复旦20002006自主招生数学试题

复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）

一、填空题（每小题10分，共60分）

1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．2

2

2sin sin ()sin ()33

π

π

ααα++

+-＝______________．

3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞

++-+++＝_________________．

4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，

和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．

5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．

6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分）

1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．

2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．

3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于1

2arcsin 2

，

求该棱锥的体积．(1

cos 12

4

π

=

)

4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．求证：这四个点组成一个矩形．

5

．设(1n n x y

=+x n,y n为整数，求n→∞时，n

n

x

y

的极限．

6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．

复旦大学2001年选拔生考试数学试题

一、填空(每小题5分，共45分)

1．sin x +sin y =0，则cos 2x -sin 2y =___________________．

2．平面π1, π2成α的二面角，平面π1中的椭圆在平面π2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________．

3．(x 2+2x +2)(y 2-2y +2)＝1，则x +y =________________________．

4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____． 5．2002=83a 3+82a 2+8a 1+a 0，0≤a 0,a 1,a 2,a 3≤7正整数，则a 0=______________． 6．15

(x

的常数项为_________________．

7．n ＝__________________．

8．空间两平面α,β，是否一定存在一个平面均与平面α,β垂直？___________．

9．在△ABC 中，cos(2A -C )＝cos(2C -B )，则此三角形的形状是________________． 二、解答题(共87分)

1．求解：cos3x tan5x ＝sin7x ．

2．数列3，3-lg2，…,3-(n -1)lg2．问当n 为几时，前n 项的和最大？

3．求证：x ∈R 时，|x -1|≤4|x 3-1|．

4．a 为何值时，方程

22lg lg()

log (1)lg 2lg 2

x a x a -+=-有解？只有一解？

5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？

6．x 3-2y 3＝1的所有整数解(x ,y )，试证明：1

33

4

|2|||x y y -<．

2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4

一、填空题（本大题共40分，每题4分）

1．三次多项式f (x )满足f (3)＝2f (1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________． 2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S 的最大值是_______________． 3．已知,x y R +∈，x +2y ＝1，则

22

x y

+的最小值是______________． 4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________．

5．已知f (x )=ax 7+bx 5+x 2+2x -1，f (2)=-8，则f (-2)=_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分． 8．有n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．

9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________．

10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共60分，每题10分）

11．数列{a n }的a 1=1，a 2=3，3a n +2=2a n +1+a n ，求a n 和lim n n a →∞

．

12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．

13．已知x 1000+x 999(x +1)+…+(x +1)1000，求x 50的系数．

14．化简：(1) 11!22!!n n ?+?++?； (2) 12

12k n

n n k C C C +++++

+．

15．求证：342

231

a a

a a +++为最简分式．

16．证明不等式()!()2

3

n

n

n n n >>，当自然数n ≥6时成立．

复旦大学2003年暨保送生考试数学试题

一、填空题(本大题共80分，每题8分)

1．函数1()2y f t x x =-，当x =1时，2

52

t y t =-+，则f (x )＝________________． 2．方程x 2+(a -2)x +a +1=0的两根x 1,x 2在圆x 2+y 2=4上，则a =_______________．

3．划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法． 4．A ＝{x |log 2(x 2-4x -4)>0}，B ＝{x ||x +1|+|x -3|≥6}，则A B ?=_______________． 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a k =k ·p k (1-p ),(p ≠1)，则S k ＝______________． 6．若(x -1)2+(y -1)2=1，则

1

3

y x --的范围是___________________． 7．边长为4的正方形ABCD 沿BD 折成60o 二面角，则BC 中点与A 的距离是_________． 8．已知|z 1|=2，|z 2|=3，|z 1+z 2|=4，则

1

2

z z =______________． 9．解方程3

log 2a x

x x

a

=，x ＝________________． 10．(a >0)，lim 2n

n n

n a a →∞+＝______________．

二、解答题(本大题共120分)

11．已知|z |＝1，求|z 2+z +4|的最小值．

12．a 1,a 2,a 3,…,a n 是各不相同的自然数，a ≥2，求证：123

1111()()()(

)2a a a a

n

a a a a ++++<．

13．已知sin cos αβ+=cos sin αβ+=tan cot αβ?的值．

14．一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数2

1x

y x

=

+(x >0)的图象上， 求此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值．

15．一圆锥的底面半径为12，高为16，球O 1内切于圆锥，球O 2内切于圆锥侧面，与球O 1外切，…，

以次类推，

(1) 求所有这些球的半径r n 的通项公式；

(2) 所有这些球的体积分别为V 1,V 2,…,V n ,…．求12lim()n n V V V →∞

++

+．

16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，

n a =，求S 2003．

17．定义闭集合S ，若,a b S ∈，则a b S +∈，a b S -∈．(1) 举一例，真包含于R 的无限闭集

合．(2) 求证对任意两个闭集合S 1,S 2?R ，存在c R ∈，但12c S S ??．

复旦大学2004年保送生考试数学试题（150分钟）2003.12.21

一、填空题（每题8分，共80分）

1．)1)(12(124248++++=+ax x x x x ，则=a _________． 2．已知74535=-++x x ，则x 的范围是___________．

3．椭圆

19

162

2=+y x ，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________． 4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____种取法． 5．已知等比数列{}n a 中31=a ，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______． 6．0)1(2

<++-a x a x 的所有整数解之和为27，则实数a 的取值范围是___________．

7．已知194)4(22=+-y x ，则9

42

2y x +的最大值为____________． 8．设21,x x 是方程05

3

cos 53sin 2

=+-ππx x 的两解，则21arctgx arctgx +=__________． 9．z z =3

的非零解是___________． 10．x x y +-=112

的值域是____________．

二、解答题（每题15分，共120分） 1．解方程：1)3(log 5=--x x ．

2．已知1312)sin(=+βα，54)sin(-=-βα，且2

,0,0π

βαβα<+>>，求α2tg ．

3．已知过两抛物线C 1：2)1(1-=+y x ，C 2：2(1)41y x a -=--+的交点的各自的切线互相垂直，求a ．

4．若存在M ，使任意D t ∈（D 为函数)(x f 的定义域），都有M x f ≤)(，则称函数)(x f 有界．问函数x x x f 1sin 1)(=在)2

1

,0(∈x 上是否有界？

5．求证：313

12

113

3

3

<+

++

+n

．

6．已知E 为棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 的中点，求点B 到平面A 1EC 的距离．

7．比较25log 24与26log 25的大小并说明理由．

8．已知数列{}n a 、{}n b 满足n n n b a a 21--=+，且n n n b a b 661+=+，又21=a ，41=b ， 求 (1) n n b a ,； (2) n

n

b a lim

．

简单解答： 一、填空题：1.2- 2.)8.0,6.0(- 3.20 4.3

1

二、解答题： 5．证明1：

1

11))1(1)1(1()

1()1(113

+-+?

+-

-=+-<

m m m

m m m m m m m

=（

2

1

11)1

1

1

1-++?

?+-

-m m m m m

而

m m m m m =-++<

-++2

1

121

1

1

11

113

+-

-<

m m m

原式<1+11114121311

1+--++-+-

n n =31

11222<+--+n n

证明2：)1)(1()1(2--+->+=n n n n n n n

1

1)1(1121---=

-+-

n n n n n n

n 11

1)

1(121--=

---<

原式〈313)1113121211(21<-=--++-+-

+n

n n

2005年复旦大学考试试卷

一、填空题：

1．A =(

){

}

22|10x log x x ∈-->R ，B ={}

1|221x x x -∈->R ，A C

B =______ (

C B 表示B 在

R 上的补集)． 2．数x 满足11-=+

x x ，求_______1

300300=+x

x ． 3．求ρ

=5cos θθ-的圆心坐标，[)πθ2,0∈

4．抛物线2222a ax x y ++=与直线1+=x y 交于A 和B 两点，AB 最大时, a =______． 5

．lim

n →∞

=________．

6．求1+3+6+…＋

______2

)

1(=+n n ． 7．一个班20个学生，有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到1个女生的概率为________． 8．求1000

3

在十进制中最后4位_____________________．

9．定义在R 上的函数f (x )（x ≠1)满足 ()x x x f x f -=??

?

??-++4015120022，则f (2004)=______．

10．求x

x

y cos 2sin 1++=

的最大值是__________________．

二、解答题

1．在四分之一个椭圆122

22=+b

y a x （x >o, y >0）上取一点P ，使过P 点椭圆的切线与坐标轴所围

成的三角形的面积最小．

2．在ΔABC 中，tan A :tan B :tan C =1:2:3，求

AB

AC

． 3．在正方体A B C D —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 点分别为AD 、AA 1、A 1B 1中点， 求：(1) B 到面EFG 距离；(2) 二面角G —EF —D 1平面角θ． 4

3=的实数根． 5．已知a =+ααcos sin (

)

20≤

≤a ，求ααn n cos sin +关于a 的表达式．

6．直线l 与双曲线xy =1交于P 和Q 两点，直线l 与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，求证：BQ AP =．

7．定义在R 上的函数()244+=x x x f ，??? ??-++???

??+

??

? ??=n n f n f n f S n 121 n =2,3,… (1) 求n S ； (2) 是否存在常数M >0，2≥?n ，有

23

1

111

n M S S S ++++

≤．

2006年复旦大学推优、保送生考试数学试题

1．（本题20分）求和： (1) 7

777777777

7n +++

+个

(2) 2005

2005200520052005200520052005

20052005n +++

+个

2．（本题15分）试构造函数f(x),g(x)其定域为（0,1），值域为 [0,1] (1) 对于任意a ∈[0,1]，f (x )=a 只有一解；

(2) 对于任意a ∈[0,1]，g (x )=a 有无穷多个解． 3．（本题15分）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数． 4．（本题15分）对于任意12,,,n n N x x x ∈均为非负实数，且1212

n x x x ++

+≤

， 试用数学归纳法证明：121

(1)(1)

(1)2

n x x x ---≥

成立． 5．（本题20分）求证：021222

22()()()()n n

n n n n n C C C C C ++++=．

6．（本题20分）a ,b 满足何条件，可使22122

x ax b

x x ++<++ 恒成立．

7．（本题20分）下列各式能否在实数范围内分解因式？若能，请作出分解；若不能，请说明理由．(1) x +1 (2) x 2+x +1 (3) x 3+x 2+x +1 (4) x 4+x 3+x 2+x +1 8．（本题20分）解三角方程：sin()sin 29,4

a x x a π

+

=+为一实常数．

9．（本题20分）已知曲线2

2:14

x C y +=，曲线C 关于直线2y x =对称的曲线为曲线C '，曲线C '与曲线C ''关于直线1

52

y x =-

+对称，求曲线C '、C ''的方程． 10．（本题20分）已知抛物线2y ax =，直线12,l l 都过点（1，-2）且互相垂直，若抛物线与直线l 1,l 2中至少一条相交，求a 的取值范围． 11．（本题15分）f (x )在[1,+∞)上单调递增，且对任意x ,y ∈[1,+∞)，都有f (x +y )=f (x )+f (y )成立，证明：

存在常数k ，使f (x )=kx 在x ∈[1,+∞)上成立．