人教版高中数学必修42.4.2 平面向量数量积的坐标表示、夹角
1．a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a·b 等于( )
A ．23
B ．57
C ．63
D ．83
解析：选D.∵|a |＝(－4)2＋32＝5，a·b ＝－4×5＋3×6＝－2，∴3|a |2－4a·b ＝3×52－4×(－2)＝83.故选D.
2．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )
A.13
B.135
C.655
D.65
解析：选C.|a |cos θ＝
a ·
b |b |＝－8＋2165＝655. 3．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )
A ．－17
B.17 C ．－16 D.16
解析：选A.向量λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)，因为两个向量垂直，故有(－3λ
－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得：λ＝－17
，故选A. 4．(2012·高考重庆卷)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10
解析：选B.由a ⊥c 得2x ＋1×(－4)＝0，所以x ＝2；由b ∥c 得1×(－4)＝2y ，所以y ＝－2.从而a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)
∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝ 32＋(－1)2＝10.
5．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( )
A ．4 2
B ．2 5
C ．8
D ．8 2
解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝ 82＋(－8)2＝8 2.
6．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1，－1)，则cos θ＝________.
解析：法一：b ＝12a ＋12
(－1，－1)＝(1,1)，则a ·b ＝6. 又|a |＝32，|b |＝2，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝66
＝1. 法二：由已知得： b ＝(1,1)．
又a ＝(3,3)，∴a ∥b ，且同向．
故θ＝0°，cos θ＝1.
答案：1
7．已知a ＝(25，15)，b ＝(15，－25
)，则向量3a ＋b 与－2(3a －b )的夹角为________． 解析：设夹角为 θ，∵|a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝0，
∴(3a ＋b )·[－2(3a －b )]＝－4，
又|3a ＋b |＝2，|－2(3a －b )|＝4，∴θ＝2π3
. 答案：2π3
8．(2012·高考安徽卷)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.
解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．
∵(a ＋c )⊥b ，
∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－12
. ∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2.
答案： 2
9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .
(1)若a ⊥b ，求x 的值；
(2)若a ∥b ，求|a －b |.
解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.
(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0.
解得x ＝0或x ＝－2.
当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3, 0)，
|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝| (－2,0)|＝2.
当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，
|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2 5.
10．设平面三点A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，
(1)试求向量2AB →＋AC →的模；
(2)若向量AB →与AC →的夹角为θ，求cos θ.
解：(1)∵A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)， ∴AB →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)，
∴2AB →＋AC →＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)， ∴|2AB →＋AC →|＝ (－1)2＋72＝5 2.
(2)由(1)知AB →＝(－1,1)，AC →＝(1,5)，
∴cos θ＝(－1，1)·(1，5)
(－1)2＋12×12＋52
＝21313.