《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题二

《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题

二

第一部分名校考研真题

第6章线性空间

一、选择题

1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研]

A．B． C．

【答案】C查看答案

【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的．

2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等

【答案】B查看答案

【解析】比如在中选三个向量组

(I)：0

(Ⅱ)

(Ⅲ)．

若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．

二、填空题

1．若

则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]

【答案】2；4．查看答案

【解析】在复数域上令；则是线性无关的．

则

此即证可由线性表出．

在实数域上，令

若，其中，则

此即在R上线性关．

可由线性表出，所以在实数域R上，有

三、分析计算题

1．设V是复数域上n维线性空间，V 1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求

之维数的一切可能值．[南京大学研]

解：取的一组基，再取的一组基则

＝秩

2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求

（1）U＋W：

（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研]

解：（1）令

可得．所以

由于为的一个极大线性无关组，因此又可得

且，故为U＋W的一组基．

（2）令

因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：

再令，则

故ζ为U∩W的一组基．

3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令

（1）证明：W关于K n的运算构成K n的一个子空间；

（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：（3）对于非齐次线性方程组

求W的一个基．[华东师范大学研]

证明：（1）显然W≠，又

因为存在t1，t2使Aα＝t1B，Aβ＝t2B．所以

即kα＋lβ∈W，此说明W是K n的子空间．

（2）对线性方程组（A，B）X n＋1＝0，由题设，其解空间V的维数为（n＋1）－r （A，B）＝n－r＋1．

任取α∈W，存在t∈K，使

所以是线性方程组（A，B）X n＋1＝0的解．

这样，存在W到V的映射，显然，这是W形到V的一个双射．又α1，α2∈W，k∈K，存在t1，t2∈K，使Aα1＝t1B，Aα2＝t2B，则

所以

且

可见W与V同构，从而有dim W＝dim V＝n－r＋1．

（3）由（2）W与如下齐次线性方程组解空间同构．

该方程组的一个基础解系为：

其在σ之下原像

即为W的一组基．

4．设V 1，V2均为有限维线性空间V的子空间，且，则和空间与另一个重合．[上海交通大学研]

证明：因为

所以

由题设

所以

即

当时，由得

此时

当时

因为，所以，此时

5．设V是数域K上n维线性空间，V1,…,Vs是V的s个真子空间，证明：（1）存在，使得

（2）存在V中一组基，使[北京大学研]

证明：（1）因V 1,…,Vs是V的真子空间，由上例，存在

（2）令，同样有且显然，线性无关．令，则存在，且线性无关，如此继续下去，可得线性无关向量组（构成V的基），且有

6．设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合，对于f，g∈V，a∈R，分别用下列式子定义f＋g与af：

则V成为实数域上的一个线性空间．

设f0（x）＝1，f1（x）＝cosx,，f2（x）＝cos2x，f3（x）＝cos3x，

（1）判断f0，f1，f2，f3是否线性相关，写出理由；

（2）用＜f，g＞表示f，g生成的线性子空间，判断＜f0，f1＞＋＜f2，f3＞是否为直和，写出理由．[北京大学研]

解：（1）令k0f0＋k1f1＋k2f2＋k3f3＝0，分别取x＝0，

得

解之得k0＝k1＝k2＝k2＝0，说明f0，f1，f2，f3线性无关．

（2）因为＜f，g＞＝L（f，g），所以

从而

又，故L（f0，f1，f2，f3）是＜f0，f1＞与＜f2，f3＞的直和．