3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课时目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．

1．空间向量基本定理

(1)设i 、j 、k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O ，那么，对于空间任一向量p ，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p 在i 、j 、k 上的分向量．

(2)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c ________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得________________．

(3)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个________，a ，b ，c 都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底．

2．空间向量的坐标表示

若e 1、e 2、e 3是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1、e 2、e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么，对于空间任意一个向量p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作____________．

一、选择题

1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )

①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；

②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

2.已知O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB

→－OC →，则与a 、b 不能构成空间基底的是( )

A. OA → B ．OB → C.OC → D.OA →或OB →

3．以下四个命题中，正确的是( ) A.若OP ＝12OA →＋13

OB →，则P 、A 、B 三点共线 B ．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底

C ．|(a·b )c |＝|a|·|b|·|c |

D. △ABC 是直角三角形的充要条件AB →·AC →＝0 4.设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3G ,G 1若OG

＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )

A ．(14，14，14)

B ．(34，34，34

) C ．(13，13，13) D ．(23，23，23

) 5．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则

点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )

A ．(12,14,10)

B ．(10,12,14)

C ．(14,12,10)

D ．(4,3,2)

6.已知空间四边形OABC 中OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，

N 为BC 的中点，则MN →等于( )

A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12

c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12

c 二、填空题

7．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，则向量a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k 的坐标分别是____________．

8.已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点

分别为E 、F ，则EF →＝____________. 9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为AC 1与BD 1的交点，AO ＝xAB →＋yBC →＋

zCC 1→，则x ＋y ＋z ＝______.

三、解答题

10.四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO 平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、

F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →、BE →、AE →、EF →.

11.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA=AD,求MN 、DC →的坐标．

能力提升

12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F 1，F 2，F 3，若i 、j 、k 是空间中的三个不共面的基向量，F 1＝i ＋2j ＋3k ，F 2＝－2i ＋3j －k ，F 3＝3i －4j ＋5k ，则这三名工人的合力F ＝x i ＋y j ＋z k ，求x 、y 、z .

13.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .

1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量． 2. OP ＝xOA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P 、A 、B 、C 四点共面．

3．对于基底{a ，b ，c }除了应知道a ，b ，c 不共面，还应明确：

(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．

(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.

3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

知识梳理

1．(1)有序实数组{x ，y ，z } p ＝x i ＋y j ＋z k x i y j z k (2)不共面 p ＝x a ＋y b ＋z c

(3){p |p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R } 基底 基向量 不共面

2．单位正交基底 p ＝(x ，y ，z )

作业设计

1．C [命题①，②是真命题，命题③是假命题．]

2．C [∵OC →＝12

(a －b )，OC →与a 、b 共面， ∴a ，b ，OC →不能构成空间基底．]

3．B [A 中若OP →＝12OA →＋12

OB →，则P 、A 、B 三点共线，故A 错； B 中，假设存在实数k 1，k 2，使c ＋a ＝k 1(a ＋b )＋k 2(b ＋c )＝k 1a ＋(k 1＋k 2)b ＋k 2c ，

则有????? k 1＝1；k 1＋k 2＝0；

k 2＝1.方程组无解，

即向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，故B 正确．

C 中，a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉≤|a|·|b |，故C 错．

D 中，由AB →·AC →＝0?△ABC 是直角三角形，但△ABC 是直角三角形，可能角B 等于90°，则有BA →·BC →＝0.故D 错．]

4．A [因为OG →＝34OG 1→＝34

(OA →＋AG 1→) ＝34OA →＋34×23[12

(AB →＋AC →)] ＝34OA →＋14

[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14

OC →， 而OG →＝x OA →＋y OB →＋z OC →，

所以x ＝14，y ＝14，z ＝14

.] 5．A [设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，

则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i

＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．]

6．B [MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23

OA → ＝－23a ＋12b ＋12

c .] 7．(3,2，－1)，(－2,4,2)

8．3a ＋3b －5c

解析 ∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →，

又EF →＝EC →＋CD →＋DF →，

∴两式相加得

2EF →＝(EA →＋EC →)＋AB →＋CD →＋(BF →＋DF →)．

∵E 为AC 中点，故EA →＋EC ＝0，同理BF →＋DF →＝0，

∴2EF →＝AB →＋CD →＝(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )

＝6a ＋6b －10c ，∴EF →＝3a ＋3b －5c .

9.32

解析 AO →＝12A C 1→＝12

(AB →＋BC →＋CC 1→)． 故x ＝y ＝z ＝12，∴x ＋y ＋z ＝32

. 10．解 BF →＝12BP →＝12

(BO →＋OP →) ＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12

c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →

＝－a ＋12

(CO →＋OP →) ＝－a －12b ＋12

c . AE →＝AP →＋PE →

＝AO →＋OP →＋12

(PO →＋OC →) ＝－a ＋c ＋12

(－c ＋b ) ＝－a ＋12b ＋12

c . EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .

11．解

∵P A ＝AD ＝AB ，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，

∴可设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3.

以e 1、e 2、e 3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示． ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →

＝MA →＋AP →＋12

PC → ＝MA →＋AP →＋12

(PA →＋AD →＋DC →) ＝－12e 2＋e 3＋12

(－e 3－e 1＋e 2) ＝－12e 1＋12

e 3， ∴MN →＝????－12

，0，12，DC →＝AB →＝e 2＝(0,1,0)． 12．解 由题意，得F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(i ＋2j ＋3k )＋(－2i ＋3j －k )＋(3i －4j ＋5k )＝2i ＋j ＋7k .

又因为F ＝x i ＋y j ＋z k ，所以x ＝2，y ＝1，z ＝7.

13．证明 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ， 则EF →＝EB 1→＋B 1F →

＝12

(BB 1→＋B 1D 1→) ＝12

(AA 1→＋BD →) ＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12

(－a ＋b ＋c )， AB 1→＝AB →＋EB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b . ∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b ) ＝12

(b 2－a 2－a·b ＋a·b ＋c·a ＋c·b ) ＝12

(|b |2－|a |2)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1. 同理，EF ⊥B 1C .

又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .