中医药统计学第1章题解

《中医药统计学》习题解答

1 总体分布题解

习题解答

1. 对三人做舌诊算一次试验。设A ＝{3人正常}、B ＝{至少1人不正常}、C ＝{只有1人正常}、D ＝{只有1人不正常}。分析这四个事件中的互斥事件、对立事件，描述事件A ＋D 、BD 各表示什么意思？

解 设A i ＝{第i 人正常}，用A i 表示A 、B 、C 、D 得到

A ＝{三人正常}＝321A A A

B ＝{至少一人不正常}

＝321321321321321321321A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ++++++ C ＝{只有一人正常}＝321321321A A A A A A A A A ++ D ＝{只有一人不正常}＝321321321A A A A A A A A A ++

可以看出，互斥事件有A 与B ，A 与C ，A 与D ，C 与D ，A 与C 、D ；对立事件有A 与B 。 A ＋D ＝321A A A ＋321321321A A A A A A A A A ++

＝{至少2人正常}＝{至多1人不正常}

BD ＝321321321A A A A A A A A A ++＝{只有1人不正常}＝{只有2人正常}＝D

2. 我国四个地区一年的生育情况如表1-2所示，求生男孩的概率。

解 设A ＝{生男孩}，计算得到

)()(A f A P n ≈964573

1022811994101990993496986

528072514765513654++++++=＝

3. 在40个药丸中有3丸失效，任取5丸，求其中有2丸失效的概率。

解 这是古典概率模型。在40个药丸中任取5丸，每一个药丸均可能被取到，且被取到表1-2 四个地区生育情况 地区编号

生育总数 生男孩数 1 990 993 513 654 2 994 101 514 765 3 1 022 811 528 072 4

964 573

496 986

的可能性相等，可能结果有5

40C 个基本事件。

设A ＝{5丸取到2丸失效}，则A 包含3

3723C C 个基本事件，由古典定义得到

5

40

337

23)(C C C A P =＝ 4. 在100支针剂中有10支次品，任取5支，求全是次品的概率及有2支次品的概率。

解 这是古典概率模型。在100支针剂中任取5支，可能结果有5

100C 个基本事件。

设A ＝{5支全次品}、B ＝{5支取2支次品}，则A 、B 包含510C 、3

90210C C 个基本事件，得

5100510)(C C A P =＝，5

100

390

210)(C C C B P =＝ 5. 药房有包装相同的六味地黄丸100盒，其中5盒为去年产品、95盒为今年产品。随

机取出4盒，求有1盒或2盒陈药的概率，再求有陈药的概率。

解 这是古典概率模型。在100盒六味地黄丸中任取4盒，可能结果有4

100C 个基本事件。 设A k ＝{有k 盒陈药}，A ＝{取4盒有1或2盒陈药}、B ＝{取4盒有陈药}，得到

4100

295254100395152121)()()()(C C

C C C C A P A P A A P A P +=+=+=＝ 5100

4

950501)(1)(C C

C A P B P -=-=＝

6. 某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴。经过若干时间以后发现一盒火柴已经用完。如果最初两盒中各有n 根火柴，求这时另一盒中还有r 根火柴的概率。

解 这是古典概率模型。在两盒2n 根火柴中，每次从任一盒中取一根火柴，取2n －r 次可能结果有r n -22个基本事件。

设A ＝{1盒用完另1盒有r 根火柴}，则A 包含n

r n C -2个基本事件，得到

P (A )＝r

n n

r

n C --222

习题解答

1. 上海虚证患者中气虚型占30%，抽查20名患者，分别求有0名、5名气虚型的概率。 解 设A ＝{气虚型患者}，则)(A P ＝，20名患者的气虚型人数X ～)30.0,20;(k B ， 查统计用表1，得到20名患者有0名气虚型的概率为

P (X ＝0)＝)0(F ＝

20名患者有5名气虚型的概率为

P (X ＝5)＝)4()5(F F -＝－＝

2. 若一批出厂半年的人参营养丸的潮解率为 8%，抽取 20 丸，分别求恰有一丸潮解的概率、不超过一丸潮解的概率、有1～5丸潮解的概率。

解 设A ＝{潮解}，则)(A P ＝， 20 丸中潮解数X ～)08.0,20;(k B 。 查统计用表1，得到20 丸有一丸潮解的概率为

P (X ＝1)＝)0()1(F F -＝－＝

20 丸不超过一丸潮解的概率为

P (X ≤1)＝)1(F ＝

20 丸有1～5丸潮解的概率为

P (1≤X ≤5)＝)0()5(F F -＝－＝

3. 某种疾病自然痊愈率为 ，20 个病人服用一种新药后，若有半数以上痊愈，试说明可以认为这种药有效。

解 设这种药无效，A ＝{痊愈}，则)(A P ＝， 20 人中痊愈人数X ～)3.0,20;(k B 。 查统计用表1，得到20 个病人服用新药后半数以上痊愈的概率为

P (X ＞10)＝1－)10(F ＝1－＝

概率很小，说明事件{X ＞10}出现的可能性很小。但现在事件{X ＞10}出现，则可以认为这种药无效的假定是值得怀疑的。

4. 若200 ml 当归浸液含某种颗粒 300 个，分别求 1 ml 浸液含 2 个、超过 2 个颗粒的概率。

解 由于200 ml 当归浸液平均每1 ml 含颗粒 300 /200＝个， 1 ml 浸液含颗粒的个数服从泊松分布，X ～)5.1;(k P 。

查统计用表2，得到1 ml 浸液含 2 个颗粒的概率为

P (X ＝2)＝)1()2(F F -＝－＝

1 ml 浸液超过

2 个颗粒的概率为

P (X ＞2)＝1－)2(F ＝1－＝

5. 150颗花粉孢子随机落入大小相同的 500 个格子里，分别计算约有多少个格子中没有孢子、有2个孢子、有多于2个的孢子。

解 由于500 个格子平均每1个格子落入 花粉孢子150 /500＝颗，1 个格子落入 花粉孢子的颗数服从泊松分布，X ～)3.0;(k P 。

查统计用表2，得到落入 零颗花粉孢子的概率及格子个数为

P (X ＝0)＝)0(F ＝，500 P (X ＝0)＝

落入 2颗花粉孢子的概率及格子个数为

P (X ＝2)＝)1()2(F F -＝－＝，500P (X ＝2)＝

落入 多于2颗花粉孢子的概率及格子个数为

P (X ＞2)＝1－)2(F ＝1－＝，500P (X ＞2)＝

6. 甲乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为及，每人投篮三次，求：⑴ 两人进球次数相等的概率；⑵ 运动员甲比乙进球数多的概率。

解 这是贝努里试验。设A k ＝{两人进球相等}，B k ＝{乙进球k 次}。 ⑴ 设C ＝{两人进球次数相等}，则得到

P (C )＝P (A 0B 0＋A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)

＝P (A 0)P (B 0)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＋P (A 3)P (B 3)

＝×＋(213

3.07.0??C )(213

4.06.0??C )

＋(3.07.0223

??C )(4.06.0223??C )＋×＝ ⑵ 设D ＝{甲比乙进球次数多}，则得到

P (D )＝P (A 1B 0＋A 2B 0＋A 2B 1＋A 3B 0＋A 3B 1＋A 3B 2)

＝P (A 1)P (B 0)＋P (A 2)P (B 0)＋P (A 2)P (B 1) ＋P (A 3)P (B 0)＋P (A 3)P (B 1)＋P (A 3)P (B 2)

＝(213

3.07.0??C )(3

4.0)＋(3.07.022

3??C )(34.0) ＋(3.07.0223

??C )(21

34.06.0??C )＋(37.0)(34.0) ＋(37.0)(213

4.06.0??C )＋(37.0)(4.06.022

3??C )＝ 习题解答

1. X ～)2,5.0(N ，求)24.1(F 、)67.1(-F 、P (－＜X ＜。

解 μ＝、σ＝2，查统计用表3得到

)24.1(F ＝)37.0(25.024.1ΦΦ=???

??-＝

)67.1(-F ＝)085.1(25.067.1-=??

?

??--ΦΦ

＝2/)8621.08599.0(1+-＝

P (－＜X ＜＝??

?

??---??? ??-25.002.025.043.2ΦΦ

)26.0()965.0(--=ΦΦ

＝)6026.01(2/)8340.08315.0(--+＝

2. 某市12岁男孩身高X （cm ）～)67.5,10.143(N ，求X 的99%参考值范围并说明这范围的实际意义，再求身高在 140 cm ～145 cm 之间男孩所占百分比。

解 X 的99%参考值范围为

)7286.157,4714.128(（cm ）

若某12岁男孩身高在这个范围之外，则可怀疑此男孩身高异常，判断失误的概率不超过1%。

身高在 140 cm ～145 cm 之间男孩所占百分比为 P (140＜X ＜145)＝??

?

??--??? ??-67.51.14314067.51.143145ΦΦ

)547.0()335.0(--=ΦΦ

＝]}10/)7054.07088.0(77054.0[1{2/)6331.06293.0(-+--+ ＝＝33. 90%

3. 某地 101 例 30～39 岁健康男子血清胆固醇测定结果如表1-8所示，试作样本直方图及样本分布函数曲线。

解 这是随机误差概型。

⑴ 血清胆固醇数据最大值为，最小值为，区间]279,99(包含所有数据； ⑵ 把区间等分为10个左开右闭小区间，如表1-9的①、②列所示；

⑶ 记录各小区间内血糖数据的频数，计算频率及频率密度填入表1-9的③、④、⑤列； ⑷ 以小区间长为底、相应频率密度为高作矩形，绘制样本直方图及样本分布函数曲线，如图1-10所示。

习题 解答

1. 某项动物实验难度颇高，稍有疏忽便需换个动物重新做起。学生用1、2、3、4、5个

动物才能完成这个实验的概率分别为 、、、、。完成该项实验，平均每个学生需要多少个动物？若有80名学生进行该项实验，约需准备多少动物？

解 完成该项实验，平均每个学生需要动物个数为

EX ＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝（个）

80名学生进行该项实验，需要动物个数为

80×EX ＝80×＝184（个）

2. 某市幼儿群体身长的均数为 85 cm 、标准差为 4 cm ，该市运动员群体身长的均数为表1-9 血清胆固醇数据的频率及频率密度 组序① 组距d ＝18②

频数m ③

频率f n ④

频率密度f n /d ⑤

1 ～117 1

2 ～135 8

3 ～153 8

4 ～171 20

5 ～189 27

6 ～20

7 16 7 ～225

8 8 ～243 7

9 ～261 5 10 ～279 1 合计

n ＝101

.4

) d f n /0

9.0表1-8 某地 101 例 30～39 岁健康男子血清胆固醇数据（mg/100ml ）

185 cm 、标准差为4 cm ，比较两个群体身长的波动程度。

解 该市运动员群体身长X 的变异系数为

CVX ＝4/185＝%

该市幼儿群体身长Y 的变异系数为

CVY ＝4/85＝%

由CVY ＞CVX ，可见该市幼儿群体身长Y 的波动程度比该市运动员群体身长X 大。

3. 某地方病的发病率为 10%，在该病多发地区检查 500 人，分别求其中没有发现该病患者的概率、发现该病患者不超过50人的概率。

解 500人中的该病患者人数X ～)1.0,500;(k B ，无法查表，计算器计算又太繁， 用)9.01.0500,1.0500(???N ＝)45,50(N 近似， 没有发现该病患者的概率为

P (X ＝50) ＝)3790.7(45505.00-=???

?

??-+ΦΦ＝0 发现该病患者不超过50人的概率为

P (X ≤50))0745.0(45505.050ΦΦ=???

?

??-+=＝ 4. 某地白血病发病率为，该地100万人中，求有 80～100 人患白血病的概率。 解 该地100万人中患白血病的人数X ～)1010;(46-?k P ＝)100;(k P ，无法查统计用表2，用)10,100(N 近似，查统计用表3得计算80～100 人患白血病的概率为

P (80≤X ≤100)＝P (X ≤100)－P (X ≤79)

??

? ??-+-??? ??-+=101005.079101005.0100ΦΦ

＝)05.2()05.0(--ΦΦ＝－＝

5. 某打片机打出的药片，平均每片重 g ，方差为 g 2，随机抽取 1 片，求重量介于 g ～ g 之间的概率。

解 药片重X ～)03.0,5.0(N ，查统计用表3计算重量介于 g ～ g 之间的概率为

P ≤X ≤＝P (X ≤－P (X ≤

??

? ??--??? ??-=03.05.047.003.05.056.0ΦΦ

＝)1()2(--ΦΦ＝－＝

6. 某市35000名小学生参加平安保险，每人保费元，出险获赔 1500 元。若出险概率为，求保险公司赚到15000元以上的概率。

解 出险人数X ～)0006.035000;(?k P ＝)21;(k P ，无法查统计用表2，用)21,21(N 近似，保险公司赚到15000元以上为事件{X ＜×35000－15000)/1500}＝{X ＜25}， 查统计用表3，计算保险公司赚到15000元以上的概率为

P (X ＜25)＝P (X ≤24)

)7638.0(21215.024ΦΦ=???

?

??-+=＝