固体物理期末考试

一、概念、简答

1.晶体，非晶体，准晶体；(p1,p41,p48)

答:理想晶体中原子排列十分规则,主要体现是原子排列具有周期性,或称为长程有序,而非晶体则不具有长

程的周期性.,因此不具有长程序,但非晶态材料中原子的排列也不是杂乱无章的,仍保留有原子排列的短程序.准晶态:具有长程序的取向序而没有长程序的平移对称序;取向序具有晶体周期性所不能容许的点群对称性,沿取向序对称轴的方向具有准周期性,有两个或两个以上的不可公度特征长度按着特定的序列方式排列. 2. 布拉菲格子；(p11)

答:布拉菲格子是一种数学上的抽象,是点在空间中周期性的规则排列,实际晶格可以看成在空间格子的每个格点上放有一组原子,它们相对位移为r,这个空间格子表征了晶格的周期性叫布拉菲格子.

3.原胞，晶胞；(p11)

答:晶格的最小周期性单元叫原胞.晶胞:为了反映晶格的对称性,选取了较大的周期单元,我们称晶体学中选

取的单元为单胞.

4.倒格子，倒格子基矢；（p16）

5. 独

立对

称操

作：m、

i、1、2、

3、4、

6、

6.七个

晶系、

十四

种布

拉伐格子；（p35）

答:

7.第一布里渊区:倒格子原胞

答：在倒格子中取某一倒格点为原点，做所有倒格矢G 的垂直平分面，这些平面将倒格子空间分成许多包围原点的多面体，其中与原点最近的多面体称为第一布里渊区。

8.基矢为 的晶体为何种结构；若 又为何种结构？

解：计算晶体原胞体积：

由原胞推断，晶体结构属体心立方结构。 若 则

由原胞推断，该晶体结构仍属体心立方结构。

9.固体结合的基本形式及基本特点。（p49p55、57p67p69

答：离子型结合以离子而不是以原子为结合的单位，共价结合是靠两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键，具有饱和性和方向性。金属性结合的基本特点是电子的共有化，在晶体内部一方面是由共有化电子形成的负电子云，另一方面是侵在这个负电子云中的带正点的各原子实。范德瓦尔斯结合往往产生于原来有稳固电子结构的原子或分子间，是一种瞬时的电偶极矩的感应作用。 10.是否有与库仑力无关的晶体结合类型？

答：共价结合中，电子虽然不能脱离电负性大的原子，但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子，形成电子共享形式，通过库仑力把两个原子连接起来。离子晶体中，正负离子的吸引力就是库仑力。金属结合中，原子依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着。分子结合中，是电偶极矩把原本分离的原子结合成晶体，电偶极矩的作用力实际上就是库仑力。氢键结合中，氢先与电负性大的原子形成共价结合后，氢核与负电中心不再重合，迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合。可见，所有晶体结合类型都与库仑力有关。

11.为什么许多金属为密堆积结构？

答：金属结合中，受到最小能量原理的约束要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低（绝对值尽可能的大原子实越紧凑，原子实与共有电子电子云靠的越紧密，库仑能越低，因此，许多金属结构为密积结构。

12.引入玻恩——卡门条件的理由是什么?

答：由原子运动方程可知，除原子链两端的两个原子外其他任一个原子的运动都与相邻的两个原子运动相关，原子链两端的两个原子只有一个相邻原子，其运动方程同其他原子不同，引入玻恩——卡门条件方便于求解运动方程。 并且引入玻恩——卡门条件后 ，实验测得的振动谱与理论相符的事实说明玻恩——卡门边界条件是目前较好的一个边界条件。

13.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？

答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子作相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞作整体运动，振动频率较低，他包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格晶体不存在光学支格波。 14.布洛赫定理（p145）

15.紧束缚模型电子的能量是正值还是负值

答:紧束缚模型电子在原子附近的几率大，远离原子的几率很小，在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近，因此紧束缚模型电子能量与在孤立原子中的能量相近，孤立原子中电子能量是一个负值，所以紧束缚模型电子能量是一负值。

16.本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同？

答：在低温下，本征半导体能带与绝缘体的能带结构相同。但是本征半导体禁带较窄，禁带宽度在2个电子伏特以下。由于禁带窄，本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发跃迁到禁带上面空带底部，使得满带不满，空带不空，二者都对导电有贡献。

i a a

=1j a a

=2)(2

3k j i a a

++=i

a k j a a 2

3)(23

++=22

22000

0)(3

321a a

a a a a a a a ==??=Ω

17.布洛赫函数满足 为什么说上式中的具有波矢的意义？ 答：人们总可以把布洛赫函数展成傅立叶级数 其中 是电子的波矢。将 代入 得到 其中利用 由上式可知， 有波矢的含义。

二、证明与计算 项 目 简立方 体心立方 面心立方 晶胞体积

a3 a3 a3 每个晶胞所含格点数 1 2

(即1+8×1/8) 4

(即 8 × 1/8+6 × 1/2) 原胞体积 a3 a3/2 a3/4 最近邻数 6 8 12

最近邻距离

a

2 倒格子与正格子的区别与联系

例1 面心立方晶格，晶格常数为 原胞体积为

第一布里渊区体积为

例2 体心立方晶格，晶格常数为 原胞体积为

第一布里渊区体积为

例3：知某种晶体固体物理学原胞基矢为 （1）求原胞体积。（2）求倒格子基矢（3）求第一布里渊区体积

例4：证明正格矢和倒格矢之间的关系式为： 例5：证明：不存在5度旋转对称轴。

3.课后习题：

1.1证明：原子球半径为r ，晶格常数a 1.2、试证明六方密排密堆积结构中

证明：ABCD 四原子球构成四面体结构，

1.3试证明：面心立方的倒格子为体心立方。 1.3试证明：体心立方的倒格子为面心立方

1.8画出体心立方和面心立方晶格结构在(100),(110),(111)面上的原子排列 1.9指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面交线的晶向 (111)面与(110)面交线的晶向 ? 第二章

?

问题：计算马德隆常数证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为

证明方法

4.4、用紧束缚近似法求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相应的能带函数。 解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。

（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S 态电子的能量可表示成：

)

()(r e R r n R k i n

ψψ?=+r G k i h n n e

G k a r

?+'∑+'=)()()(ψk

')(r ψ)()(r e R r n R k i n ψψ?=+n n R k i R k i e e ??'=m

R G n h π2=?

k k

'=2

3a 2

2a a

a

j a i a a 2321+=j a a a

2

322+

-=k

c a

=3为整数）m m R G (2π=?

a

633.1382

1≈??

?

??=a c ]

011[2

ln 2=α

在面心立方中，有12个最近邻，若取0m R =，则这12个最近邻的坐标是： ①(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0)2222a a a a

②(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1)2222a a a a

③

(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1)2222

a a a a

由于S 态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此()S J R 有相同的值，简单表示为J 1=()S J R 。又由于s 态波函数为偶宇称，即()()s s r r ??-=

∴在近邻重叠积分*()()()()()s i s s i J R R U V R d ?ξξ?ξξ??-=--???

中，波函数的贡献为正

∴J 1＞0。

于是，把近邻格矢S R 代入()s S E R 表达式得到：

=()()()()2222

01x y x y x y x y a

a a a

i k k i k k i k k i k k S J J e e e e ε-+----+---?--+++?? ()()()()2

2

2

2

y z y z y z y z a

a

a

a

i k k i k k i k k i k k e e e e -+----+---+++++

()()()()2

2

2

2

x z x z x z x z a

a

a

a

i k k i k k i k k i k k e

e

e

e

-+----+---?+++??

=012cos ()cos ()cos ()cos ()22

22

S x y x y y z y z a a a a J J k k k k k k k k ε?????--++-+++-???????

?

?

?

=014cos

cos cos cos cos cos 222222s x y y z z x a a a a a a J J k k k k k k ε??--++???

?

（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：

4.7、有一一维单原子链，间距为a ，总长度为N a 。求（1）用紧束缚近似求出原子s 态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s 态只有一个电子，求等于T=0K 的费米能级0

F E 及0

F E 处的能态密度。 ＜解＞010101(1),()()2cos 2cos ika ika s

s E k J J e e J J ka E J ka εε-=--+=--=-

(2) ,1121()2222sin sin L dk Na N

N E dE J a ka J ka

πππ=?

?=?=

(3), 0

00

22()22222F

k F F F Nak Na N k dk k k a

πρππ=

?=??=∴=?

5.1、设有一维晶体的电子能带可写成 2

2

71

()(cos cos 2)88

E k ka ka ma =-+， 其中a 为晶格常数，m 是电子的质量。 试求（1）能带宽度；

（2）电子在波矢k 状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。

解：（1） 2

2

71

()(cos cos 2)88

E k ka ka ma =

-+ =2

2ma

?7

8－cosk a +18(2cos 2ka －1)] ＝

2

2

4ma ?(cos ka －2)2－1?

当ka ＝(2n+1)?时,n=0,?1,?2… 当ka =2n ?时, min ()0E k = 能带宽度＝2

max min 2

2E E ma -=

（2）1()1

(sin sin 2)4

dE k ka ka dk ma υ=

=- (3) 222*

11

(cos cos 2)2E k m m ka ka -????==-??????

当0k =时,带底，*2m m = 当k a π

=±

时,带顶，*2

3

m m =-