三种复化求积分算法的精度分析
【摘要】分别利用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式对定积分进行运算，得到近似数值解，并对各算法的精度和计算复杂度进行了比较与分析。数值举例结果表明，三种复化求积分算法的运算结果均在绝对误差限ε=5e-8内，并且在相同的精度下，复化gauss-legendre i型公式的步长和计算量最小。
【关键词】复化梯形公式；复化simpson公式；gauss-legendre公式
1 引言
数值积分是计算数学的基本内容，在工程技术和科学计算中起着十分重要的作用，当积分的精确值不能不能求出时，数值积分就变得越来越重要。通常数值积分的计算常利用机械积分来实现，其基本思想为：
（1）
2 理论模型
2.1 复化梯形求积公式
将区间[a，b]划分成n等分，分点xk=a+kh（，k=1，2，3…n），在每个子区间[xk，xk+1] （k=1，2，3 …n-1）上采用梯形式，则得到
（2）
记
（3）
上式（3）为复化梯形公式，其余项可由式
，（a≤η≤b）（4）
得
，ηk∈[xk，xk+1] （5）
由于
f（x）∈c2[a，b]
且
，（0≤k≤n-1）（6）
所以?∈（a，b），使
（7）
于是复化梯形公式余项为
（8）
2.2 复化simpson求积公式
将区间[a，b]划分为n等分，在每个子区间[xk，xk+1]上采用simpson式，若记，则得（9）
记
（10）
上式（10）为复化simpson求积公式，其余项可由式
，（a≤η≤b）（11）
得
，ηk∈[xk，xk+1] （12）
于是当f（x）∈c4[a，b]时，与复化梯形公式相似有
，η∈[a，b] （13）
2.3 复化gauss-legendre i型求积公式
gauss型求积公式是具有最高代数精度的插值求积公式。通过适当选取求积公式（1）的节点ε=5e-8和求积系数ak≥0和xk∈[a，b] （k=1，2，3…n），可使其代数精度达到最高
的2n+1次。利用特殊区间[-1，1]上n+1次legendre正交多项式的根作为节点，我们可以建立gauss-legendre型求积公式。将区间[a，b]划分成n等分，分点xk=a+kh（，k=1，2，3 …n），在每个子区间[xk，xk+1]（k=1，2，3…n-1）上采用2点gauss-legendre i型求积公式（14）
在[a，b]区间上的复化积分公式为
（15）
上式（15）称为复化gauss-legendre i型求积公式。
于是当f（x）∈c4[a，b]，时，复化gauss-legendre i型求积公式的余项表达式为，（a≤η≤b）（16）
3 数值举例
先考察下面等式（17）右边定积分的近似值
（17）
分别用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式做运算，求出其在绝对误差限为ε=5e-8内的近似数值解。
假定
（18）
因此
，（19）
所以
，（20）
对于复化梯形公式有
（21）
所以
n≥1791.6 （22）
因此取步长
n=1792 （23）
对于复化simpson求积公式有
（24）
所以
n≥20.1 （25）
因此取步长
n=21 （26）
对于复化gauss-legendre i型求积公式有
（27）
所以
n≥18.2 （28）
因此取步长
n=19 （29）
同理也可以考察等式
和（30）
右端定积分的近似数值值，具体结果见表1。
表1 三种复化算法步长的事前估
函数复化梯形
求积公式复化simpson
求积公式复化gauss-legendre i型求积公式
1792 21 19
2457 14 12
7019 24 22
表2三种复化算法的计算结果函数复化梯形
求积公式复化simpson 求积公式复化gauss-legendre i型求积公式
-0.405465126309431 -0.405465118046333 -0.405465098225125
1.820478483584408 1.820478477218769 1.820478423657262
7.389056127230221 7.389056126214707 7.389056073169591
表3 三种复化算法的精度分析
函数复化梯形
求积公式复化simpson
求积公式复化gauss-legendre i型求积公式
1.820126660501e-8 9.938168621381e-9 -9.883039109315e-9
-3.033073325831e-8 -2.396509368729e-8 2.959641309807e-8
-2.829957068684e-8 -2.728405679164e-8 2.576105906371e-8
在绝对误差限为ε=5e-8内，用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式对所列三个定积分做近似数值解运算，分别利用它们的余项对每种算法做出步长的事前估计，如表1所示。步长能够反映运算量的大小，步长越大，计算量越大，很显然复化梯形公式计算量比另两种算法大得多并且更加复杂，耗时更长，对计算机硬件要求更高。表2记录了三种算法对三种定积分运算所得的近似数值解，表3记录了三种复化算法的近似数值解与精确解之间的误差，可以看出三种算法的结果均在绝对误差限ε=5e-8以内，精度达到了要求，但各自相互之间存在差异，精确度也各不相同。由各算法的步长可知，复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式在相同精度的情况下下，其步长依次减小，其次，其计算量也依次递减。
对于，在计算机求解时，我们将步长设为事前估计的1792，所得到的精度满足要求。但是如果将步长减小1步，即为1791时，结果依然满足要求，甚至将步长减少2步、10步、100步、500步……直到步长减小到1081时所得结果才不满足要求，此时的误差为5.001798630832e-08，不在绝对误差限ε=5e-8内。尝试了另外几种复化求积公式，也会出现这样的现象。此现象可以概括为：满足精度的事前估计的步长大于满足精度的实际步长。这种现象的出现可以作如下解释：在做步长的事前估计时，我们是用函数二阶导数或者四阶导数的最大值来运算的，这种处理方式所得到的步长是一种极限步长（步长最大值）。然而，在计算机求解时，肯定会出现满足精度的实际步长，并且该实际步长肯定不会大于事前估计步长。
4 结论
一般情况下可以采用复化梯形公式、复化simpson 公式和gauss-legendre 公式可以求出一定精度的近似解，采用复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式的结果可以进一步外推提高精度和降低计算量。三种复化求积分算法在相同精度的情况下，其步长和计算量依次减小。
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三种复化求积分算法的精度分析
【摘要】分别利用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式对定积分进行运算，得到近似数值解，并对各算法的精度和计算复杂度进行了比较与分析。数值举例结果表明，三种复化求积分算法的运算结果均在绝对误差限ε=5e-8内，并且在相同的精度下，复化gauss-legendre i型公式的步长和计算量最小。 【关键词】复化梯形公式；复化simpson公式；gauss-legendre公式 1 引言 数值积分是计算数学的基本内容，在工程技术和科学计算中起着十分重要的作用，当积分的精确值不能不能求出时，数值积分就变得越来越重要。通常数值积分的计算常利用机械积分来实现，其基本思想为： （1） 2 理论模型 2.1 复化梯形求积公式 将区间[a，b]划分成n等分，分点xk=a+kh（，k=1，2，3…n），在每个子区间[xk，xk+1] （k=1，2，3 …n-1）上采用梯形式，则得到 （2） 记 （3） 上式（3）为复化梯形公式，其余项可由式 ，（a≤η≤b）（4） 得 ，ηk∈[xk，xk+1] （5） 由于 f（x）∈c2[a，b] 且 ，（0≤k≤n-1）（6） 所以?∈（a，b），使 （7） 于是复化梯形公式余项为 （8） 2.2 复化simpson求积公式 将区间[a，b]划分为n等分，在每个子区间[xk，xk+1]上采用simpson式，若记，则得（9） 记 （10） 上式（10）为复化simpson求积公式，其余项可由式 ，（a≤η≤b）（11） 得 ，ηk∈[xk，xk+1] （12） 于是当f（x）∈c4[a，b]时，与复化梯形公式相似有 ，η∈[a，b] （13） 2.3 复化gauss-legendre i型求积公式 gauss型求积公式是具有最高代数精度的插值求积公式。通过适当选取求积公式（1）的节点ε=5e-8和求积系数ak≥0和xk∈[a，b] （k=1，2，3…n），可使其代数精度达到最高
差分进化算法及应用研究
湖南大学 硕士学位论文 差分进化算法及应用研究 姓名：吴亮红 申请学位级别：硕士 专业：控制理论与控制工程指导教师：王耀南 20070310
硕士学位论文 摘要 论文首先介绍了智能优化算法的产生对现代优化技术的重要影响，阐述了智能优化算法的研究和发展对现代优化技术和工程实践应用的必要性，归纳总结了智能优化算法的主要特点，简要介绍了智能优化算法的主要研究内容及应用领域。 对差分进化算法的原理进行了详细的介绍，给出了差分进化算法的伪代码。针对混合整数非线性规划问题的特点，在差分进化算法的变异操作中加入取整运算，提出了一种适合于求解各种混合整数非线性规划问题的改进差分进化算法。同时，采用时变交叉概率因子的方法以提高算法的全局搜索能力和收敛速率。用四个典型测试函数进行了实验研究，实验结果表明，改进的差分进化算法用于求解混合整数非线性规划问题时收敛速度快，精度高，鲁棒性强。 采用非固定多段映射罚函数法处理问题的约束条件，提出了一种用改进差分进化算法求解非线性约束优化问题的新方法。结合差分进化算法两种不同变异方式的特点，引入模拟退火策略，使算法在搜索的初始阶段有较强的全局搜索能力，而在后阶段有较强的局部搜索能力，以提高算法的全局收敛性和收敛速率。用几个典型Benchmarks函数进行了测试，实验结果表明，该方法全局搜索能力强，鲁棒性好，精度高，收敛速度快，是一种求解非线性约束优化问题的有效方法。 为保持所求得的多目标优化问题Pareto最优解的多样性，提出了一种精英保留和根据目标函数值进行排序的多目标优化差分进化算法。对排序策略中目标函数的选择方式进行了分析和比较，并提出了一种确定进化过程中求得的精英解是否进入Pareto最优解集的阈值确定方法。用多个经典测试函数进行了实验分析，并与NSGA-Ⅱ算法进行了比较。实验结果表明，本文方法收敛到问题的Pareto前沿效果良好，获得解的散布范围广，能有效保持所求得的Pareto最优解的多样性。 提出了一种新的基于群体适应度方差自适应二次变异的差分进化算法。该算法在运行过程中根据群体适应度方差的大小，增加一种新的变异算子对最优个体和部分其它个体同时进行变异操作，以提高种群多样性，增强差分进化算法跳出局部最优解的能力。对几种典型Benchmarks函数进行了测试，实验结果表明，该方法能有效避免早熟收敛，显著提高算法的全局搜索能力。提出了将该改进算法用来整定不完全微分PID控制器最优或近似最优参数的新方法。为克服频域中常用的积分性能指标如IAE，ISE和ITSE的不足，提出了一种新的时域性能指标对控制器性能进行测试和评价。用三个典型的控制系统对提出的ASMDE-PID控制器进行了测试。实验结果表明，该方法实现容易，收敛性能稳定，计算效率高。与ZN，GA和ASA方法相比，DE在提高系统单位阶跃响应性能方面效率更高，鲁棒性更强。 为了提高差分进化算法的全局搜索能力和收敛速率，提出了一种双群体伪并行差分
第5章上机实验报告
第5章上机实验报告 一、实验目的 （1）观察程序运行中变量的作用域74。 （2）学习类的静态成员的使用。 （3）学习多文件结构的C++程序中的使用。 二、实验任务 （1）运行下面的程序，观察变量x，y的值。 【代码lab5-1】 #include"iostream" usingnamespace std; void fun(); int x=1,y=2; int main() { cout<<"Begin..."< 基本差分进化算法 基本模拟退火算法概述 DE 算法是一种基于群体进化的算法，其本质是一种基于实数编码的具有保优思想的贪婪遗传算法。由于DE 算法操作简单，寻优能力强，自提出以来引起了国内外学者的高度关注，目前已在电力系统优化调度、配网重构等领域得到了应用。 1、算法原理 DE 算法首先在N 维可行解空间随机生成初始种群P 0001[,,]N =X x x L ，其中000T 1[,,]i i iN x x =x L ，p N 为DE 种群规模。DE 算法的核心思想在于采取变异和交叉操 作生成试验种群，然后对试验种群进行适应度评估，再通过贪婪思想的选择机制，将原种群和试验种群进行一对一比较，择优进入下一代。 基本DE 算法主要包括变异、交叉和选择三个操作。首先，在种群中随机选取三个个体，进行变异操作： 1123()t t t t i r r r F +=+-v x x x 其中1t i +v 表示变异后得到的种群，t 表示种群代数，F 为缩放因子，一般取(0,2]，它的大小可以决定种群分布情况，使种群在全局范围内进行搜索；1t r x 、2t r x 、3t r x 为从种群中随机抽取的三个不同的个体。 然后，将变异种群和原种群进行交叉操作： 1,R 1 ,,R () or () () and ()t i j t i j t i j v rand j C j randn i u x rand j C j randn i ++?≤=?=?>≠?? 其中t 1,i j u +表示交叉后得到的种群，()rand j 为[0,1]之间的随机数，j 表示个体的第j 个分量，R C 为交叉概率，()randn i 为[1,,]N L 之间的随机量，用于保证新个体至少有一维分量由变异个体贡献。 最后，DE 算法通过贪婪选择模式，从原种群和试验种群中选择适应度更高的个体进入下一代： 11t 11 ()() ()()t t t i i i i t t t i i i f f f f ++++?<=?≥?u u x x x u x 1()t i f +u 、()t i f x 分别为1t i +u 和t i x 的适应度。当试验个体1t i +u 的适应度优于t i x 时， 报告编号：YT-FS-1915-76 计算机上机实验内容及实验报告要求(完整版) After Completing The T ask According To The Original Plan, A Report Will Be Formed T o Reflect The Basic Situation Encountered, Reveal The Existing Problems And Put Forward Future Ideas. 互惠互利共同繁荣 Mutual Benefit And Common Prosperity 计算机上机实验内容及实验报告要 求(完整版) 备注：该报告书文本主要按照原定计划完成任务后形成报告，并反映遇到的基本情况、实际取得的成功和过程中取得的经验教训、揭露存在的问题以及提出今后设想。文档可根据实际情况进行修改和使用。 一、《软件技术基础》上机实验内容 1．顺序表的建立、插入、删除。 2．带头结点的单链表的建立（用尾插法）、插入、删除。 二、提交到个人10m硬盘空间的内容及截止时间 1．分别建立二个文件夹，取名为顺序表和单链表。 2．在这二个文件夹中，分别存放上述二个实验的相关文件。每个文件夹中应有三个文件(.c文件、.obj 文件和.exe文件)。 3.截止时间：12月28日（18周周日）晚上关机时为止，届时服务器将关闭。 三、实验报告要求及上交时间（用a4纸打印） 1．格式： 《计算机软件技术基础》上机实验报告 用户名se××××学号姓名学院 ①实验名称： ②实验目的： ③算法描述（可用文字描述，也可用流程图）： ④源代码：（.c的文件） ⑤用户屏幕（即程序运行时出现在机器上的画面）： 2．对c文件的要求： 程序应具有以下特点：a 可读性：有注释。 b 交互性：有输入提示。 c 结构化程序设计风格：分层缩进、隔行书写。 3.上交时间：12月26日下午1点-6点，工程设计中心三楼教学组。请注意：过时不候哟！ 四、实验报告内容 0．顺序表的插入。 1.顺序表的删除。 1．差分进化算法背景 差分进化(Differential Evolution，DE)是启发式优化算法的一种，它是基于群体差异的启发式随机搜索算法，该算法是Raincr Stom和Kenneth Price为求解切比雪夫多项式而提出的。差分进化算法具有原理简单、受控参数少、鲁棒性强等特点。近年来，DE在约束优化计算、聚类优化计算、非线性优化控制、神经网络优化、滤波器设计、阵列天线方向图综合及其它方面得到了广泛的应用。 差分算法的研究一直相当活跃，基于优胜劣汰自然选择的思想和简单的差分操作使差分算法在一定程度上具有自组织、自适应、自学习等特征。它的全局寻优能力和易于实施使其在诸多应用中取得成功。 2.差分进化算法简介 差分进化算法采用实数编码方式，其算法原理同遗传算法相似刚，主要包括变异、交叉和选择三个基本进化步骤。DE算法中的选择策略通常为锦标赛选择，而交叉操作方式与遗传算法也大体相同，但在变异操作方面使用了差分策略，即：利用种群中个体间的差分向量对个体进行扰动，实现个体的变异。与进化策略(Es)采用Gauss或Cauchy分布作为扰动向量的概率密度函数不同，DE使用的差分策略可根据种群内个体的分布自动调节差分向量(扰动向量)的大小，自适应好；DE 的变异方式，有效地利用了群体分布特性，提高了算法的搜索能力，避免了遗传算法中变异方式的不足。 3.差分进化算法适用情况 差分进化算法是一种随机的并行直接搜索算法，最初的设想是用于解决切比雪夫多项式问题，后来发现差分进化算法也是解决复杂优化问题的有效技术。它可以对非线性不可微连续空间的函数进行最小化。目前，差分进化算法的应用和研究主要集中于连续、单目标、无约束的确定性优化问题，但是，差分进化算法在多目标、有约束、离散和噪声等复杂环境下的优化也得到了一些进展。 4.基本DE算法 差分进化算法把种群中两个成员之间的加权差向量加到第三个成员上以产生新的参数向量，这一操作称为“变异”。然后，变异向量的参数与另外事先确 数值计算方法上机题目3 计算定积分的近似值： 2 2 1x e xe dx =? 要求： （1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限7102 1-?=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计； （2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分； （3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。 解： （1) x xe x f =)(,所以x x k xe ke x f +=)()(，x x xe e x f +=2)(''，x x xe e x f +=4)()4( x x xe e x f +=6)()6( 对于复化梯形公式： )(12)(''2ηf h a b f R n --=，2max ''4)(e f =η，n h 1= 代入数据可知 722102 1124-?≤n e ，57.7018≥n 取7019=n 对于复化Simpson 公式 )()2(180)()4(4ηf h a b f R n --=，2max )4(6)(e f =η，n h 1= 代入数据可知 742102 128806-?≤n e ，56.23≥n 取24=n （2）复化梯形公式： 函数 function y=fun(x) y=x*exp(x); 程序： clc Clear % 复化梯形计算 format long a=1;b=2; n=7019;% 区间划分为m等份 h=(b-a)/n;% 步长，根据误差限由该算法的余项作事前估计得到 ty1=fun(a)+fun(b); ty2=0; for i=1:n-1 x=a+i*h1; ty2=ty2+fun(x); end T=h*(ty1+2*ty2)/2; T 对于复化Simpson公式 clc Clear % 复化Simpon计算 format long a=1;b=2; n=24;% 区间划分为n等份 h=(b-a)/(2*n);% 步长，根据误差限由该算法的余项作事前估计得到sy1=fun(a)+fun(b); sy2=0;sy3=0; for j=1:2*n-1 x=a+j*h2; if rem(j,2)==0 sy3=sy3+fun(x); else sy2=sy2+fun(x); end end S=h*(sy1+4*sy2+2*sy3)/3; S % 精确值 Exactanswer=exp(2) 运算结果： T = 7.389056127230221 S = 7.389056126214707 Exactanswer = 7.389056098930650 （3）比较可知复化梯形公式的计算量较大 复化积分法（复化梯形求积，复化Simpson 公式，变步长求积法） MATLAB 编程实验报告 一、 问题描述： 编写函数实现复化积分法。 二、 实验步骤（过程）： （一）复化求积法 （1）复化梯形求积：用复化梯形求积公式求解 dx x x ?10sin function [f]=Tn(a,b,n,y) syms t; h=(b-a)/n; f=0; for k=1:n+1 x(k)=a+(k-1)*h z(k)=subs(y,t,x(k)); end for i=2:n f=f+z(i); end q=subs(y,t,a); if y=='sin(t)/t'&&a==0 q=1; end p=subs(y,t,b); T=h/2*(q+p+2*f); T=vpa(T,7) clc,clear; syms t; a=0;b=1; y=sin(t)/t; n=8; Tn(a,b,n,y); （2）复化Simpson 公式：用复化Simpson 公式求解?211dx e x function [f]=simpson(a,b,n,y) syms t; h=(b-a)/n; f=0;l=0; for k=1:n+1 x(k)=a+(k-1)*h w(k)=0.5*h+x(k) z(k)=subs(y,t,x(k)); end for i=2:n f=f+z(i); end for i=1:n l=l+w(i); end q=subs(y,t,a); if y=='sin(t)/t'&&a==0 q=1; end p=subs(y,t,b); T=h/2*(q+p+2*f); T=vpa(T,7) clc,clear; syms t; a=1;b=2; y=exp(1/t); n=5; simpson(a,b,n,y); （3）变步长求积法：以书本例4.5为例function [f]=TN(a,b,y,R0) syms t; T=[]; f=0; q=subs(y,t,a); if y=='sin(t)/t'&&a==0 q=1; end p=subs(y,t,b); T(1)=(b-a)/2*(q+p); i=2; n=i-1; h=(b-a)/n; z1=a+h/2; z2=subs(y,t,z1); 基于改进差分进化算法的烧结矿配料优化 李凯斌, 卢建刚, 吴燕玲, 孙优贤 浙江大学工业控制技术国家重点实验室，杭州(310027） E-mail ：kbli@https://www.360docs.net/doc/0512716093.html, 摘 要：本文针对差分进化算法(differential evolution algorithm)存在的早熟问题和停滞现象作了改进并把改进的算法应用于烧结矿配料优化，用matlab 编程，仿真结果表明符合实际生产工艺要求，证明了改进的差分进化算法对烧结矿配料优化的有效性，从而指出了改进的差分进化算法在配料优化中的应用价值。 关键词：差分进化，停滞，烧结矿，配料优化 中图分类号：TF541 1．前言 钢铁企业中炼铁系统能耗占整个钢铁生产能耗的60% ～70% ，生产成本也占54% ～58%，所占比重都较大[1]。而烧结又是生产高炉炼铁精料的关键工序，烧结生产中，可以将不同原料，熔剂进行精确配料，以调整烧结矿化学成分，满足高炉对炉料成分的要求。烧结矿的优化配料是一项极其重要的工作，配料的目的在于：根据不同种类的铁矿石的化学成分，将原料矿进行合理的搭配，使混匀矿的化学成分符合烧结生产的要求。烧结矿配料优化从上个世纪80年代就开始研究，最初运用的是线性规划方法，优化对象也仅限于烧结矿的化学成分[2]。近几十年来，进化算法发展十分迅速，其应用也越来越广泛。其中由Rainer Storn 和Kenneth Price 提出的差分进化算法[3] (differential evolution ，简称DE)作为一种较新的全局优化算法，以其收敛性好，模型简单，容易实现，控制参数比较少得到广泛应用。在日本召开的第一届国际禁化优化计算竞赛(ICEO)中[6]，DE 表现突出，已经成为进化算法(EA)的一个重要分支。近几年来，DE 在约束优化计算，模糊控制器优化设计，神经网络优化，滤波器设计等方面得到了广泛应用。本文运用改进的差分进化算法对烧结矿配料进行优化。 2．差分进化算法 DE 作为一种较新的全局搜索算法与遗传算法，进化规划，进化策略不同，它是由父代个体差分矢量构成变异算子，然后按一定交叉概率，父代个体与变异个体进行交叉，生成试验体，最后在父代与试验体之间根据适应度选择个体。 2.1 差分进化原理 (1)选定种群规模N ，加权因子F ∈[0，2]最大进化代数MAX G ，杂交率CR ∈[0，1] (2)生成初始种群0W ：{w 0 i (i=1,2,…N)}，令进化代数G=0 (3)对G i w 执行(4)~(6)步，生成G+1代 (4)变异：1G i w +?=G i w +F(G j w -G k w )其中1≤j ，k ≤N ，且i ，j ，k 互异 (5)杂交：1G ij w +=1()() G ij G ij w random CR w random CR +?>??≤??? 其中G ij w 为第G 代第i 个个体的第j 个基因，CR 为 杂交率，random ∈[0，1] (6)选择： 基本差分进化算法 1基本差分进化算法的基本思想 DE 算法是一种基于实数编码的用于优化函数最小值的进化算法，是在求解有关切比雪夫多项式的问题时提出来的，是基于群体差异的进化计算方法。它的整体结构类似于遗传算法，一样都存在变异、交叉和选择操作，但是它又不同于遗传算法。与基本遗传算法的主要区别在于变异操作上，如： 1、传统的遗传算法采用二进制编码，而差分进化算法采用实数编码。 2、在遗传算法过两个父代个体的交叉产生两个子个体，而在差分进化算法过第两个或几个个体的差分矢量做扰动来产生新个体。 3、在传统的遗传算法中，子代个体以一定概率取代其父代个体，而在差分进化中新产生的个体只有当它比种群中的个体优良时才替换种群中的个体。 变异是DE 算法的主要操作，它是基于群体的差异向量来修正各个体的值，其基本原理是通过把种群中两个个体的向量差加权后，按一定的规划与第三个个体求和来产生新个体，然后将新个体与当代种群中某个预先决定的个体相比较，如果新个体的目标值优于与之相比较的个体的目标值，则在下一代中就用新个体取代，否则，旧个体仍保存下来。 差分进化算法其基本思想是：首先由父代个体间的变异操作构成变异个体；接着按一定的概率，父代个体与变异个体之间进行交叉操作，生成一试验个体；然后在父代个体与试验个体之间根据适应度的大小进行贪婪选择操作，保留较优者，实现种群的进化。 2 差分进化算法的基本操作 设当前进化代数为t ，群体规模为NP ，空间维数为D ，当前种群为 {}12(),, ,t t t NP X t x x x =，()12,, ,T t t t t i i i iD x x x x =为种群中的第i 个个体。在进化过程 中，对于每个个体t i x 依次进行下面三种操作。 2.1 变异操作 对于每个个体t i x 按下式产生变异个体12(,, ,)t t t t T i i i iD v v v v =，则 123() 1,2, ,D t t t t ij r j r j r j v x F x x j =+-= (1) 其中111112(,,,)t t t t T r r r r D x x x x =，222212(,,,)t t t t T r r r r D x x x x =和333312(,, ,)t t t t T r r r r D x x x x =是群 体中随机选择的三个个体，并且123r r r i ≠≠≠；1t r j x ，2t r j x 和3t r j x 分别为个体1r ，2r 和3r 的第j 维分量；F 为变异因子，一般取值于[0,2]。这样就得到了变异个体t i v 。 差分进化算法（DE）[1]是Storn 和Price 在1995 年提出的一种基于种群差异的进化算法，DE是一种随机的并行搜索算法。差分进化计算和其他进化计算算法一样，都是基于群体智能理论的优化算法，利用群体内个体之间的合作与竞争产生的群体智能模式来指导优化搜索的进行。与其他进化计算不同的是，差分进化计算保留了基于种群的全局搜索策略，采用实数编码、基于差分的简单变异操作和一对一的竞争生存策略，降低了进化操作的复杂性。差分进化计算特有的进化操作使得其具有较强的全局收敛能力和鲁棒性，非常适合求解一些复杂环境中的优化问题。 最初试图使用向量差进行向量种群的混洗，以此来解决切比雪夫多项式适应性问题。DE 通过种群内个体间的合作与竞争来实现对优化问题的求解，其本质上是一种基于实数编码的具有保优思想的进化算法。该算法实现技术简单，在对各种测试问题的实验中表现优异，已经成为近年来进化算法研究中的热点之一。 差分进化算法基本原理 基本的差分进化算法是基于候选方案种群的算法，在整个搜索空间内进行方案的搜索，通过使用简单的数学公式对种群中的现有方案进行组合实现的。如果新的方案有所改进，则被接受，否则被丢弃，重复这一过程直到找到满意的方案。 设 f 是最小化适应度函数，适应度函数以实数向量的形式取一个候选方案作为参数，给出一个实数数值作为候选方案的输出适应值。其目的是在搜索空间的所有方案p 中找到m 使得f(m) ≤f(p)。最大化是找到一个m 使得f(m) ≥f(p)。 设X=(x1, x2,…, xn)∈?n是种群中一个个体，基本的差分进化算法如下所述： ?在搜索空间中随机地初始化所有的个体。 ?重复如下操作直到满足终止条件（最大迭代数或者找到满足适应值的个体） o 对于种群中的每个个体： ●随机地从种群中选择三个彼此不同的个体a，b 和c。 ●选择一个随机索引R ∈{1, ..., n}，n 是被优化问题的维数。 ●通过对每个i ∈{1, ..., n}进行如下的迭代计算可能的新个体Y = [y1, ..., yn] 生成一 个随机数ri~U(0,1)； ●如果(i=R)或者(ri 差分进化算法-入门 基本差分进化算法 1基本差分进化算法的基本思想 DE 算法是一种基于实数编码的用于优化函数最小值的进化算法，是在求解有关切比雪夫多项式的问题时提出来的，是基于群体差异的进化计算方法。它的整体结构类似于遗传算法，一样都存在变异、交叉和选择操作，但是它又不同于遗传算法。与基本遗传算法的主要区别在于变异操作上，如： 1、传统的遗传算法采用二进制编码，而差分进化算法采用实数编码。 2、在遗传算法中通过两个父代个体的交叉产生两个子个体，而在差分进化算法中通过第两个或几个个体的差分矢量做扰动来产生新个体。 3、在传统的遗传算法中，子代个体以一定概率取代其父代个体，而在差分进化中新产生的个体只有当它比种群中的个体优良时才替换种群中的个体。 变异是DE 算法的主要操作，它是基于群体的差异向量来修正各个体的值，其基本原理是通过把种群中两个个体的向量差加权后，按一定的规划与第三个个体求和来产生新个体，然后将新个体与当代种群中某个预先决定的个体相比较，如果新个体的目标值优于与之相比较的个体的目标值，则在下一代中就用新个体取代，否则，旧个体仍保存下来。 差分进化算法其基本思想是：首先由父代个体间的变异操作构成变异个体；接着按一定的概率，父代个体与变异个体之间进行交叉操作，生成一试验个体；然后在父代个体与试验个体之间根据适应度的大小进行贪婪选择操作，保留较优者，实现种群的进化。 2 差分进化算法的基本操作 设当前进化代数为t ，群体规模为NP ，空间维数为D ，当前种群为 {}1 2 (),,,t t t NP X t x x x =L ，() 1 2 ,,,T t t t t i i i iD x x x x =L 为种群中的第i 个个体。在进化过程 中，对于每个个体t i x 依次进行下面三种操作。 2.1 变异操作 对于每个个体t i x 按下式产生变异个体12(,,,)t t t t T i i i iD v v v v =L ，则 123() 1,2,,D t t t t ij r j r j r j v x F x x j =+-=L (1) 其中111112(,,,)t t t t T r r r r D x x x x =L ，222212(,,,)t t t t T r r r r D x x x x =L 和333312(,,,)t t t t T r r r r D x x x x =L 是群体中随机选择的三个个体，并且123r r r i ≠≠≠；1t r j x ，2t r j x 和3t r j x 分别为个体1r ，2r 和3r 的第j 维分量；F 为变异因子，一般取值于[0,2]。这样就得到了变异个体t i v 。 摘要 在工程实验及研究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型与我们的生活生产密切相关. 本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的基本思想、模型的建立、以及具体应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性与非线性模型，在模型建立的基础上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题. 关键词曲线拟合；线性与非线性模型；最小二乘发 目录 引言 (1) 第一章曲线拟合 (2) §1.1 基本思想及基本概念 (2) §1.1.1 方法思想 (2) §1.1.2几个基本概念 (2) §1.2辛普森算法基本定义及其应用 (4) §1.2.1辛普森求积公式的定义 (4) §1.2.2辛普森求积公式的几何意义 (5) §1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项 (5) §1.2.4辛普森公式的应用 (6) 第二章辛普森求积公式的拓展及其应用 (7) §2.1 复化辛普森求积公式 (7) §2.1.1问题的提出 (7) §2.1.2复化辛普森公式及其分析 (7) §2.1.3复化辛普森公式计算流程图 (8) §2.1.4复化辛普森公式的应用 (9) §2.2 变步长辛普森求积公式 (10) §2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程 (10) §2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程 (12) §2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图 (13) §2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码 (14) §2.2.5变步长辛普森求积公式的应用 (14) §2.2.6小结 (14) §2.2.7数值求积公式在实际工程中的应用 (14) 参考文献 (16) 附录A (17) 收稿日期：2011-07-11 基金项目：国家自然科学基金（10926157）；国家十一五科技支撑计划（2009BAE69B01）作者简介：曲福恒（1979－），男，博士，主要从事图像处理与模式识别技术研究。 长春理工大学学报（自然科学版） Journal of Changchun University of Science and Technology （Natural Science Edition ） 第34卷第4期2011年12月 Vol.34No.4Dec.2011 改进差分进化算法及其在模糊聚类分析中的应用 曲福恒1，胡雅婷2，杨勇1，谷欣超1 （1.长春理工大学计算机科学技术学院，长春 130022；2.吉林农业大学 信息技术学院，长春 130118） 摘 要：针对差分进化算法早熟与搜索效率不理想的问题，提出一种改进的差分进化算法。算法在变异阶段采用多策略与 多参数并行的方法一次产生多个变异个体，有效地保持了种群中个体的多样性，抑制了早熟现象的发生。根据竞争机制选择适应度最好的变异个体进行选择操作，提高了搜索效率。与差分进化及其改进算法的对比实验表明了算法的有效性，并把提出的算法应用到模糊聚类分析中，较好的解决了原始聚类模型求解容易陷入局部极值的问题。关键词：全局优化；差分进化；进化策略；聚类分析中图分类号：TP183 文献标识码：A 文章编号：1672-9870（2011）04-0129-04 An Improved Differential Evolution Algorithm with Its Application in Fuzzy Cluster Analysis QU Fuheng 1，HU Yating 2，YANG Yong 1，GU Xinchao 1 （1.Department of Computer Science and Technology ，Changchun University of Science and Technology ，Changchun 130022； 2.College of Information and Technology ，Jilin Agriculture University ，Changchun 130118） Abstract ：A new differential evolution algorithm （DE ）is proposed in this paper to overcome the problem of prema-ture convergence and low search efficiency of the original DE.In the new algorithm ，several mutant individuals are gen-erated simultaneously in each population using different strategies with some specified parameters ，which effectively maintains population diversity and avoids premature phenomenon in the evolution.According to the survival of the fittest law ，the trial individual with the best fitness value will enter the selection stage to generate the new population ，which improves the search efficiency.The contrast experimental results with DE and its improved algorithm show that the ef-fectiveness of the proposed algorithm.The algorithm is also applied into the fuzzy cluster analysis and solves the prob-lem of falling into the local extreme of the original cluster model. Key words ：global optimization ；differential evolution ；evolution strategy ；cluster analysis 差分进化算法（Differential evolution ，DE ）是由Storn 与Price 提出的一种进化算法［1］，DE 性能良好且易于控制，已经成功的应用于各个领域，成为进化算法的研究热点之一。与其它的进化算法一样，DE 是一种基于种群演化的随机搜索算法。它通过变异、交叉、选择操作引导种群走向优化问题的全局最优解。 DE 的性能主要依赖于新个体的产生策略及算法中的三个控制参数种群规模NP 、缩放因子F 与交叉概率CR 。在面临一个具体的最优化问题时，首先需要确定采用哪种策略来运行DE ，然后还要根 据当前的策略选择合适的参数。选择的不合理可能导致算法的搜索效率低下以及产生早熟收敛的问题。不同的优化问题其适用的策略与参数可能不同，这就需要采用尝试不同的组合来找到最适合于当前问题的策略与参数。DE 的进化策略众多加之不同的参数都具有一定的取值范围，这种穷举尝试的方法在效率上显然是非常低下的。为了解决这个问题，学者们提出了自适应参数或者策略的DE 算法。多数自适应DE 算法集中在参数方面，大体可分为两类，第一类是通过进化过程的信息反馈来调整DE 的参数［2］，第二种是直接把DE 的参数编码于 3、1 数值积分公式与代数精度,Newton-Cotes 求积公式习题 一、填空题 1、辛普生求积公式具有 次代数精度,其余项表达式为 。 (答案:3,4(4)()(),(,)1802b a b a f a b ζζ--- ∈) 2、设()(0,1,2)j l x j n =L 就是区间[a,b ]上的一组n 次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ;插值型求积公式中求积系数j A = ;且0n j j A ==∑ 。 (答案:至少就是n,()b k a l x dx ?, b-a ) 3、牛顿—柯特斯求积公式的系数与()0n n k k C ==∑ 。 (答案: 1 ) 二、计算题 1.试确定下列求积公式中的待定系数,指出其所具有的代数精度。 ① 2''0()[(0)()][(0)()]2 h h f x dx f f h h f f h ≈++-?α; ② 101()()(0)();h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 解:①分别将()1,f x x =代入求积公式,易知求积公式精确成立, 代入2()f x x =,令求积公式精确成立,于就是有33 3232 h h h α===-左右,可得112α=, 代入3 ()f x x =,于就是44h =左,444 ,244h h h =-==右左右,求积公式成立, 代入4 ()f x x =,55h =左,544 ,236h h h =-=≠右左右,求积公式不精确成立, 综合以上可知,该求积公式具有三次代数精度。 ②将21(),,f x x x =分别代入求积公式,令求积公式成立,则有 0120222 022023()()A A A h h A A h A A h ?++=???--=????+=? 从而解得0211433 ,A A h A h ===,所求公式至少具有两次代数精度,且进一步有 基本差分进化算法 (1)初始化。 DE 利用NP 个维数为D 的实数值参数向量作为每一代的种群，每个个体表示为： X i ，G (i=1，2，……，NP) （1） 式中：i —— 个体在种群中的序列；G ——进化代数；NP — —种群规模，在最小化过程中NP 保持不变。 为了建立优化搜索的初始点，种群必须被初始化。通常寻找初始种群的一个方法是从给定边界约束内的值中随机选择。在DE 研究中，一般假定对所有随机初始化种群均符合均匀概率分布。设参数变量的界限为 )( )( U j j L j X X X << ，则： )( )( )( 0,)()`1,0(L j L j U j ji X X X rand X +-?= （i=1，2，……， NP ；j=1，3，……，D ） （2） 式中：rand[0，1]——在[0，1]之间产生的均匀随机数。 如果预先可以得到问题的初步解，初始种群也可以通过对初步解加入正态分布随机偏差来产生，这样可以提高重建效果。 (2)变异。 对于每个目标向量 X i ，G (i=1，2，……，NP)，基本DE 算法的变 异向量如下产生： )(,3,2,11,G r G r G r G i x x F X v -?+=+ （3） 其中，随机选择的序号r1，r2和r3互不相同，且r1，r2和r3与目标向 量序号i 也应不同，所以须满足NP ≥4。变异算子F ∈[0，2]是一个实常数因数，控制偏差变量的放大作用。 (3)交叉。 为了增加干扰参数向量的多样性，引入交叉操作。则试验向量变为： ),...,,(1,1,21,11,++++=G Di G i G i G i u u u u （4） ???=+++1 ,1,1,G ji G ji G ji X v u )(rnb CR (j) b rand rnbr(i))(rand i r j j CR j b ≠>=≤且如果或者如果 （i=1，2，……，NP ；j=1，3，……，D ） （5） 式中：randb(j)——产生[0，1]之间随机数发生器的第j 个估计值；rnbr(i)∈ 1，2，? ，D ——一选择的序列，用它来确保1,+G i u 至少从1,+G i u ;获得一个参数；CR ——交叉算子，取值范围为[0，1]。 (4)选择。 为决定试验向量1,+G i u ，是否会成为下一代中的成员，DE 按照贪婪 准则将试验向量与当前种群中的目标向量进行比较。如果目标函数要被最小化，那么具有较小目标函数值的向量将在下一代种群中赢得一席地位。下一代中的所有个体都比当前种群的对应个体更佳或者至少一样好。注意在DE 选择程序中试验向量只与一个个体相比较，而不是与现有种群中的所有个体相比较。 (5)边界条件的处理。 在有边界约束的问题中，确保产生新个体的参数值位于问题的可行域中是必要的，一个简单方法是将不符合边界约束的新个体用在可行域中随机产生的参数向量代替。基本差分进化算法
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