微分方程稳定性分解

带有时滞的动力系统的运动稳定性

分五部分内容，第一部分是Понтрягин定理，给出解实部、虚部的形式；第二部分分析了线性系统的一般性质、特征方程重根时解的表示和解的指数估计；第三部分讨论解的存在唯一性；第四部分探讨解的表达式；第五部分给出Фрид定理。以此说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。

直接法的基本定理

一、Понтрягин定理

要讨论的常系数线性系统的滞量τ为常数，所指的滞后型与中立型系统分别为1()()n

i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑，

1

()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2,

,i n =0τ>，

这时，相应的特征方程分别是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=， 0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=。

对0τ=的情形0ij ij ij a b e λτδλ-+-=为一代数方程1

10n n n P P λλ

-+++=。

在常微分方程解的稳定性理论中，关于特征方程()0P λ=的根的实部符号这样一个问题是极其重要的。如果给了方程组的平衡态之位置及其对应的特征多项式()P λ，则欲是平衡态的位置稳定，其充要条件是特征多项式()P λ的所有根都有负实部。

但是，现在的特征方程0ij ij ij a b e λτδλ-+-=，0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=已不再是代数方程，可系统的稳定性仍然与特征根的分布紧紧联系在一起，这两个特征方程的一切根i λ都有0i Re λδ≤<时，系统

1()()n

i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑，

1

()()()n

i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2,

,i n =0τ>

的零解是渐进稳定的。

不论是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=还是0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=，都把它们放在复平面上来考虑零点分布。记λ为z ，一般地，考虑方程()(,)z H z h z e =的全部零点的分布状况，特别是零点全在左半平面的判断准则。

下面记r 为(,)h z t 关于z 的次数（这里z t e =），s 为(,)h z t 关于t 的次数，称形如r s az t 的项为主项（a 为常数）。Понтрягин解决了两个问题：

（i ）如果多项式(,)h z t 没有主项，则函数()H z 必有无限个零点，且这些零点可取任意大的正实部。（系统不稳定）

（ii ）如果多项式(,)h z t 有主项，为了解决前面提出的问题，必须研究函数

()H z 在虚轴上的性态，也就是在z iy =时的性态，这里y 是实变元。显然函数()

H yi 此时可分解成实部和虚部，即()()()H yi F y iG y =+，其中： ()(,cos ,sin )F y f y y y =，()(,cos ,sin )G y g y y y =，

且(,,)f y u v 与(,,)g y u v 是多项式。要使函数()H z 所有根都是负实部，充要条件是使函数()F y 和()G y 的根都是实的，而且在这当中至少对某一个y 值有不等式

()()()()0G y F y F y G y ''->。

关于判定形如()F y 的函数，它的全部根都是实的这样一个问题，可以按照下列两个原则去解决：

（1）要使函数()F y 的所有根都是实的，充要条件是从充分大的k 开始，函数

()F y 在区间22k y k ππ-≤≤上有4sk r +个根，这里所有的根都是实的。

（2）从充分大的开始，保证没有复根而只有实根。

定义1：设(,)h z t 是两个变量z 和t 的具有实的或复的常系数的多项式

,(,)m n mn m n

h z t a z t =∑，当0rs a ≠且指数r 与s 同时取它们的极大值时，称项r s rs a z t 为

上述多项式的主项。即若在上述多项式中取出任何另外的一项m n mn a z t ，0mn a ≠则

有（i ）r m >，s n >； （ii ）r m =，s n >； （iii ）r m >，s n =中之一。

（i ）、（ii ）、（iii ）都是在保证r 与s 最大，且出现在同一项中。显然，不是所有的多项式都有主项。

1、缺主项时(,)z h z e （也就是(,)h z t ）的零点分布

定理1 在,(,)m n mn m n

h z t a z t =∑缺少主项的情况下，函数(,)z h z e 必定有无穷多个具有

任意大正实部的零点集合。 2、函数(,cos ,sin )f z z z 的零点

设(,,)f z u v 为z ，u ，v 的时常系数多项式，则(,cos ,sin )()f z z z F z =。它是变量z 的整超越函数（将变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、

开方运算表示的函数称为整超越函数），并且在变量z 取实数值时，()F z 就取实值。

研究()F z 只有实根的充要条件，(,,)f z u v 的展式为

()

,(,,,)(,)m n m m n

f z u v z u v ?=∑，

其中()

(,)n m u v ?是u ，v 的n 次齐次式。

后面将设cos u z =，sin v z =，由于1u ≤，1v ≤及221u v +=，故可假定()(,)n m u v ?不能被22u v +除尽。若()

(,)n m u v ?能被22u v +除尽，则220u v +=1,u v i ?==±。所以可以把对(),(,,,)(,)m n m m n

f z u v z u v ?=∑中的()(,)

n m u v ?所做的假设改写成

()(1,)0n m i ?±≠，

这是对(),(,,,)(,)m n m m n

f z u v z u v ?=∑中的所有这种项而言的。

记()

,(,,,)(,)m n m m n

f z u v z u v ?=∑中的首相为()(,)r s r z u v ?，此时r 与s 均为最大。

定理2 如果多项式()

,(,,,)(,)m n m m n

f z u v z u v ?=∑没有主项，则函数()F z 必有无限多个

非实的根。

对()

,(,,,)(,)m n m m n

f z u v z u v ?=∑存在首项的情形，将首项取出，则有

()()

*(,,)(,)(,)r s m n m m r

n s

f z u v z u v z u v ??<≤=+∑

其中()*(,)s u v ?中不仅含有u ，v 的齐次式的最高次项，而且也可能含有u ，v 的齐次式的较低次项，因此()*(,)s u v ?已不是u ，v 的s 次齐次多项式，可以写成

()()*(,)(,)s n r n s

u v u v ??≤=∑。此时函数()()

**()(cos ,sin )s s z z z ?Φ=显然有周期2π。

下面来证明在2()a x a z x iy π≤≤+=+中函数()

*()s z Φ只有有限个根，也就是有

2s 个根。这样的话就可知必存在无限点集{}()a a ε=，使得对任何y 都有

()

*()0s iy εΦ+≠，在较多的情况下ε可取成零。

定理3 设(,,)f z u v 的首项为()(,)r s r z u v ?，又设ε使()*()0s iy εΦ+≠对所有实的y 都

成立，则在带形域22k x k πεπε-+≤≤+中（这里z x iy =+），()F z 由某个大的k 起将有4sk r +个根。因此，为了要使()F z 只有实根，充要条件是由某个大的k 起

在22k x k πεπε-+≤≤+（z x iy =+）中函数()*()s z Φ有2s 个根。

定理2与定理3给出了函数(,cos ,sin )f z z z 只有实根的充要条件，当(,,)f z u v 无主项时，知(,cos ,sin )f z z z 有无限多个非实的根。当有主项时，函数(,,)f z u v 是否有无限多个非实的根？

定理4 ()()

*(,,)(,)(,)r s m n m

m r

n s

f z u v z u v z u v ??<≤=+∑有主项()()*(,)(,)s n r n s

u v u v ??≤=∑。 （1）如果()()

**()(cos ,sin )s s z z z ?Φ=有非实的根，则函数

()(,cos ,sin )F z f z z z = 有无限多个非实的根。

（2）如果()*()s z Φ只有实根，而且是单根，则函数()F z 有有限个非实的根。

3、(,)z h z e 有主项时的零点分布

,(,)m n mn m n

h z t a z t =∑，又r s rs a z t 为,(,)m n mn m n

h z t a z t =∑的首项。

将,(,)m n mn m n

h z t a z t =∑中的r z 的系数取出，得()

*,(,)()r s m n mn m r n s

h z t z x t a z t <≤=+

∑

。

函数()

*()s z x e 显然是z 的以2i π为周期的函数。又在2b y b π≤<+中又不多于s 个根，因此存在实数0ε>，使得对任何x 有()*()0s x i x e ε+≠。

定理5 有上述条件，以k N 记(,)z h z e 在22(0,)k y k x z x iy πεπε-+≤≤+>=+中根的个数。设(,)z h z e 在虚轴上无根，即(,)0iy h iy e ≠。当y 由2k πε-+变到2k πε+时，

向量(,)iy W h iy e =所转的角度记做k V ，则1

2(2)2

k k

k V s k N r π

δ=-++，其中当k →∞

时0k δ→。

定理5表明研究()(,)z H z h z e =在虚轴上的情形是很重要的，()H z 在虚轴上可表示成

()()()(,cos ,sin )(,cos ,sin )H iy F y iG y f y y y ig y y y =+=+，

(,,)f y u v ，(,,)g y u v 为多项式。考虑(,)h z t 与f ，g 之间的关系，令

()()(,)(,)()n n n u v i u v u iv αβ+=+，

这里()(,)n u v α与()(,)n u v β是实系数多项式，则有 ()1(,)()()2n n n u v u iv u iv α??=

++-??，()

1(,)()()2n n n u v u iv u iv i

β??=+--??。 下面证明多项式()()()(,)(,)()n n n a u v b u v u iv αβγ+=+，当a ，b 均为实数时，且不同时为零时满足条件()(1,)0n i γ±≠。由()(,)n u v α，()(,)n u v β的假定得

()()()(1,)(1,)(1,)n n n i a i b i γαβ±=±+±

2222(1)(1)(1)(1)22n n

n n a b i i i i i ????=

±++±-???? 11

()22()2

n n a ib a ib -=+=+，

同样也可以直接看出

()(,)(,,)(,,)iy H iy h iy e f y u v ig y u v ==+()(),()((,)(,))m m n n mn

mn m n

a ia i y u v i u v αβ'''=++∑。由,(,)m n mn m n

h z t a z t =∑知道mn

mn mn a ia a '''+=，其中mn a '，mn a ''为实数。如果令

()

,()

,(,)(,)

(,,)(,,)m n m m n

m n m m n f y u v g y y u v u v v y u ?ψ??

=?=??∑∑， 即

()

()()()

()

()

(,)((,)(,))(,)((,)(,))n n n m mn mn n n n m

mn

mn u v a u v a u v u v a u v a u v ?αβψαβ'''=±-'''=±+，

这里的符号与阶数由m 被4除的余数而定。设λ，μ为两个不同时为零的实数，

则()()

,(,,)(,,)((,)(,))m n n m m m n

f y u v

g y u v y u v u v λμλ?μψ+=+∑。

由

()

()()()

()

()

(,)((,)(,))(,)((,)(,))n n n m mn mn n n n m

mn

mn u v a u v a u v u v a u v a u v ?αβψαβ'''=±-'''=±+得

()()()()

(,)(,)(,)(,)n n n n m m m m u v u v a u v b u v λ?μψαβ+=+。

因为

2

22()()mn

mn mn

mn mn mn mn

a a a a a a a '''-'''=+='''，故当0mn a ≠时有20mn a ≠。 若r s rs a z t 为(,,)h y u v 的首项，则(,,)(,,)f y u v g y u v λμ+的首项是 ()()()()((,)(,))r s r s s y u iv y a u v

b u v γαβ+=+，

这里α与β不同时为零，故它满足条件()()*(,)(,)s n r n s

u v u v ??≤=∑。存在实数ε，使对

任何实数y 有()()

**()()0s s iy iy λεμψεΦ+++≠。显然在此条件下对任何实数x 有()*()0s x i x e ε+≠。

定理6 设(,)h z t 有首项r s rs a z t ，令()(,)z H z h z e =及()()()H iy F y iG y =+，若()H z 的所有根都在虚轴的左半平面，则当y 由-∞变到+∞时，向量()W H iy =总以正速度向正方向旋转。其解析表达式为

()()()()0G y F y F y G y ''->，

当y 由2k π-变到2k π时，ω转过14k s r ππδ++，1lim 0k δ→∞

=。反之，当

22k y k ππ-≤≤，W 转过14k s r ππδ++，则它必以正速度向正方向旋转，且()

H z 的零点均在虚轴的左半平面（须假定()H z 在虚轴上无零根）。

定义2 ()p y ，()q y 为实变数的两个实函数，它们的零点是交错的。如果满足下列

三个条件：（i ）零点均为单重的，

（ii ）()p y 与()q y 无相同的零点，

（iii ）在一个函数（()p y 或()q y ）的两个根之中必有另一个函数的根。

定理7 设(,)h z t 有首项r s rs a z t ，()(,)z H z h z e =，()()()H iy F y iG y =+，若()H z 的所有零点在虚轴的左方，则()F y ，()G y 的零点是实的且互相交错，并对所有的y 有()()()()0G y F y F y G y ''->。

欲使函数()H z 的零点均在虚轴的左方，只需要满足下面三个条件之一即可：

（1）()F y ，()G y 的零点是实的，交错的，且不等式()()()()0G y F y F y G y ''->至少有一个y 满足。

（2）如果函数()F y 的所有零点都是实的，且它的每个零点均满足

()()()()0G y F y F y G y ''->，即有00()()0F y G y '<。

（3）函数()G y 所有零点是实的，且它的每个零点满足

()()()()G y F y F y G y ''->，即有00()()0G y F y '>。

定理8 设()(,)z H z h z e =，此地(,)h z t 具有首项r s rs a z t 。以()*()s x t 表示r z 在多项式(,)h z t 中的系数，如果函数()*()s z x e 至少有一根在虚轴的右方，则函数()H z 就有无

限多个零点在虚轴的右方。

如果()

*()s z x e 的零点均在虚轴左方，则函数()H z 在虚轴右方有有限个的零点。 关于()*()s z x e 的零点是否都在虚轴左方，可化为多项式来决定。首先，()*()s z x e 的零点是否都在虚轴左方，由()

*()s z x e 的零点在1t <而定。作变换**(1)

(1)z t z +=-，

则将圆1t <变为*Re()0z <。由此，()*()s x t 中作变换**(1)

(1)z t z +=

-，取出份子运

用定理6及定理7来解决*z 的多项式的根的问题。

强调指出：这些定理提供的判断准则下实际应用中难以进行的，仅仅是从理论上解决了原先提出的问题。在实际中可行的判断准则当然是仅仅是从理论上解

决了原先提出的问题。在实际上可行的判断标准应当是代数的，而不是超越的。 二、线性系统的若干性质

以下讨论三点，第一是线性齐次和非齐次差分微分方程与常微分方程类似的一些列基本性质。第二是特征方程有重根时解的表示问题。第三是为了阐明自制线性系统可以应用Laplace 变换求解，并且用反演公式表示它的解，引进线性系统解的指数估计。为避免冗长的记号和计算以一阶系统为例，结果皆适用于n 阶系统。 1、一般性质

设x R ∈，0a ≠，,,0b c τ≥皆为常数或t 的连续函数。记

()()()()L x ax t bx t cx t τ=++-，

则其次与非其次的一阶纯量方程分别为()0L x =，()()L x f t =。:f R R →，为给定的连续函数。则有

（i ）若10(,,)x t t φ，202(,,)x t t φ为()0L x =的两个解，1c ，2c 为任意的两个常数，则1122c x c x +也是()0L x =的一个解，即

11221122()()()0L c x c x c L x c L x +=+=， 注意到在0t E 上11221122c x c x c c φφ+=+。

（ii ）若01(,,)y t t φ为()()L x f t =的一个解，202(,,)x t t φ为()0L x =的一个解，则

y x +是()()L x f t =的一个解，即

()()()()L y x L x L y f t +=+=， 注意到在0t E 上12()()x t y t φφ+=+。

（iii ）（叠加原理）若有k 个方程()()s L x f t =，1,2,

,s k =。它们分别有解

0(,,)s s x t t φ（1,2,

,s k =），则1

()k i i x t =∑是方程1

()()k

i i L x f t ==∑的解。同理在0t E 上

1

1

()()k

k

i

i

i i x t t φ===∑∑，0

t t E

∈。

（iv ）若,,,a b c τ均为实的,则()()L x f t =在初值条件()()()x t t i t φψ=+（0t t E ∈）之下的解()()()x t u t iv t =+的实部和虚部分别是方程()Re ()L x f t =与()Im ()L x f t =的解，并且在0t E 上()()u t t φ=，()()v t t ψ=。

（v ）未知函数x 的线性代换和独立变量的代换均使L 保持线性。

（vi ）选择函数()g t ，代换()()()x t y t g t =+，可以把()()L x f t =化成()0L x =。若在0t E 上()()x t t φ=，则在0t E 上新变量()()()y t t g t φ=-。注意()g t 必须定义在

[)0

0,t E t ∞上。

以上的各性质对n 阶系统也成立。

2、特征方程重根时解的表示

对()0L x =，其特征方程为

()0h a be λτλλ-=--=， 这里b a a =-

，c

b a

=-。假定0a ≠，,,0b c τ>都是常数。设()0h a be λτλλ-=--=有一个根λ为m 重的。

定理9 若λ为()0h a be λτλλ-=--=得m 重根，则形如k t t e λ，0,1,

,1k m =-皆为

()0L x =的解。

也就是说，λ为()0h a be λτλλ-=--=得m 重根时，k t t e λ这种形式的一定是

()0L x =的解，但()0L x =的解不应定都是k t t e λ这种形式的。

对()0h a be λτλλ-=--=的一切根j λ，无论是单根还是重根，对应于()0L x =的解均可以表示为t e λ，t te λ，…，1m t t e λ-。若λ是某一m 重根的话，由性质可知，它们的线性组合仍然是()0L x =的解。它们的无穷组合只要收敛，仍然是()0L x =的解。但是我们不能像常微分方程的情形断定：方程的一切解均可由jt e λ及k t t e λ形的独立解的线性组合表示它。这一点，必须借助于Laplace 变换来解决。 3、解的指数估计

()x t 的指数估计，即21()c t x t c e ≤，12,c c 为常数，保证()x t 的Laplace 变换存在，

只要保证()x t 的Laplace 变换在一个范围内存在即可。()x t 必须有一个指数估计，才可对现行自制系统实施Laplace 变换，这是Laplace 变换的理论依据。 引理1 若()u t 与()t α均在[],a b 上的是连续函数，()0t β≥，在[],a b 上可积，使得

()()()()t

a

u t t s u s ds αβ≤+?，a t b ≤≤。

则必有11()()()()exp ()t t

a s u t t s s t dt ds αβαβ??≤+????

??，a t b ≤≤。 若加上α是非减的，则()()exp ()t

a

u t t s ds αβ≤?，a t b ≤≤。

对于纯量方程()()()x t ax t bx t τ=+-， ()()()()x t ax t bx t f t τ=+-+，

这里,,0b c τ>皆为常数，:f R R →连续。取00t =，得定理10。

定理10 若()()()()x t ax t bx t f t τ=+-+的基本初值问题的解为(,0,)x t φ，则存在正常数α，β，使得

(,0,)(())t

t

x t e k f s ds βφαφ≤+?，0t ≥，

其中1

k α

=

，[]

,0sup ()θτφφθ∈-=。

若()0f t ≡，即()()()x t ax t bx t τ=+-的解有估计式()t x t e βαφ≤。 再考虑中立型方程

[]()()()()()d

x t cx t ax t bx t f t dt

ττ--=+-+，,,,0a b c τ>仍为常数，:f R R →连续。 定理11 设(,0,)x t φ为

[]()()()()()d

x t cx t ax t bx t f t dt

ττ--=+-+基本初值问题的解，则存在正常数α和β使得

0(,0,)(())t

t x t e f s ds βφαφ≤+?，0t ≥，

其中[]

,0sup ()θτφφθ∈-=。

三、Bellman 定理

按照Bellman 原来的记号，对方程

1()

()01

()()0n n

n k ik i k i x t c x t τ-==+-=∑∑，120n τττ<<<

<，

作变数代换，令1()()x t x t =，

()1()()k k x t x t +=，1,2,

,1k n =-。

以1()()x t x t =，()

1()()k k x t x t +=，1,2,

,1k n =-代入1()

()01()()0n n

n k ik i k i x t c x t τ-==+-=∑∑得

1()()k k x t x t +=，1,2,

,1k n =-，

1101

()()n n

k ik k i k i x t c x t τ-+===--∑∑。

所以1()

()01

()()0n n

n k ik i k i x t c x t τ-==+-=∑∑包含在更一般的系统中

(1)

(2)

11

1

()()()n n

i ij j ij j j j x t a x t a x t τ===+-+

∑∑，1,2,,i n =。

写成向量矩阵形式为

011()()()()n n x t A x t A x t A x t ττ=+-++-，

()x t R ∈，k A 为n n ?阵，初值条件是()()x t t φ=，0n t τ≤≤。

1、先考虑最简单的1n =的情形

即方程(1)(1)()x t ax t bx t +=++。作过变量替换11t t =+（1τ=），其初始条件化为()()x t t φ=，01t ≤≤。(),()x t t R φ∈，由存在唯一性定理，

(1)(1)()x t ax t bx t +=++

在初始条件()()x t t φ=，01t ≤≤之下的解存在且唯一。对(1)(1)()x t ax t bx t +=++两边施行Laplace 变换得

00(1)(1)()t t t d

x t e dt a x t e dt b x t e dt dt

λλλ∞

∞∞---+=++?

??或者

1

(1)()()()t t t x e x t e dt ae x t e dt b x t e dt λλλλλλ∞∞∞

----+=+???

利用()()x t t φ=，01t ≤≤可以写成

1

(1)()()()()t t e ae t e dt b ae e x t e dt λλ

λλλ

λφλφλ∞

-----=+-??

记11

()h b ae e λλλλ--??=+-??，0()()t

X x t e dt λλ∞

-=?，则上式为

1

1

0()()((1)())()t X h h b t e dt λλλφλφ--??=+-????

?。 由Laplace 逆变换公式解得()x t 的表达式为

1111101()()((1)())()2t t c

x t h h b t e dt e d i λλλφλφλπ--??=

+-??????， 此处c 是适当选取的一条直线。

以上是假设解的Laplace 变换是存在的，才有了之后的推导，即

1111101()()((1)())()2t t c

x t h h b t e dt e d i λλλφλφλπ--??=+-?????? ()0h λ=的所有根实部大于某个数之后，越过奇点，再无奇点了。则为平行于

虚轴的直线。以下验证在不知道解的Laplace 变换是否存在的情况下，

1111101()()((1)())()2t t c

x t h h b t e dt e d i λλλφλφλπ--??=+-?????? 表示的()x t 是(1)(1)()x t ax t bx t +=++在初始条件()()x t t φ=，01t ≤≤之下的解。

作以下的稳定性假设：在()0h λ=的所有根0Re()0λλ≤-<的左边，取c 为直线0

2

is λ-

+（s R ∈），可以证明由

1111101()()((1)())()2t t c

x t h h b t e dt e d i λλλφλφλπ--??=+-?????? 表示的()x t 是(1)(1)()x t ax t bx t +=++在初始条件()()x t t φ=，01t ≤≤之下的解。 定理12 若方程()0h e ae b λλλλ=--=的所有的根都位于0Re()0λλ=-<的左边，则满足初值条件()()x t t φ=，01t ≤≤的方程(1)(1)()x t ax t bx t +=++的解是()t φ的一个连续运算

1111101()()((1)())()2t t c

x t h h b t e dt e d i λλλφλφλπ--??=

+-??????。 且有1001

max ()max ()t t x t c t φ≤<∞

≤<≤。

2、其次考虑非齐次的情形

(1)(1)()()x t ax t bx t t ω+=+++，0t >及()()x t t φ=，[]0,1t ∈。假定()t ω是可积

的。则(1)(1)()()x t ax t bx t t ω+=+++，0t >在初值条件()()x t t φ=，[]0,1t ∈的解存在且唯一。

定理13 假定()0h λ=的一切根由位于0Re()0λλ=-<的左边，再假定在任何有限区间上，()t ω是连续的，有界变差的函数，并且有0112

110()t t e

dt λω∞

-<∞?。则满足

初始条件()()x t t φ=，[]0,1t ∈的方程(1)(1)()()x t ax t bx t t ω+=+++的解，对0t >有

011101(1)(1)()()2t

x t x t t K t t dt i

ωπ+=++

-?， 这里110

()K t dt ∞

<∞?。

3、考虑如下形式的非线性方程

(1)(1)()(())x t ax t bx t f x t +=+++，0t >初始条件为()()x t t φ=，[]0,1t ∈。

定理14 若()0h λ=的一切根由位于0Re()0λλ=-<的左边，并且01

max ()t t φ≤<充分小，

则满足初值条件()()x t t φ=，[]0,1t ∈的方程(1)(1)()(())x t ax t bx t f x t +=+++，0t >的解()x t 存在且唯一。，并且t →∞时()0x t →。 四、通解与常数变易公式

需要借助Laplace 变换定义线性自制系统的基础解，从而得到通解和常数变易公式。

一阶纯量方程(1)(1)()x t ax t bx t +=++，其中,,0a b τ>均为常数。

定义3 称(1)(1)()x t ax t bx t +=++在初始条件00,0()()1,t x t t t τ

φτ≤

基础解。

可以证明0()x t 存在且唯一，而且它在任何紧集上是有界变差的。考虑方程

()()()x t ax t bx t τ=+-，0,0

()()1,0

t x t t t τφ-≤

定理15 ()()()x t ax t bx t τ=+-的基础解可表示为10()()t c

x t h e d λλλ-=?，其中c β>，

0β>是指数估计式里的常数。

定理16 ()()()x t ax t bx t τ=+-的通解可以表示为

100(,0,)()(0)()()x t x t b x t d τ

φφθτφθθ-=+--?，

其中φ为[],0τ-任意给定的初始函数，0()x t 为()()()x t ax t bx t τ=+-的基础解。

非齐次方程()()()()x t ax t bx t f t τ=+-+，:f J R →，连续，设()f t 有指数估计。

定理17 ()()()()x t ax t bx t f t τ=+-+的通解可以表示为

00

(,0,)(,0,)()()t

x t x t x t s f s ds φφ=+-?

其中(,0,)x t φ为()()()x t ax t bx t τ=+-的通解，0()x t 为()()()x t ax t bx t τ=+-的基础解，x 表示()()()()x t ax t bx t f t τ=+-+的通解。

注1：若()f t 不假定有指数限制，则对给定的连续的()f t ，定义另一函数()f t ，它在任何区间[]0,T 上等于()f t ，在[]0,T ε+上（0ε>）等于零，在[],T T ε+上用线段连接使()f t 是连续的。那么()f t 在R +上必有指数限制。由T 的任意性也可得到定理17的结论。

注2：定理15、16、17对n 阶系统也成立。 中立型方程

()()()()x t ax t bx t cx t ττ=+-+- 及非齐次方程

()()()()()x t ax t bx t cx t f t ττ=+-+-+，

其中,,,0a b c τ>均为常数，:f J R →。同样称()()()()x t ax t bx t cx t ττ=+-+-在初

始条件0,0()()1,0t x t t t τφ-≤

解。记()(1)H ce a be λτλτλλ--=---。

定理18 设0()x t 为()()()()x t ax t bx t cx t ττ=+-+-的基础解。则

10()()c

x t H e d λτλλ-=?。

定理19 设0()x t 为()()()()x t ax t bx t cx t ττ=+-+-的基础解，(,0

,)x t φ为

()()()()x t ax t bx t cx t ττ=+-+-由任一初始函数φ确定的解，则有

[]0

00(,0,)()(0)()()()x t x t c b x t d τ

φφφτθτφθθ

-=--+--?

0()()()()c t t c x t d τ

φτωτθτφθθ-+-+-++--?，

其中()ωθ由下式确定1,0

()0,0θωθθ

。

若t τ≥，则[]0

00(,0,)()(0)()()()x t x t c b x t d τφφφτθτφθθ-=--+--?

0()()()()c t t c x t d τ

φτωτθτφθθ-+-+-++--?

中不出现含有ω的项，若t τ<则这种项为()c t φτ-+，它正是Stieltjes 积分 []00()()c dx t τ

θτφθ----?

的值，故(,0,)x t φ的表达式可改写为

[]00(,0,)()(0)()()()x t x t c b x t d τ

φφφτθτφθθ-=--+--?[]0

0()()c dx t τ

θτφθ----?

。

定理20 设0()x t 为()()()()x t ax t bx t cx t ττ=+-+-的基础解，(,0,)x t φ为它的通解，

(,0,)x t φ为()()()()()x t ax t bx t cx t f t ττ=+-+-+的由任意初始函数φ确定的解，则

00

(,0,)(,0,)()()t

x t x t x t s f s ds φφ=+-?。

注3：定理18中的积分路线c 的选取仍由方程()()()()x t ax t bx t cx t ττ=+-+-的解的指数估计中的常数决定。定理18、19、20中涉及到的所有初始函数均设为可微。

五、Фрид定理

方程1

()

()00

()()m n n m x t a x t νμνμμνττ-==+=+∑∑，010m τττ=<<

<的稳定性，其初值为

()()()()x t t ννφ=，

01n ν≤≤-，0m t τ≤≤，()()t νφ是连续有界变差函数。

1

()

()00

()()m n n m x t a x t νμνμμνττ-==+=+∑∑，010m τττ=<<

<的特征方程为

1

00

()m m n n D e

a e τλ

ντμλμνμνλλλ-==-∑∑。

假定1

00

()m m n n D e

a e τλ

ντμλμνμνλλλ-==-∑∑的特征根中只有有限个实数为零的单根，

而其他的所有根的实部都满足条件Re()d λ<-，0d >。可证

1

()

()00

()()m n n m x t a x t νμνμμνττ-==+=+∑∑，010m τττ=<<

<

的解有估计()()ct x t Ke M ν-<+，对所有的0t ≥及01n ν≤≤-，这里K ，M ，c 为正常数。又当初值相当小时，常数M 可以任意小。

定理21 假定具有时滞的方程1

()

()00

()()m n n m x t a x t νμνμμνττ-==+=+∑∑，010m

τττ=<<

<的特征方程1

00

()m m n n D e

a e τλ

ντμλμνμνλλλ-==-∑∑仅有有限个实部为零的单根，而其余所

有根的实部都小于某一负数d -，则

1

()

()00

()()m n n m x t a x t νμνμμνττ-==+=+∑∑，010m τττ=<<

<

的零解是稳定的。

引理2 若方程1

00

()m n D a e ντμλμνμνλλ-===∑∑的根的实部在(,)a b 之外，则对任何数

Re()0c λ=≠，满足不等式a c b <<有估值()n

D K λλ>，此处c it λ=+()t R ∈，

而K 为正常数，并设至少有一个0a μν≠（0m μ≤≤）。 定理22 若在特征方程1

00

()m m n n D e

a e τλ

ντμλμνμνλλλ-==-∑∑中具有实部为零的重根，

则方程

1

()

()00

()()m n n m x t a x t νμνμμνττ-==+=+∑∑，010m τττ=<<

<

的零解是不稳定的。

带有时滞的动力系统的运动稳定性这部分内容，为我们以后研究带有时滞的动力系统的运动稳定性提供了根据特征方程解的存在性、唯一性、表达式等判断

的方法。并进一步分析说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。