中考数学反比例函数综合题附答案

中考数学反比例函数综合题附答案

一、反比例函数

1．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，

y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．

（1）求反比例函数y= 的解析式；

（2）求点P2和点P3的坐标；

（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）．

【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，

则B1与P1关于y轴对称，

∵B1（﹣1，1），

∴P1（1，1）．

则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=

（2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，

又点P1的坐标为（1，1），

∴OA1=2，

设点P2的坐标为（a，a+2），

代入y=得a=-1，

故点P2的坐标为（-1，+1），

则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，

设点P3的坐标为（b，b+2），

代入y=（>0）可得b=-，

故点P3的坐标为（-，+）

（3）1；（-，+）

【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，…

∴△P n B n O的面积为1，

由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ），

故答案为：1、（﹣， +）．

【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；

（2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；

（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.

2．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b= = - + =

+ ,

又∵≥0，∴ + ≥0+ ，即≥ ．

（1）根据上述内容，回答下列问题：在≥ （a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥ ，当且仅当a、b满足________时，a+b有最小值．

（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD＝2a， DB＝2b, 试根据图形验证≥ 成立，并指出等号成立时的条件．

（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．

【答案】（1）a=b

（2）解：有已知得CO=a+b,CD=2 ,CO≥CD,即≥2 .

当D与O重合时或a=b时，等式成立.

（3）解： ,

当DE最小时S四边形ADFE最小.

过A作AH⊥x轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，

所以DE最小值为8，此时S四边形ADFE= （4+3）=28.

【解析】【分析】（1）根据题中的例子即可直接得出结论。

（2）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，CD=，再由（1）中的结论即可得出等号成立时的条件。

（3）过点A作AH⊥x轴于点H，根据S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE，可知当DH=EH时DE最小，由此可证得结论。

3．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点．

（1）求m的值；

（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边

形OACD面积S的？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：∵反比例函数的图象都经过点A（3，3），

∴经过点A的反比例函数解析式为：y= ，

而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），

∴m=

（2）解：∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，），

与x轴、y轴分别交于C、D两点，

而这些OA的解析式为y=x，

设直线CD的解析式为y=x+b

代入B的坐标得： =6+b，

∴b=﹣4.5，

∴直线OC的解析式为y=x﹣4.5，

∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，﹣4.5），

设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

分别把A、B、D的坐标代入其中得：

解之得：a=﹣0.5，b=4，c=﹣4.5

∴y=﹣0.5x2+4x﹣4.5

（3）解：如图，

设E的横坐标为x，

∴其纵坐标为﹣0.5x2+4x﹣4.5，

∴S1= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+OD）×OC，

= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+4.5）×4.5，

= （﹣0.5x2+4x）×4.5，

而S= （3+OD）×OC= （3+4.5）×4.5= ，

∴（﹣0.5x2+4x）×4.5= ，

解之得x=4± ，

∴这样的E点存在，坐标为（4﹣，0.5），（4+ ，0.5）．

【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，又点B在反比例函数图像上，代入即可求得m的值；（2）先根据点A的坐标求得直线OA的解析式，再结合点B的坐标求得直线CD的解析式，从而可求得点C、D的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）先设出抛物线上E点的坐标，从而表示出面积S1，再求得面积S 的值，令其相等可得到关于x的二元一次方程，方程有解则点E存在，并可求得点E的坐标.

4．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）

（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；

（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．

①试求△PAD的面积的最大值；

②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.

由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：

①当x-3时，y=x+3；

②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，

在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，

则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），

把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，

得：，

解得：，

∴y=-x-3.

综上，新函数的解析式为y=.

（2）解：如图2，

①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，

∴a=4，

∵点C（1，4）在反比例函数y=上，

∴k=4，

∴反比例函数的解析式为y=.

∵点D是线段AC上一动点，

∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3

∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，

∴点P的坐标为（，m+3），

∴PD=-m，

∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，

∵a=<0，

∴当m=时，S有最大值，最大值为，

又∵-3<<1，

∴△PAD的面积的最大值为.

②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：

当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），

∵DP=3，DE=4，

∴EP与AC不能互相平分，

∴四边形PAEC不能为平行四边形.

【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.

5．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（1，4），B（m，n）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若二次函数的图象经过点B，求代数式的值；

（3）若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．

【答案】（1）解：将A（1，4）代入函数y＝得：k=4

反比例函数y＝的解析式是

（2）解：∵B（m，n）在反比例函数y＝上，

∴mn=4，

又二次函数y＝（x－1）2的图象经过点 B（m，n），

∴即n-1=m2-2m

∴

（3）解：由反比例函数的解析式为，令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2．

∴反比例函数的图象与直线y＝x交于点（2，2），（－2，－2）．

如图，

当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（2，2）时，可得a＝2；

当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（－2，－2）时，可得a＝－ .

∵二次函数y＝a（x－1）2图象的顶点为（1，0），

∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0＜a＜2或a＜－ .

【解析】【分析】（1）只需将点A的坐标代入反比例函数的解析式就可得出答案。（2）根据B（m，n）在反比例函数图像上得出mn=4，将点B的坐标代入y=（x-1）2得到n-1=m2-2m，再将代数式变形为用含mn和m2-2m的代数式表示，然后再整体代入即可解决问题。

（3）可先求出直线y=x与反比例函数y=交点的坐标，然后分a>0和a<0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过两交点时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题。

6．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y= （m≠0）的图象有公共点A（1，a）、D（﹣2，﹣1）．直线l与x轴垂直于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据图象回答，x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；

（3）求△ABC的面积．

【答案】（1）解：∵反比例函数经过点D（﹣2，﹣1），

∴把点D代入y= （m≠0），

∴﹣1= ，

∴m=2，

∴反比例函数的解析式为：y= ，

∵点A（1，a）在反比例函数上，

∴把A代入y= ，得到a= =2，

∴A（1，2），

∵一次函数经过A（1，2）、D（﹣2，﹣1），

∴把A、D代入y=kx+b （k≠0），得到：，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1

（2）解：如图：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，

∵直线l⊥x轴，N（3，0），∴设B（3，p），C（3，q），

∵点B在一次函数上，∴p=3+1=4，

∵点C在反比例函数上，∴q= ，

∴S△ABC= BC?EN= ×（4﹣）×（3﹣1）= ．

【解析】【分析】由反比例函数经过点D（-2，-1），即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；

结合图象求解即可求得x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；

首先过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，由直线l与x轴垂直于点N（3，0），可求得点E，B，C的坐标，继而求得答案．

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x与反比例函数y= 在第一象限内的图象相交于点A（m，3）．

（1）求该反比例函数的关系式；

（2）将直线y= x沿y轴向上平移8个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，连接AB，这时恰好AB⊥OA，求tan∠AOB的值；

（3）在（2）的条件下，在射线OA上存在一点P，使△PAB∽△BAO，求点P的坐标．

【答案】（1）解：∵点A（m，3）在直线y= x上

∴3= m，

∴m=3 ，

∴点A（3 ，3），

∵点A（3 ，3）在反比例函数y= 上，

∴k=3 ×3=9 ，

∴y=

（2）解：直线向上平移8个单位后表达式为：y= x+8

∵AB⊥OA，直线AB过点A（3 ，3）

∴直线AB解析式：y=﹣ x+12，

∴ x+8=﹣ x+12，

∴x= ．

∴B（，9），

∴AB=4

在Rt△AOB中，OA=6，

∴tan∠AOB=

（3）解：∵△APB∽△ABO，

∴，

由（2）知，AB=4 ，OA=6

即

∴AP=8，

∵OA=6，

∴OP=14，

过点A作AH⊥x轴于H

∵A（3 ，3），

∴OH=3 ，AH=3，

在Rt△AOH中，

∴tan∠AOH= = = ，

∴∠AOH=30°

过点P作PG⊥x轴于G，

在Rt△APG中，∠POG=30°，OP=14，

∴PG=7，OG=7

∴P（7 ，7）．

【解析】【分析】（1）先确定出点A坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）先求出直线AB解析式，进而得出点B坐标秒即可得出结论；（3）利用相似三角形的性质得出AP，进而求出OP，再求出∠AOH=30°，最后用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．

8．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线y= x+ 交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l，将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）.

（1）当直线l与直线y= x+ 平行时，求出直线l的解析式；

（2）若直线l经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；

（3）若直线l在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，直接写出符合条件的旋转角α的度数.

【答案】（1）解：当直线l与直线y＝ x＋平行时，设直线l的解析式为y＝ x ＋b，

∵直线l经过点C（1，0），

∴0＝＋b，

∴b＝，

∴直线l的解析式为y＝x?

（2）解：①对于直线y＝ x＋，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝?1，

∴A（0，），B（?1，0），

∵C（1，0），

∴AC＝，

②如图1中，作CE∥OA，

∴∠ACE＝∠OAC，

∵tan∠OAC＝，

∴∠OAC＝30°，

∴∠ACE＝30°，

∴α＝30°

（3）解：①如图2中，

当α＝15°时，

∵CE∥OD，

∴∠ODC＝15°，

∵∠OAC＝30°，

∴∠ACD＝∠ADC＝15°，

∴AD＝AC＝AB，

∴△ADB，△ADC是等腰三角形，

∵OD垂直平分BC，

∴DB＝DC，

∴△DBC是等腰三角形；

②当α＝60°时，易知∠DAC＝∠DCA＝30°，

∴DA＝DC＝DB，

∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；

③当α＝105°时，易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，∠DBC＝∠DCB＝15°，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；

④当α＝150°时，易知△BDC是等边三角形，

∴AB＝BD＝DC＝AC，

∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形，

综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.

【解析】【分析】（1）设直线l的解析式为y＝ x＋b，把点C（1，0）代入求出b即可；（2）①求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长；②如图1中，由

CE∥OA，推出∠ACE＝∠OAC，由tan∠OAC＝，推出∠OAC＝30°，即可解决问题；（3）根据等腰三角形的判定和性质，分情况作出图形，进行求解即可.

9．如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE.

（1）用含m的代数式表示a；

（2）求证：为定值；

（3）设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：将C（0，-3）代入函数表达式得，，∴（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.

由解得x1=－m，x2=3m.∴A(－m，0)，B(3m，0).

∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）.

∵AB平分∠DAE.∴∠DAM=∠EAN.

∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN, ∴ .

设点E的坐标为（x, ）,

∴ ,∴x=4m.

∴为定值.

（3）解：存在，

如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.

由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），

过点F作FH⊥x轴于点H，

在Rt△CGO和Rt△FGH中,

∵tan∠CGO＝ , tan∠FGH＝ , ∴ = .∴OG="3m,"

由勾股定理得，GF= ，AD=

∴ .

由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5.

∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】【分析】1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根

据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG

（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）

是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.

10．如图，正方形、等腰的顶点在对角线上(点与、不重合)，

与交于，延长线与交于点，连接 .

（1）求证： .

（2）求证：

（3）若，求的值.

【答案】（1）解：∵是正方形，

∴，，

∵是等腰三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴

（2）解：∵是正方形，

∴，，

∵是等腰三角形，

∴，

∵，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

（3）解：由(1)得，，，

∴，

由(2) ，

∴，

∵，

∴，

在中，

，

∴

【解析】【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；

（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质得到，∠APF=∠ABP，可证明△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；

（3）根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=90°，根据三角函数和已

知条件得到，由（2）可得，等量代换可得∠CBQ=∠CPQ即可求解．

11．小明利用函数与不等式的关系，对形如 ( 为正整数)的不等式的解法进行了探究．

（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：

①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：

的范围

的符号+﹣

由表格可知不等式的解集为．

②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：

的范围

的符号+﹣+

由表格可知不等式的解集为________．

③对于不等式，请根据已描出的点画出函数

(x+1)的图象；

观察函数的图象补全下面的表格：

的范围

的符号+﹣________________

________．

……

小明将上述探究过程总结如下：对于解形如 ( 为正整数)的不等式，先将按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．

（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：

①不等式的解集为________．

②不等式的解集为________．

【答案】（1）或；+；-；或

（2）或或；或且

【解析】【解答】(1)②由表格可知不等式的解集为或，

故答案为：或；③当时，，

当时，，

由表格可知不等式的解集为或，

故答案为：+，﹣，或；(2)①不等式

的解集为或或，

故答案为：或或；②不等式的解集为或且，

故答案为：或且

【分析】根据题意可知在表格中写出相应的函数值的正负性，借此来判断相应的不等式的解集.（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集．

12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．

①当m=1时，求线段AB上整点的个数；

②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

【答案】（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；

（2）解：①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令