武汉理工大学 高数A下 2004级 A卷及答案 理工科

武汉理工大学考试试题（A 卷）

备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）应按顺序答在答题纸上。

一、单项选择题（本题共5小题，每小题

3分，满分15分）

1．二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的偏导数存在，是(,)f x y 在该点连续的（ ）. A ．充分但非必要条件

B ．必要但非充分条件

C ．充分必要条件

D ．既非充分也非必要条件

2．设函数()f u 连续，区域{}

22(,)2D x y x y y =+≤，则()D

f xy d σ??=（ ）.

A ．1

1

()dx f xy dy

-? B ．2

02()dy f xy dx ?

C

．2sin 20

(sin cos )d f r dr πθ

θθθ??

D ．2sin 20

(sin cos )d rf r dr π

θ

θθθ??

3．下列级数中条件收敛的级数是（ ）.

A ．∑∞

=+1)1(1n n n B ．1n n ∞= C ．21(1)2n n n n ∞=-∑ D ．n ∞

=

4．设L 是平面上不包含原点的任一光滑有向闭曲线，则22

L

ydx xdy

x y

-=+? （ ）. A ．π B ．2π C ．2π- D ．0 5．方程36x y y y xe '''--=特解*y 的形式可设为（ ）.

A ．3()x ax b e +

B ．23()x ax bx e +

C ．3x axe

D ．23x ax e 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

1．设函数(,)z z x y =由方程0z e xyz -=所确定，则z

x ?=?________. 2．设()f x 连续，1

()()(1)t

t

y

F t dy f x dx t =>??，则(2)F '= .

3．设∑是平面123

x y

z -+=位于第四卦限的部分，则∑的面积A =______.

4．设2

()(01),f x x x =≤<而1

()sin n n S x b n x π∞

==∑，其中1

2()sin n b f x n xdx π=?，

1,2,n = ，则12S ??

- ???

= .

5．若221233,3,3x y y x y x e ==+=++都是微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的解，则此方程的通解为 .

三、本题共2小题，每小题8分，满分16分

1．设2

2

(,)xy

z f x y e =-，f 具有连续的二阶偏导数，求y

x z

???2.

2．在曲面z xy =上求一点，使这点处的法线垂直于平面390x y z +++=，并写出这法线的方程.

四、本题共3小题，每小题8分，满分24分

1．求22s i n (2s i n )(c o s )2

x x y

L y e y x d x e y e d y --+-?，L

为y =(0,0)O 到

(1,0)A 的有向曲线弧.

2设∑为球面2222

(0)x y z R R ++=>的外侧，计算()

3333

2

222

.x dydz y dzdx z dxdy

I x

y z

∑

++=++??

3．将函数x

x f +=

31

)(展开成(2)x -的幂级数，并指出收敛域. 五、本题满分10分

求内接于半径为a 的球面且有最大体积的长方体.

六、本题满分10分

设级数2468

2242462468

x x x x ++++?????? 在x -∞<<+∞内的和函数为()S x ，求：

（1）()S x 所满足的一阶微分方程； （2）()S x 的表达式. 七、本题满分5分

设40

tan n

n a xdx π

=?，证明：对任意的常数0α>，级数1n

n a n

α

∞

=∑

收敛.

2005年7月高数A （下）参考答案

一、 单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1. D ； 2.D ； 3.B ； 4.D ； 5.B.

二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1.

z

z yz

x e xy

?=?-； 2.(2)f ； 3.72； 4.14-； 5.2123x y c x c e =++. 三、本题共2小题，每小题8分，满分16分 1.

''122xy z

xf ye f x

?=+?（4分）， 2''2''2''2''''1112212222422xy xy xy xy xy z xyf x e f y e f xye f xye f e f x y

?=-+-+++?? （8分）. 2．解 设所求点为000(,,)x y z ，

曲面在该点的切平面的法向量为00(,,1)n y x =-

.（2分）

依题意得：

001131

y x -== （4分），则0003,1,3x y z =-=-=（5分）. 即所求点为：(3,1,3)--（6分），该点处的法线方程为：

313131

x y z ++-==（8分）. 四、本题共3小题，每小题8分，满分24分 1.解 22sin 2sin ,cos 2

x

x y y

P e

y x Q e y e =--

=-，

2211

2cos (2cos )22

x x Q P e y e y x y ??-=--=??（2分）. 从而

128

L

AO

L AO

D

d π

σ++==-=-?

?

?

??

（5分）. 又

1

1()2AO

x dx =-=

?

?（7分），所以1

82

L π=--?（8分）.

2．解 3333

1

I x dydz y dzdx z dxdy R ∑

=

++??

（2分）2

223

3

()x

y z dv R Ω

=

++???（5分）

22

2

3

3sin R

d d r r dr R

π

πθ??=??

??

（7分）2

125

R π=（8分）.

3.解 11

1()25(2)5

15

f x x x =

=?-+-+（2分）11255n

n x ∞=-??

=- ???∑（6分） 1

1

(2)(1),375n

n

n n x x ∞

+=-=--<<∑（8分）. 五、本题满分10分

解 设球面的方程为：2222x y z a ++=，长方体在第一卦限的顶点坐标为(,,)x y z . 则长方体的体积为：8V xyz =（2分）.

设()

2222

(,,)F x y z xyz x y z a λ=+++-（4分）

则 222220,20,

20,.

x y

z F yz x F xz y F xy z x y z a λλλ=+=??=+=??=+=??++=? （7分），解得

x y z ===.（9分）

的正方体时，其体积最大.（10分）

六、本题满分10分

解 （1）2468

(),2242462468x x x x S x x =

++++-∞<<+∞?????? （1分） 357

'

()224246

x x x S x x =+

+++??? (2分) 246

(1)(1())224246

x x x x x S x =+

+++=+??? （4分） 即'

()(1()),(0)0S x x S x S =+=.（5分） （2）对于可分离变量的微分方程：'

()(1())S x x S x =+

解得： 22

()1x S x Ce =-（8分）

，由(0)0S =得1C =（9分） 故22

()1,x S x e x =--∞<<+∞.（10分）

七、本题满分5分

证明 由于 1

4200tan 1n

n

n t a xdx dt t π

==+??1011

n t dt n <=+? 则 1

01

n a n <<+ （2分） 从而

1

11

(1)n a n n n n ααα+<<

+（3分） 当0α>时，级数

∑∞

=+1

1

1

n n α

收敛，（4分）

故级数

1n

n a n

α

∞

=∑收敛.（5分）