武汉二中高一年级下学期期末考试数学试卷(理科)及答案

武汉二中高一年级下学期期末考试

数学试卷(理科)

一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题

目要求的.

1. 已知α是第四象限角, 5

tan 12

α=-

, 则sin α=( ) A. 15 B.15- C. 513 D.513

-

2. 如果直线12,l l 的斜率分别为二次方程2

410x x -+=的两个根, 那么1l 与2l 的夹角为( )

A ．3

π

B ．4π

C ．6π

D ．8π 3. ?

-?-10cos 220cos 32

=( ) A.

1

2

B.

2

C. 2

D.

4. 已知非负实数x ,y 满足条件??

?≤+≤+6

25

y x y x , 则y x z 86+=的最大值是( )

A. 50

B. 40

C. 38

D.18

5. 把函数sin ()y x x =∈R 图象上所有的点向左平行移动3

π

个单位长度, 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍(纵坐标不变), 得到的图象所表示的函数是( ) A ．sin 23y x x π?

?=-∈ ???R ，

B ．sin 26x y x π??

=+∈ ???R ，

C ．sin 23y x x π?

?=+∈ ??

?R ，

D ．sin 23y x x 2π?

?=+∈ ??

?R ，

6. 已知)3,1(A , )3,3(--B , 直线l 过原点O 且与线段AB 有公共点, 则直线l 的斜率的取值范围是 ( ) A.????

??3,33 B.(]??

?

????∞-3,330,

C.???

??3,23 D.[)+∞????

?

?∞-,333,

7. 设a 、b 、c 是互不相等的正数, 则下列等式中不恒成立．．．．的是 ( )

A ．||||||c b c a b a -+-≤-

B ．a

a a a 1

12

2+

≥+

C ．21

||≥-+

-b

a b a D ．a a a a -+≤+-+213

8. 函数c bx ax x f ++=2

)(的图像如图所示, M=b a c b a +++-2, N=b a c b a -+++2, 则 ( ) A.M>N B.M=N C.M

D.M,N 的大小关系不确定

9.已知函数)(x f 对任意实数x 均有)()(),()(x f x f x f x f =--=-π成立, 当??

?

???∈2,

0πx 时, ()cos 1f x x =-.则当??

?

???∈ππ2,23x 时, 函数)(x f 的表达式为( )

A. cos 1x +

B. cos 1x -

C. cos 1x --

D. cos 1x -+

10. 设M 是△ABC 内一点, 且32=?, ∠BAC=30°, 定义),,()(p n m M f =, 其中p n m ,,分别是△MBC, △MAC, △MAB 的面积.若),,21

()(y x M f =, 则

y

x 4

1+的最小值是 ( ) A.18 B.16 C.9 D.8 二、填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分.

11. 已知直线012:,01:21=++=-+y mx l my x l ,若12//l l , 则=m 。 12.已知关于x 的不等式2

20ax bx ++>的解集是11,23??

-

???

, 则a b +的值是 ____________ 13. 已知关于x 的不等式m x x <-++11的解集不是空集, 则m 的取值范围是 ____________ 14. 若不共线的平面向量,,a b c 两两所成的角相等, 且满足1,2,4===a b c , 则

=a +b+c _____________

15. △ABC 的三个内角A,B,C 的对边长分别为a ,b,c, R 是△ABC 的外接圆半径, 有下列四个条件：

ab c b a c b a 3))()(1(=-+++ C B A s i n c o s 2s i n )2(=

B a c

C a b cos ,cos )3(== B b a C A R sin )2()sin (sin 2)4(22-=-

有两个结论：甲：△ABC 是等边三角形. 乙：△ABC 是等腰直角三角形.

请你选取给定的四个条件中的两个为条件, 两个结论中的一个为结论, 写出一个你认为正确的命题_____________

三、解答题：本大题共6小题, 共75分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)解不等式1

3

21

132-->-x x

17. (本小题满分12分)已知向量=a=)sin 2,cos 2(αα,=b =)sin 2,cos 2(ββ,其中O 为坐标原点, 且

5.6

2

6

π

π

παβ≤<

<≤

(1)若a ⊥ (b -a ), 求αβ-的值；

(2)当a · (b -a )取最小值时, 求△OAB 的面积S.

18. (本小题满分12分)已知ABC ?的顶点A 为(0, 5), AB 边上的中线所在直线方程为027114=-+y x ,

B ∠的平分线所在直线方程为052=+-y x , 求B

C 边所在直线的方程.

19. (本小题满分12分)已知函数)(x f =3sin x ωx ωcos ?－cos 2

x ω+

2

3

(R x R ∈∈,ω)的最小正周期为π, 且其图象关于直线6

π=

x 对称．(1)求)(x f 的解析式并求出)(x f 的单调增区间；(2)若函数

)(1x f y -=的图象与直线a y =在]2

,0[π

上只有一个交点, 求实数a 的取值范围．

20. (本小题满分13分)某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔, 如图所示, 塔高BC=40(米), 塔所

在的山高OB=290(米), OA=210(米), 图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上, l 与水平地面的夹角为α ,1

tan 3

α=

.试问此人距水平地面多高时, 观看塔的视角∠BPC 最大

(不计此人的身高).

21. (本小题满分14分)设2

()32f x ax bx c =++, 0a b c ++=且, , 求证： (1) 若0)1()0(>?f f ，求证：-2＜

a

b

＜-1； (2)在（1）的条件下，证明函数()f x 的图像与x 轴总有两个不同的公共点A,B ，并求AB 的取值范围.

(3)若2

,()2()a b c g x ax a b x b >>=+++，求证：x ≤()()f x g x >.

武汉二中高一年级下学期期末考试

数学 (理科)参考答案

11. 2

2±

12. －14

13. 2>m 14. 7

15.⑴⑵→甲 或 ⑵⑷→乙 或 ⑶⑷→乙 16. 原不等式可变形为

1

21

03123x x -->-- 通分整理得：5(33)

0(31)(36)

x x

x

->--……………………………………………………4分 计算得36x >或133x <<……………………………………………………………6分 即31log 2x >+或01x <<

∴原不等式解集为3{|011log 2}x x x <<>+或…………………………………12分 17. (1)由()a b a ⊥-得()0a b a ?-= 即2()0a b a ?-=

又||2,||2,,a b a b βα==<>=-

∴c o s ()20βα--= c o s (βα-

56

26π

π

αβπ≤<

<≤ 4

π

βα∴-=

……………………………………………………………………………6分

(2)由(1)知()22cos()2a b a βα?-=--

5626

ππ

αβπ≤<

<≤

203βαπ∴<-≤ 当2

3βαπ-=时， ()a b a ?-取最小值

此时22sin 3OAB S π=?=

…………………………………………………12分 18. 设00(,)B x y , 由AB 中点在411270x y +-=上, 可得

00

541127022

x y +?

+?-= 联立00250x y -+=

解得(3,1)B -……………………………………………………………………………5分 设A 点关于250x y -+=的对称点为'(',')A x y ,

则有'5

2'

''52502

2y x x y -?=-???+?-?+=??

解得'(2,1)A …………………………………………………………………………10分

∴

BC 边所在的直线方程为y=1…………………………………………………………12分

19. (1)2

3

)2cos 1(212sin 2323cos cos sin 3)(2++-=+

-?=

x x x x x x f ωωωωω 1)6

2sin(12cos 212sin 23+-=+-=π

ωωωx x x …………2分

由π的周期为)(x f ，122±=?=∴

ωπωπ，1)6

2sin()(+-±=∴π

x x f 当1=ω时， 1)62sin()(+-=∴π

x x f ，2

3

16sin )6(=+=ππf 不是最大值也不是最小值，其图象不关于6

π=

x 对称，舍去；

当1-=ω时， 1)62sin()(++

-=∴π

x x f ，012

sin )6(=+-=π

πf 是最小值，其图象关于

6

π=

x 对称，

故1)6

2sin()(++-=∴π

x x f 为所要求的解析式. ………………………………6分

单调增区间是[6

ππ+

k ，3

2π

π+

k ] Z k ∈…………………………………8分 (2)由(1)知 )6

2s i n ()(1π

+=-=x x f y

在同一坐标系内作出a y x y =+=和)6

2sin(π

的图象，

由图可知，直线时，或在121,21=??

?

???-

∈=a a a y 两曲线只有一个交点， ∴121,21=??

?

???-∈a a 或.…………………………………………………………………12分

20. 如图建立直角坐标系, 则(210,0),(0,290),(0,330)A B C

直线l 的方程为1(210)3y x =-即1703

y x =- 设(,)P x y 为直线l 上一点. (y>0)

则330PC y k x -=

290

PB y k x

-= 2

290330

tan (290)(330)11PB PC

PB PC

y y k k x x BPC y y k k x ----∴∠=

=--+?+

…………………………………4分 22404011(290)(330)(360)(400)

33

x x

x y y x x x =

=

+--+-- 2360360

93604001037609360400103760

x x x x x

=

=

??-?+??+-?……………8分

3

41

=

当且仅当9360400

10x x

??=即360x =时取等号………………………………10分

此时1

70503

y x =-=

∴

当此人距水平地面50米时, 观看塔的视角最大……………………………………13分

21. 1)若0,a =则b c =-

2(0)(1)(32)0f f c a b c c ?=?++=-≤与已知矛盾

0a ∴≠…………………………………………………………………………………2分

由(0)(1)0f f ?>, 得(32)0c a b c ++>

由条件0a b c ++=消去c, 得()(2)0a b a b ++<

20a > (1)(2)0b b

a a

∴+

+< 21b

a

∴-<

<-…………………………………………………………………………4分 (2)方程0232

=++c bx ax 的判别式24(3)b ac =-

由条件0a b c ++=消去b, 得222234()4[()]024

c a c ac a c =+-=-+>

∴

方程()0f x =有实根

即函数()f x 的图象与x 轴总有两个不同的交点A 、B. 设12(,0),(,0)A x B x 由条件知1223b x x a +=-

1233c a b x x a a

+==- 22

121212()()4x x x x x x ∴-=+-＝22244431(1)()93923

b b b a a a ?++=?++

21b

a -<

<- 21214()39x x ∴≤-<

122||3x x ≤-<2||3AB ≤<………………………………………………9分 (3)设22()()()()(2)2h x f x g x ax b a x c b ax a c x a c =-=+-+-=-+++

,0a b c a b c >>++=

0a ∴>且a a c c >--> 即1

22

c a -<

<- 又()h x 的对称轴为21022a c c

x a a

+=

=+>

x ∴≤()3)2(2)0h x a a c a c a c ≥+++=+>

即x ≤时，()()f x g x >恒成立…………………………………………………14分

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