高等数学上册知识点
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高等数学上
册
第一章 函数与极限
（一） 函数
1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；
2、 反函数、复合函数、函数的运算；
3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲
函数、反双曲函数；
4、 函数的连续性与间断点；
函数
)(x f 在0x 连续)()(00
x f x f x
=→
第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点
5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值
定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 2） 函数极限
左极限：)(lim )(0
0x f x f x x -
→-= 右极限：)(lim )(0
0x f x f x
x +→+
= 2、 极限存在准则
1） 夹逼准则：
1）
)(0n n z x y n n n ≥≤≤
2）a z y n n n n ==→∞
→∞
lim lim
a x n n =∞
→lim
2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量
1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小
Th1 )(~ααββα
o +=?;
Th2 αβαβαβββαα'
'
=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；
3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：
a) 1sin lim 0=→x
x x b)e x x x
x x
x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1
0 5） 无穷小代换：（0→x ）
a) x e x ~1- （
a x a x
ln ~1-） b) x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~)1(log +）
第二章 导数与微分
（一） 导数
1、 定义：0
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='→
左导数：0
00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-
→- 右导数：0
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='+
→+
函数
)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='?
2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
3、 可导与连续的关系：
4、 求导的方法
1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；
4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导； 7） 对数求导法。 5、 高阶导数
1） 定义：??
?
??=dx dy dx d dx y d 22
2）
Leibniz 公式：()
∑=-=n
k k n k k n n v u C uv 0)
()()
( （二） 微分
1） 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ?+?=-?+=?，其中A 与x ?无
关。
2） 可微与可导的关系：可微?可导，且dx x f x x f dy )()(00'=?'=
第三章 微分中值定理与导数的应用
（一） 中值定理
1、 Rolle 定理：若函数
)(x f 满足：
1）
],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）
)()(b f a f =；
则0)(),,(='∈?ξξf b a 使.
2、 Lagrange 中值定理：若函数
)(x f 满足：
1）
],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；
则))(()()(),,(a b f a f b f
b a -'=-∈?ξξ使.
3、 Cauchy 中值定理：若函数
)(),(x F x f 满足：
1）
],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）
),(,0)(b a x x F ∈≠'
则)
()
()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈?使
（二） 洛必达法则 （三） T aylor 公式
n 阶Taylor 公式：
ξ在0x 与x 之间.
当00
=x 时，成为n 阶麦克劳林公式：
ξ在0与x 之间.
常见函数的麦克劳林公式：
1）1
2)!
1(!1!211+++++++=n n x x n e x n x x e ξ
ξ
在0与
x 之间，+∞<<∞-x ；
2）
12121
753)!
12(2)12(sin )!12()1(!7!5!3sin +--+??????
+++--++-+-=m m m x m m m x x x x x x πξ
ξ
在0与
x 之间，+∞<<∞-x ；
3）m m m x m m m x x x x x 2221
642)!
2(22cos )!22()1(!6!4!21cos ??????
?++--++-+-=--πξ
ξ
在0与
x 之间，+∞<<∞-x ；
4）1
1
1
432)1)(1()1()1(432)1ln(++-++-+-++-+-
=+n n n n n n x n x x x x x x ξ
ξ
在0与
x 之间，11<<-x
5）
n
x n n x x x x !
)1()1(!3)2)(1(!2)1(1)1(32+--++--+-++=+αααααααααα
11
)!
1()1)(()1(+--++--+
n n x n n αξααα ，
ξ
在0与
x 之间，11<<-x .
（四） 单调性及极值
1、 单调性判别法：
],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若
0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减
少。
2、 极值及其判定定理：
a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：
)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当
0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；
②若当0x x
<时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极
小值点；③若在0x 的两侧
)(x f '不变号，则0x 不是极值点。
c) 第二充分条件：
)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，
0)(0≠''x f ，则
①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点。
3、 凹凸性及其判断，拐点
1）)(x f 在区间I 上连续，若2
)
()()2(
,,212121x f x f x x f I x x +<+∈?，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若
2
)
()()2(
,,212121x f x f x x f I x x +>+∈?，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的。
2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈?x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈?x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的。
3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线
)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点
))(,(00x f x 为曲线的拐点。
（五） 不等式证明
1、 利用微分中值定理；
2、 利用函数单调性；
3、 利用极值（最值）。 （六） 方程根的讨论
1、 连续函数的介值定理；
2、 Rolle 定理；
3、 函数的单调性；
4、 极值、最值；
5、 凹凸性。 （七） 渐近线
1、 铅直渐近线：∞=→)(lim x f a
x ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、 水平渐近线：b x f x =∞
→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线； 3、 斜渐近线：k x
x f x =∞→)
(lim b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜
渐近线。
（八） 图形描绘
步骤 :
1. 确定函数)(x f y =的定义域，并考察其对称性及周期性；
2. 求)(),(x f x f '''并求出)(x f '及)(x f ''为零和不存在的点；
3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点;
4. 求渐近线;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
第四章 不定积分
（一） 概念和性质
1、 原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)
(x F 称为
)(x f 的一个原函数。
2、 不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)
(x f 在区间I 上的不定积分。
3、 基本积分表（P188，13个公式）；
4、 性质（线性性）。 （二） 换元积分法
1、 第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ???=??='
2、 第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=?????
（三） 分部积分法：
??-=vdu uv udv
（四） 有理函数积分
1、“拆”；
2、变量代换（三角代换、倒代换等）。 第五章 定积分
（一） 概念与性质：
1、 定义：
∑?
=→?=n
i i i b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ
2、 性质：（7条）
性质7 （积分中值定理） 函数
)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈?ξ，
使
))(()(a b f dx x f b
a
-=?
ξ （平均值：
a
b dx x f f b
a
-=
?)()(ξ）
（二） 微积分基本公式（N —L 公式） 1、 变上限积分：设?
=
Φx
a
dt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'
推广：)()]([)()]([)()
()(x x f x x f dt t f dx
d x x ααβββα'-'=? 2、 N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则
)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
（三） 换元法和分部积分 1、 换元法：
??
'=β
α
??t t t f dx x f b
a
d )()]([)(
2、 分部积分法：[]??
-=b
a
b
a
b a vdu uv udv （四） 反常积分 1、 无穷积分： 2、 瑕积分：
??+→=b
t
a
t b
a dx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）
??
-→=t
a
b
t b
a
dx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）
两个重要的反常积分：
1) ?
??
??>-≤∞+=-∞+?1 ,1
1
,d 1p p a p x x p a p 2) ?
????≥∞+<--=-=--??1
,1 ,1)()(d )(d 1q q q a b x b x
a x x q
b a q b a q
第六章 定积分的应用
（一） 平面图形的面积
1、 直角坐标：?-=
b
a
dx x f x f
A )]()([12
2、 极坐标：?-=βα
θθ?θ?d A )]()([212
122 （二） 体积
1、 旋转体体积：
a)曲边梯形
x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的
体积：?=b a
x dx x f V )(2π
b)曲边梯形
x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的
体积：?=b
a
y
dx x xf V )(2π （柱壳法）
2、 平行截面面积已知的立体：?
=b
a
dx x A V )(
（三） 弧长
1、 直角坐标：[]?
'+=
b
a
dx x f s 2
)(1
2、 参数方程：[][]?'+'=β
α
φ?dt t t s 2
2)()( 3、 极坐标：[][]?
'+=β
α
θθρθρd s 22)()(
第七章 微分方程
（一） 概念
1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程。
阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
2、 解：使微分方程成为恒等式的函数。
通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同。
特解：确定了通解中的任意常数后得到的解。
（二） 变量可分离的方程
dx x f dy y g )()(=，两边积分??=dx x f dy y g )()(
（三） 齐次型方程
)(x y dx dy ?=，设x y u =，则dx du
x u dx dy +=； 或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dy
dv y v dy dx += （四） 一阶线性微分方程
用常数变易法或用公式：
???
???+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx
x P )()()(
（五） 可降阶的高阶微分方程
1、)()(x f y n =，两边积分n 次；
2、
),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；
3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dy dp
p y =''
（六） 线性微分方程解的结构
1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；
2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通
解；
3、*
2
211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*
y 非齐次方程的特解。
（七） 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程：
0=+'+''qy y p y
特征方程：
02
=++q pr r ，特征根： 21,r r 特征根
通 解
实根 21
r r ≠
（八） 常系数非齐次线性微分方程
1、
)()(x P e x f m x λ=
设特解)(*x Q e x y m x k λ=，其中
???????=是重根
是一个单根不是特征根
, λ, λ, λk 210 2、
()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=
设特解[]x
x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()
2()1(*+=，
其中 } ,max{n l m =，?????++=是特征根
不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0
高等数学上册知识点
高等数学上册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限
εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 δδε-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷 大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无 穷小 Th1 )(~ααββαo +=?;
高等数学大一上学期知识要点
高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论
结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'',
且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。
高等数学知识点总结 (1)
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
六年级数学上册重点知识归纳
六年级数学上册重点知识归纳 第一单元：位置 1、确定第几列、第几行的一般规则：竖排叫做列，横排叫做行；确定第几列一般是从左往右数，确定第几行一般是从前往后数。 2、用数对表示位置时，一般先表示第几列，再表示第几行。如数对（3，2）中的“3”表示第三列，“2”表示第二行。 3、物体平移前后顶点的位置变化： （1）图形向左或向右平移，改变了顶点所在的列，没有改变顶点所在的行，数对中的第一个数变了，第二个数没有变； （2）图形向上或下平移，改变了顶点所在的行，没有改变顶点所在的列，数对中的第一个数没有变，第二个数变了。 第二单元：分数乘法 1、分数乘整数的计算方法：分母不变，分子与整数相乘的积作分子。 2、分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母。注意：能约分的可以先约分再乘。 注意：一个大于0的数乘大于1的数，积大于这个数。一个大于0的数乘小于1的数，积小于这个数。 3、分数混合运算的顺序和整数的混合运算顺序相同。 （1）在没有括号的算式里，同级运算从左往右进行计算； （2）在没有括号的算式里，既有乘除又有加减，要先算乘除后算加减； （3）有括号的要先算小括号里面的，后算中括号里面的，最后算括号外面的数。 4、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用。 （1）乘法交换律：a×b=b ×a （2）乘法结合律：（a ×b）×c=a ×（b ×c） （3）乘法分配律：（a+b）×c=a ×c+b ×c 5、解决求一个数的几分之几是多少的问题，用乘法计算。 6、乘积是1的两个数互为倒数。求分数的倒数是交换分子、分母的位置；求整数的倒数是把整数看作分子是1的分数，再交换分子和分母和位置。注意：1的倒数是1，0没有倒数。 7、真分数的倒数一定都大于1；假分数的倒数一定都小于或等于1。 第三单元：分数除法 1、分数除法的意义与整数除法的意义相同，是已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 2、分数除法的计算方法： ①分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 ②一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 ③甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 3、一个数除以小于1（不等于0）的数，商大于被除数； 一个数除以1，商等于被除数； 一个数除以大于1的数，商小于被除数。
大学全册高等数学知识点(全)
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
(完整版)高数_大一_上学期知识要点
总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;
高数知识点总结
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
(完整版)高数知识点总结(上册)
高数知识点总结（上册） 函数： 绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a -b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法： （1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数： 定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单 值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小） ， 总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的 极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： （1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)( 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式 高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导； （2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在， 当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K 第一讲: 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *010 2()(), ()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 0()(),x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞ ; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ±→) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()m a x (,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x + →=, l i m 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 六年级上册数学知识点 第一单元 分数乘法 （一）分数乘法意义： 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。 注：“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 例如：5 3×7表示: 求7个5 3的和是多少？ 或表示：5 3的7倍是多少？ 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 注：“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） 例如：5 3×6 1表示: 求5 3的6 1是多少？ 9 × 61表示: 求9的61 是多少？ A × 61表示: 求a 的6 1 是多少？ （二）分数乘法计算法则： 1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分） （2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘， 计算结果必须是最简分数） 2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） 注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 （2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
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