间间隔，,此题中，，则.

解：

如图所示，三角脉冲信号的频谱

第一零点值

抽样信号的频谱大致如下图所示：

4）若连续信号的频谱是带状的（），如题图所示。利用卷积定理说明当

时，最低抽样率只要等于就可以使抽样信号不产生频谱混叠。

解：

对连续信号进行冲激抽样，所得的抽样信号

（T为抽样间隔）

由卷积定理

（为抽样频率）

若的频谱是带状的，如题如所示，则当时，采用的频率对进行抽样，所得的如下图所示，可见频谱没有发生混叠。

5）内插或以整数因子N增采样的过程可以看成两种运算的级联。第一个系统（系统A）相当于在x[n]的每个序列值之间插入（N-1）个零序列值，因而

对于准确的带限内插，是一个理想的低通滤波器。

（1）确定系统A是否是线性的。

（2）确定系统A是否是时不变的。

（3）若如图所示，且N=3，画出。

解：

（1）取和，并设

则

而

所以

因此

可见系统是线性的。

（2）取

（3）则在N=4时，有

（4）取

则在N=4时，有

如下图所示，可见系统A是时变的。

（3）

上式的傅里叶变换为

如图所示

二、离散系统及其普遍关系

知识点：

● 掌握离散系统的线性，时变，稳定和因果的判断方法； ● 理解单位脉冲响应对应的稳定和因果的判断方法； ● 掌握线性时不变系统的离散卷积计算方法。

3）试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？

0()() n

m n y n x m n n =-=

>∑

解：线性、移变、非稳定、因果。

4) 试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？

()()x n y n e = 解：(b) _非线性、移不变、稳定、因果。

5）设某线性时不变系统，其单位抽样响应为

()()n h n a u n =

试讨论该系统的因果性和稳定性。

解：讨论因果性：0n <时，()0h n =，故此系统是因果系统。

讨论稳定性：

01

, 11(), 1

n

n n a a h n a a ∞

∞

=-∞

=?

?∞≥?

∑

∑

所以1

(1)[()()]y n y n x n a

-=

-时，系统稳定。

6）常系数线性差分方程为

()(1)()y n ay n x n --=

边界条件为(0)1y =，试说明它是否是线性时不变系统。

解： （1）令

11()(), (0)1x n n y δ==

则

1112111111(1)(0)(1)(2)(1)(2) ()(1)()n y ay x a y ay x a y n ay n x n a =+==+==-+=

同样利用

1

(1)[()()]

y n y n x n a -=-

可递推求得

1()0, 1y n n =≤

所以

1()()n y n a u n =

令

22()(1), (0)1x n n y δ=-=

则

22222221222(1)(0)(1)1(2)(1)(2) ()(1)()n n y ay x a y ay x a a y n ay n x n a a -=+=+=+=+=-+=+

同样可递推求得

2(), 1n y n a n =≤

所以

12()()(1)(1)n n n y n a u n a u n a u n -=+-+--

1()x n 和2()x n 为移一位关系，但1()y n 和2()y n 不是移一位关系，

因而系统不是时不变系统。

（2）前面已证明

11122()()()()

()(1)()()(1)n n n x n n y n a u n x n n y n a u n a u n δδ-=??→==-??→=+-

令

3123()()()()(1), (0)1x n x n x n n n y δδ=+=+-=

则得

33323331

333(1)(0)(1)1(2)(1)(2) ()(1)()n n y ay x a y ay x a a y n ay n x n a a -=+=+=+=+=-+=+

同样可递推求得

3()0, 1y n n =≤-

所以

13()()(1)n n y n a u n a u n -=+-

又

112()()2()(1)(1)n n n y n y n a u n a u n a u n -+=+-+--

所以

312()()()y n y n y n ≠+

因此，这个系统不是线性系统。

7）设

1

, 13()20, n n x n n

?≤≤?=???其他

1, 02

()0, n h n n ≤≤?=?

?

其他 试画出

()y n ，其中()()()y n x n h n =*。

解：

一、离散时间信号的傅里叶变换及性质

知识点：

● 连续采样信号傅里叶变换与离散时域信号傅里叶变换的关系

● 利用DTFT 的定义及性质求DTFT ● 离散时间信号截断后傅里叶变换 ● 离散时间信号的内插与抽取 考察点：DTFT 性质

1.设信号()x n 的傅里叶变换为()jw

X e ，利用傅里叶变换的定义或性质，求下列序列的傅里叶变换

（1）()(1)x n x n -- （2）*()x n （3）*()x n - （4）(2)x n （5）()nx n （6）2

()x n

解答：（1）()jw jw e X e （2）*()jw X e - （3）()jw X e （4）/2()jw X e

（5）()jw dX e j dw

-

（6）

()()*()j j w X e X e dw π

??π

--

?

考察点：DTFT 性质

2.如图所示序列()x n ，设其DTFT 为()jw X e ，试利用DTFT 的物理含义及性质，完成以下运算

（1）0()j X e （2）

()jw X e dw π

π

-

? （3）()j X e π

（4）确定并画出傅里叶变换为(())jw e R X e 的时间序列()e x n （5）

2|()|jw

X e

dw π

π-

? （6）2

()

jw dX e dw dw

π

π

-?

解答：

1

7

3

7

3

7

2

23

(1)()()6

(2)()(0)*24(3)()()(1)()2(4)

Re(())()

1

()(()())

2(5)()2()28()(6)

()()j n jw j j n

n n n F

jw e e jw

n jw F

jw X e x n X e dw x X e x

n e x n X e x n x n x n x n X e dw x n dX e jnx n dw

dX e π

π

π

ππ

π

ππ

ππ

-=--

∞

-=-∞

=--

=-=

====

=

-=←??→=--==←?→-∑?∑

∑∑?2

7

2

3

2()316n dw nx n dw π

π

ππ-

=-==∑?

（4）

考察点：离散时间信号抽取

3.若()jw

X e 为()x n 的傅里叶变换，()/()0

k n

x n k x n k ??=???为整数其他，求()jw k X e

解答：

()()()()jw

jwn

jwkr

jkw k k

n r X e x n e

x r e

X e ∞

∞

--=-∞

=-∞

=

=

=∑∑

考察点：离散时间信号的截断

4.将一个n =-∞∞ 的无限长信号截短，最简单的方法是用一个窗函数去乘该信号。若所用的窗函数为矩形窗，即

10,1,...,1

()()0N n N d n R n n =-?==?

?

为其他值 则()()()N N x n x n R n =实现了()x n 的截短

若()x n 的频谱310.4()0

0.4jw

w X e w πππ

?≤?=?<

分布； 解答：

由DTFT 定义得

1

1

/2/2/2/2/2/2(1)/2

()()1()

1()

sin(/2)

sin(/2)

N N jw

jwn

jwn

n n jwN jwN jwN jwN jw

jw jw jw jw N D e d n e

e e e e e e e e e wN e w ----==--------==--==--=∑∑ 由DTFT 性质有

()0.4()0.4()()*()

()()()()jw jw jw N j j w w j j w w X e X e D e D e X e d D e X e d π

??π

π

??π

?

?

--+--===??

频谱大致分布

考察点：DTFT 性质

5.若序列()x n 是因果序列，已知傅里叶变换的实部为()1cos jw R X e w =+，求序列()x n 及其傅里叶变换()jw

X e 。 解答：

*11

()1cos 122

11

()()(1)(1)

221

()(()())

2

()11

()()(1)

22

1

()12

jw jw jw

R e e jw jw

X e w e e x n n n n x n x n x n x n x n n n X e e δδδδδ--=+=++=+++-=+-=+-=+因为为实因果序列

6.假设序列1234(),(),(),()x n x n x n x n 分别如图所示，其中1()x n 的傅里叶变换为1()jw X e ，试用1()jw X e 表示其它三个序列的傅里叶变换。

解答：

2114211311*34311411*7411()()(4)()()()()(3)(4)

()()()()()(7)()()()jw jw jw j w jw jw j w jw j w jw jw jw j w

x n x n x n X e X e X e e x n x n x n X e X e e X e e x n x n x n X e X e X e e ------=+-=+=-++-=+=+-+=+

二、Z 反变换（留数法）

知识点：

● Z 变换及其收敛域的判断； ● 留数法求Z 反变换；

● Z 反变换求离散系统响应；

考察点：z 变换收敛域判断及用留数法求Z 反变换 7.已知11

32

()10.512X z z z --=

+--

（1）根据零极点分布，写出所有可能的收敛域； （2）若系统稳定，用留数法求逆z 变换；

（3）若系统稳定非因果，用留数法求逆z 变换。 解答：

（1）()X z 有两个极点：120.5,2z z ==，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：

0.5,0.52,

2z z z <<<>

（2）若系统稳定，则收敛域为0.52z <<

11157

()(0.5)(2)

01

()Re [(),0.5]3()2

0.5,0()Re [(),2]22(1)

1

()3()22(1)

2

n n

n n

n n n n z X z z z z z n x n s X z z n c x n s X z z u n x n u n ----=

--≥==?<=-=-?--=?-?--时， c 内有极点0.5

时，内有极点0，但0是n 阶极点

最后可得：

（3）若系统因果非稳定，则收敛域为2z >

110,0.5,21

()Re [(),0.5]Re [(),2]3()222

0,()01

()3()()22()

2

n n n n

n n n c x n s X z z s X z z n x n x n u n u n --≥=+=+<==+ 内有极点；

最后得到

考察点：留数法求逆z 变换

8. 设21

1

1(),,1(1)(1)

a X z a z a a az az ---=<<<--。试求()X z 的反变换。 解答：

根据收敛域是环状域，原序列为双边序列

221

11111111()(1)(1)()()

0()Re [(),]00,()Re [(),]0()0n n n

n n

n n

n n

a a X z z

z z az az a z a z a n x n s X z z a a n c a x n s X z z a a a n x n a

n -----------==-----≥==<=-=?≥?=?

时，内有极点，但0是n 阶极点

最后可得：

三、Z 变换与拉普拉斯、傅里叶变换的关系及离散系统的频域分析

知识点：

● Z 变换与拉氏变换、傅里叶变换的关系；

● Z 变换求LTI 系统的输出及稳态解；

● 离散系统的传输函数零极点分布，及系统幅频响应。

考察点：Z 变换求LTI 系统的输出

9.已知系统的差分方程为()(1)(),

1y n by n x n b =-+<。

输入信号为()(),1n

x n a u n a =≤。初始条件为(1)2y -=。求系统的输出响应。 解答：

1

1111

1

111

1

()[()]

1()()(1)()2()21

()11(1)(1)max(,)1()2()()()n n n n X z Z a u n az Y z bz Y z by X z b X z b Y z bz bz az bz z a b y n b u n a b u n a b

------+++==-=+-++=

=+---->=+

--带入初始条件可得

收敛域得到系统输出为 考察点：系统幅频响应

10.设一阶系统的差分方程为()(1)()01y n by n x n b =-+<<，试定性分析系统的幅频特性。

解答：

由系统的差分方程得到系统函数为

1

1()1z

H z bz z b

-=

=-- 系统零点为0z =，极点为z b =，零极点分布如图。

取单位圆上点A ，可以画出极点矢量和零点矢量，A 从0w =开始，沿单位圆逆时针转一圈，观察极点矢量长度和零点矢量长度的变化。可得

当0w =时，极点矢量长度最短，所以幅度值最大； 当w π=时，极点矢量长度最长，所以幅度值最小；

幅频特性关于w π=对称。可以定性画出系统的幅频特性如下图：

考察点：系统零极点分布，系统频率响应

11.一离散时间系统有一对共轭极点/410.8j p e π=，/420.8j p e π-=，且在原点有二阶重零点。 （1）写出该系统的传递函数()H z ，画出极零图； （2）试大致画出其幅频响应（0~2π）；

（3）若输入信号()()x n u n =，且系统初始条件(2)(1)1y y -=-=，求该系统的输出()y n 。 解答：

（1）系统的传递函数

22

*11()()()z H z z p z p ==

-- 零极点分布图 （2）幅频响应 （3）

1

11()(1)0.64(2)()

1()1()()()()(())?

y n n y n x n X z z Y z H z X z y n Z Y z ---+-+-==

-==== 系统差分方程为：