青浦区2018年初三数学一模试卷与答案

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青浦区2017-2018学年第一学期九年级期终学业质量调研测试

数学试卷 2018.1

（完成时间：100分钟 满分：150分 ）

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】

1. 计算32

()x -的结果是（▲）

（A ）5x ； （B ）5x -； （C ）6x ； （D ）6x -． 2. 如果一次函数y kx b =+的图像经过一、二、三象限，那么k 、b 应满足的条件是（▲） （A ）0k >，且0b >；（B ）0k <，且0b <；（C ）0k >，且0b <；（D ）0k <，且

0b >．

3. 下列各式中，2x -的有理化因式是（▲）

（A ）2x +； （B ）2x -； （C ）2x +； （D ）2x -． 4．如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD =4，CD=6，那么:BC AC

是（▲）

（A ）3:2； （B ）2:3； （C ）3:13； （D ）2:13．

5. 如图2，在□ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 、BA 交于点F ，下列等式成立的是（▲）

（A ）AE CE ED EF =； （B ）AE CD ED AF =

； （C ）

AE FA ED AB =

； （D ）AE

FE

ED

FC

=

． 6. 在梯形ABCD 中，AD //BC ，下列条件中，不能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（▲） （A ）ABC DCB ∠=∠； （B ）DBC ACB ∠=∠； （C ）DAC DBC ∠=∠； （D ）

ACD DAC ∠=∠．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．因式分解：23a a += ▲ ． 8. 函数1

1

y x =

+的定义域是 ▲ ． A

B

C

D

E

F 图2

A

B

C

D

图1

学校 班级 准考证号 姓名

…………………密○……………………………………封○……………………………………○线……………………………

9. 如果关于x 的一元二次方程2+20x x a -=没有实数根，那么a 的取值范围是 ▲ ． 10. 抛物线24y x =+的对称轴是 ▲ ．

11. 将抛物线2y x =-平移，使它的顶点移到点P （-2，3），平移后新抛物线的表达式为

▲ ．

12. 如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是 ▲ ．

13. 如图3，传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1:3，把物体从地面A 处送到坡顶B 处时，物体

所经过的路程是12米，此时物体离地面的高度是 ▲ 米．

14. 如图4，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点．如果CA a =，CD b =，那么CB = ▲ （结

果用含a 、b 的式子表示）．

15. 已知点D 、E 分别在△ABC 的边BA 、CA 的延长线上，且DE //BC ，如果BC =3DE ，AC =6，那

么AE= ▲ ．

16. 在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=4，点G 为△ABC 的重心．如果GC=2，那么sin GCB ∠的值是

▲ ．

17. 将一个三角形经过放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角

形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”．如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是 ▲ ．

18. 如图5，在△ABC 中，AB =7，AC=6，45A ∠=，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，将△BDE 沿着DE

所在直线翻折，点B 落在点P 处，PD 、PE 分别交边AC 于点M 、N ，如果AD=2，PD ⊥AB ，垂足为点D ，那么MN 的长是 ▲ ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）

B

A

图3

D

C

B

A

图4

A

B

C

图5

计算：

()0

27213+2cos30--+-．

20.（本题满分10分）

解方程：2142

1242

x x x x +-=+--．

21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图6，在平面直角坐标系xOy 中，直线)0(≠+=k b kx y 与双曲线x

y 6

=相交于点A （m ，6）和点B （-3，n ），直线AB 与y 轴交于点C ．

（1）求直线AB 的表达式； （2）求:AC CB 的值．

22．（本题满分10分）

如图7，小明的家在某住宅楼AB 的最顶层（AB ⊥BC ），他家的后面有一建筑物CD （CD //

AB ），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A 处测得建筑物CD 的底部C 的俯角是43，顶部D 的仰角是25，他又测得两建筑物之间的距离BC 是28米，请你帮助小明求出建筑物

CD 的高度（精确到1米）．

（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47； sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）

23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）

如图8，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AC 、BC 上，线段BD 与AE 交于点F ，且

A

C

B

A

D

图7

图6

x

y

O

A B

C

CD CA CE CB ?=?．

（1）求证：∠CAE ＝∠CBD ； （2）若BE AB

EC AC

=，求证：AB AD AF AE ?=?．

24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）

如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2

0y ax bx c a =++>与x 轴相交于点

A （-1，0）和点

B ，与y 轴交于点

C ，对称轴为直线1x =．

（1）求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；

（2）联结AC 、BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；

（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．

25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）

如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点（点P 不与点A 、点

D 重合），点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ．

（1）当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值；

图9

C

B

A O

y

x

（2）设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；

（3）联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．

图10

Q

P D C

B

A 备用图

A B

C

D

青浦区2017-2018学年第一学期九年级期末学业质量调研测试

数学参考答案 2018.1

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．C ； 2．A ； 3．C ； 4．B ； 5．C ； 6．D ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．()

31+a a

； 8．1≠-x ； 9．1<-a ； 10．直线0x =或y 轴；

11．()2

23=-++y x ； 12．4:9；13．6； 14．2-b a ； 15．2； 16．2

3

； 17．63； 18．

18

7

． 三、（本大题7题，第19~22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19． 解：原式=3

21+31+22

3--?

．…………………………………………………………（8分） =225-．………………………………………………………………………（2分）

20．解：方程两边同乘()()22+-x x 得 ()2

24224-+-+-=x x x x ．…………………………（4分）

整理，得2

320-+=x x ．………………………………………………………………（2分） 解这个方程得11=x ，22=x ．…………………………………………………………（2分） 经检验，22=x 是增根，舍去．…………………………………………………………（1分） 所以，原方程的根是1=x ．……………………………………………………………（1分） 21. 解：

（1）∵点A （m ，6）和点B （-3，n ）在双曲线x

y 6

=

，∴m =1，n =-2． ∴点A （1，6），点B （-3，-2）．………………………………………………………（2分）

将点A 、B 代入直线=+y kx b ，得=63 2.；+??-+=-?k b k b 解得 =24.；

??=?

k b …………………（2分）

∴直线AB 的表达式为：24=+y x ．…………………………………………………（1分） （2）分别过点A 、B 作AM ⊥y 轴，BN ⊥y 轴，垂足分别为点M 、N ．……………………（1分） 则∠AMO ＝∠BNO ＝90°，AM =1，BN =3，……………………………………………（1分）

∴AM //BN ， ………………………………………………………………………………（1分） ∴

1

=3

AC AM CB BN =．…………………………………………………………………………（2分） 22．解：过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ．……………………………………………………（1分）

由题意得，AE = BC =28，∠EAD ＝25°，∠EAC ＝43°．………………………………（1分） 在Rt △ADE 中，∵tan ∠=DE EAD AE

，∴tan 25280.472813.2=??=?≈DE ．………（3分）

在Rt △ACE 中，∵tan CE

EAC AE

∠=

，∴tan 43280.932826=??=?≈CE ． ………（3分） ∴13.22639=+=+≈DC DE CE （米）．………………………………………………（2分） 答：建筑物CD 的高度约为39米． 23．（1）证明：∵CD CA CE CB ?=?，∴

CE CA

CD CB

=， ………………………………………（1分） ∵∠ECA ＝∠DCB ，……………………………………………………………………（1分） ∴△CAE ∽△CBD ，……………………………………………………………………（1分） ∴∠CAE ＝∠CBD ．……………………………………………………………………（1分） （2）证明：过点C 作CG //AB ，交AE 的延长线于点G ．

∴BE AB

EC CG =，…………………………………………………………………………（1分） ∵BE AB EC AC =，∴AB AB

CG AC =，……………………………………………………………（1分） ∴CG =CA ， ……………………………………………………………………………（1分） ∴∠G ＝∠CAG ，………………………………………………………………………（1分） ∵∠G ＝∠BAG ，∴∠CAG ＝∠BAG ．………………………………………………（1分） ∵∠CAE ＝∠CBD ，∠AFD ＝∠BFE ，∴∠ADF ＝∠BEF ．…………………………（1分） ∴△ADF ∽△AEB ，……………………………………………………………………（1分） ∴

AD AF

AE AB

=，∴AB AD AF AE ?=?．…………………………………………………（1分） 24．解：（1）∵抛物线()2

0=++>y ax bx c a 的对称轴为直线1x =， ∴12=-

=b

x a

，得2=-b a ．…………………………………………………………（1分）

把点A （-1，0）代入2

=++y ax bx c ，得=0-+a b c ，

∴3=-c a ．………………………………………………………………………………（1分） ∴C （0，-3a ）．…………………………………………………………………………（1分）

（2）∵点A 、B 关于直线1x =对称，∴点B 的坐标为（3，0）．…………………………（1分） ∴AB =4，OC =3a ．…………………………………………………………………………（1分） ∵1

2ABC

S

AB OC =

?，∴14362

??=a ， ∴a =1，∴b =-2，c =-3，…………………………………………………………………（1分） ∴2

23=--y x x ．………………………………………………………………………（1分）

（3）设点Q 的坐标为（m ，0）．过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为点H ．

∵点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称， ∴QC =QG ，QA =QF = m +1，QO =QH = m ，OC =GH =3， ∴QF = m +1，QO =QH = m ，OC =GH =3，∴OF = 2m +1，HF = 1． Ⅰ.当∠CGF ＝90°时，

可得∠FGH ＝∠GQH ＝∠OQC ， ∴tan tan FGH OQC ∠=∠，∴HF OC

GH OQ =，∴133=m

， ∴=9m

∴Q 的坐标为（9，0）．……………………………………………………………………（2分） Ⅱ.当∠CFG ＝90°时，

可得，tan tan FGH OFC ∠=∠，∴

HF OC

GH OF =，∴13321

=+m ， ∴=4m ，Q 的坐标为（4，0）．……………………………………………………………（1分） Ⅲ.当∠GCF ＝90°时，

∵∠GCF<∠FCO<90°，∴此种情况不存在．……………………………………………（1分） 综上所述，点Q 的坐标为（4，0）或（9，0）． 25．解：（1）延长PQ 交BC 延长线于点E ．设PD =x ．

∵∠PBC ＝∠BPQ ，

∴EB=EP ．…………………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是正方形，

∴AD //BC ，∴PD ∶CE= QD ∶QC= PQ ∶QE ，

∵QD ＝QC ，∴PD ＝CE ，PQ ＝QE ． ……………………………………………………（1分） ∴BE ＝EP= x +2，∴QP ＝

()1

22

x +．……………………………………………………（1分） 在Rt △PDQ 中，∵222PD QD PQ +=，∴2

2

2

1112x x ??

+=+ ???

，解得43x =．……（1分）

∴2

3

AP AD PD =-=

，∴211

323

tan AP AB ABP =?=∠=．………………………………（1分） （2）过点B 作BH ⊥PQ ，垂足为点H ，联结BQ ．……………………………………（1分） ∵AD //BC ，∴∠CBP ＝∠APB ，∵∠PBC ＝∠BPQ ，∴∠APB ＝∠HPB ，……………（1分） ∵∠A ＝∠PHB ＝90°，∴BH = AB =2，∵PB = PB ，∴Rt △PAB ? Rt △PHB ， ∴AP = PH =x ．……………………………………………………………………………（1分） ∵BC = BH=2，BQ = BQ ，∠C ＝∠BHQ ＝90°，

∴Rt △BHQ ? Rt △BCQ ，∴QH = QC= y ，……………………………………………（1分） 在Rt △PDQ 中，∵222PD QD PQ +=，∴()()()2

2

2

22x y x y -+-=+，

∴ 422

x y x -=

+．……………………………………………………………………………（1分）

（3）存在，∠PBQ ＝45°．……………………………………………………………（1分）

由（2）可得，2

1

PBH ABH ∠=

∠，2

1

HBQ HBC ∠=

∠，………………………………（2分）

∴()90452

2

1

1

PBQ ABH HBC ∠=

∠+∠=

??=?．…………………………………………（1分）