第五章 力学量的算符表示

137

第5章

力学量的算符表示

§5.1 算符及其运算规则

在第二章中，已经引入了算符的概念，动量算符和哈密顿量算符分别为

?-= i ?p

(5.1.1) )(2?22

r V m

H +?-= (5.1.2) 在量子力学中，算符表示对它后面的波函数的一种运算或者操作，上述的动量算符与哈密顿算符皆表示对其后面的波函数的微商运算，本

章的后面将引入的宇称算符π

?则表示对其后面的波函数的一种操作，即把波函数中的坐标变量改变一个符号。由算符化规则可知，物理上可观测的力学量（例如，坐标、动量、角动量和能量等）与相应的算符相对应，并要求相应的算符为线性厄米特算符，力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。 §5.1.1 算符及其运算规则

1、线性算符

138

满足下列运算规则

22112211??)(?ψψψψA c A c c c A +=+ (5.1.3)

的算符A

?，称之为线性算符，其中，21,c c 是两个任意复常数，21,ψψ是两个任意的波函数。在量子力学中，可观测量对应的算符都是线性算符，这是状态叠加原理所要求的。如无特殊声明，下面所涉及到的算符皆为线性算符。

2 、单位算符

若对任意的波函数ψ，算符I ?满足

ψψ=I

? (5.1.4)

则称I

?为单位算符。 3、 算符之和

若对任意的波函数ψ，下式

ψψψB A B A

??)??(+=+ (5.1.5) 总是成立，则称算符B A

??+为算符A ?与算符B ?之和。算符的加法运算满足交换律和结合律，即

A B B A ????+=+ (5.1.6) C B A C B A

?)??()??(?++=++ (5.1.7) 4、 算符之积

两个算符A ?和B ?之积记为)??(B A ，对任意的波函数ψ，算符)??(B A

的作用定义为下列运算

)?(?)??(ψψB A B A

= (5.1.8)

139

即算符之积)??(B A 对任意波函数的运算过程是，先用算符B ?对ψ进行运算，得到一个新的波函数（ψB ?），然后，再用算符A

?对（ψB ?）进行运算。 一般情况下，

ψψ)??()??(A B B A

≠ (5.1.9) 即

A B B A

????≠ (5.1.10) 此即算符运算与普通代数运算的重要差别。

5、 算符之幂

算符A

?的n 次幂定义为 个

n n A A A A ????= (5.1.11)

同一个算符的不同幂之积，满足

n m n m A A A +=??? (5.1.12)

6、 算符之逆

设

?ψ=A

? (5.1.13) 能够惟一地解出ψ，则可定义算符A

?的逆算符1?-A 为 ψ?=-1?A

(5.1.14) 应该说明的是，并非所有的算符都具有相应的逆算符。若算符A ?的逆算符1?-A

存在，则有 I A A A A

?????11==-- (5.1.15)

140

7、 算符的复共轭

算符A ?的复共轭算符*?A 是将A ?中的所有复量换成共轭复量。例如，

动量算符的x 分量的复共轭算符

x x p

x x p ?i i ?*

*-=??=??

??????-= (5.1.16) 8、 算符的转置

对任意的波函数ψ和?，算符A

?的转置算符A ~

?满足 ??

=)(~?)(d )(?)(d *

*

x A x x x A x x ?ψψ? (5.1.17) 根据算符转置的定义，可以证明

()

A B B A

~?~??? ~

= (5.1.18) 9、 算符的共轭

对任意的波函数ψ和?，算符A ?的厄米特共轭（简称为共轭）算符+A

?满足 ??

=+)()](?[d )(?)(d **x x A x x A x x ψ?ψ? (5.1.19) 由转置算符的定义知

???

==+

)(~?)(d )(?)(d )(?)(d *

*

*

*

*

x A x x x A x x x A x x ψ??ψψ? (5.1.20) 于是，有

*

~??A A

=+

(5.1.21) 一个算符的共轭为此算符转置后再取其复共轭。

10、 厄米特算符

141

若算符A

?满足 ??

=)()](?[d )(?)(d **x x A x x A x x ψ?ψ? (5.1.22) 则称算符A

?为厄米特算符。由共轭算符的定义可知，厄米特算符满足 A A

??=+ (5.1.23) 显然，若一个算符的共轭等于该算符自身，则此算符是厄米特算符，故厄米特算符也称之为自共轭算符。下面将会看到，量子力学中可观测量对应的算符都是厄米特的。

11、 幺正算符

如果算符A

?满足 1??-+=A A (5.1.24)

则称之为幺正算符。

12、 算符函数

若函数)(x F 的各阶导数均存在，且对其作幂级数展开时是收敛的，即

n

n n x n F x F ∑∞

==0

)(!)0()( (5.1.25)

则对应算符A

?的算符函数)?(A F 为

(5.1.26)

§5.1.2 对易子代数

1、对易子

142

为了描述两个算符之积的交换关系，引入符号

[]

A B B A B A

?????,?-≡ (5.1.27) 称之为算符A ?与B ?的对易关系或对易子。如果[]

B A ?,?＝0，则称算符A

?与B

?是可对易（交换）的，否则，称A ?与B ?是不对易的。对于坐标与动量算符而言，显然，有

[][]z y x p p ,,, ,0?,?0

,===νμνμνμ (5.1.28) 根据所研究的对象的不同，有时要用到反对易关系 []{}

A B B A B A B A ?????,??,?+≡≡+

(5.1.29) 2、对易子的计算

（1）、对于最基本的对对易关系，需要通过直接计算

来求出

例1. 计算[]x p

x ?,。 解: 对于任意的状态)(x ψ，有

[]{})(i )()()(i )(?)(?)(?,''x x x x x x x x p x p

x x p x x x x ψψψψψψψ =---=-= (5.1.30) 由于)(x ψ是一个任意的状态，所以，

[] i ,=x p x (5.1.31) 进而，有

[]z y x p

,,, , i ?,==νμδμμνν (5.1.32) 此即著名的海森堡对易关系。它是量子力学中最基本的对易关系。

用类似的方法可知，时间t 与能量算符E

?的对易关系为

143

[]

i ?,-=E

t (5.1.33) 例2. 在一维情况下，计算[]x ,?π

。 解: 对于任意的状态)(t ψ，有

[]()()()()()()()x x t x x x x x t x x t x ψπ

ψψψψππψπ?22??,?-=--=----=-= (5.1.34)

所以，

[]ππ?2,?x x -= (5.1.35)

或者，

[]0,?=+x π

(5.1.36) 例3. 计算[]x p

x f ?),(。 解: 对于任意的状态)(x ψ，有

[]{}

)()(i )()()()()()(i )( ?),(''''x x f x x f x x f x x f x p

x f x ψψψψψ =---= (5.1.37) 所以，

(5.1.38)

（2）、于其它的对易关系，可以利用对易子代数的运

算规则来导出

对易子代数的运算规则如下：

144

[][][][][][][][][][]C A B C

B A

C B A C A B A C B A B A B A A B B A ?,??? ?,???,??,??,???,??,??,??,??,?+=+=+=-=λλ (5.1.39) 式中，λ为常数。

例4. 定义轨道角动量算符p r L ?? ?=，计算[]

y

x L L ?,?。其中， ?????

???

???-=???? ????-??-=-=??? ????-??

-=-=????

????-??-=x y z z x y y z x p y p x x y y x L p x p z z x x z L p z p

y y z z y L ??i ???i ???i ? (5.1.40)

解: 利用对易子代数的运算规则，有

[][]

[][

]

[][][][][][]()z

x y y z x z z y z z x y x z z y z x y z

z x y z

y x

L p y p x p p z x p z p y p x p z p x p y p z p z p z p

y p x p z p y p z p

z p y p x p z p

z p y L L

?i ??i ??,?,??,??,??,??,??,???,????,???,? =-=+=+--=---=--= (5.1.41) 例5. 定义角动量平方算符2222????z

y x L L L L ++=，计算[]

z L L ?,?2。 解: 利用对易子代数的运算规则，有

[][][][][][][][]()0????????i ??,??,????,??,???,??,??,??,?222

2

=--+-=

+++=++=x

y

y

x

x

y

y

x

y

z

y

z

y

y

x

z

x

z

x

x

z

z

z

y

z

x

z

L L L L L L L L

L L L L L L L L L L L L

L L L L L L L L (5.1.42)

由上式可知，2?L 与z

L ?是对易的。同理可证，2?L 与x L ?及y L ?也是对易的。

145

§5.1.3 厄米特算符的判别法

通常有如下三种方法来判别一个算符是否为厄米特算符。

1、利用厄米特算符的定义直接进行判别

例1 证明动量x 分量算符x p

?是厄米特算符。 证明：对任意两个波函数1ψ和2ψ（为书写简洁，略去其自变量x ），总可以对其作傅立叶展开，即

()()()()k

kx k C k

kx k C d i exp 21d i exp 21

2

21

1??=

=

π

ψπψ (5.1.43)

式中积分的上下限分别为正、负无穷，为简洁起见，将其略去。

用x

p x ??

-= i ?作用上述两式的两端分别得 ()()()()k kx k kC p k kx k kC p

x x d i exp 2?d i exp 2?2211??==πψπ

ψ

(5.1.44) 再利用傅立叶的逆变换求出展开系数 ()()x p

kx k kC x

d ?i exp 21

1

1ψπ

?-= (5.1.45) ()()x p kx k kC x d ?i exp 21

22ψπ

?-= (5.1.46) 于是

146

()()()()[]()[]

()()()k k C k kC k k C x p kx x k kx k C p

x p

x x

x

d 2d d ?i exp 21

d d i exp ?21

d ?2*

12*12

*1

2

*

1

??????=-==

π

ψπ

ψπ

ψψ (5.1.47)

而

()()[]()()[]()()k

k C k kC k x p kx k C x p

k kx k C x p

x x

x d 2d d ?i exp 21

d ? d i exp 21d ?2*1*

2

*

1

*

12*

1

??????=-==π

ψπψπ

ψψ (5.1.48)

比较上述两式可知

()x p

x p x x d ?d ?2*

12*

1ψψψψ??= (5.1.49) 表明算符x p

?是厄米特算符。 也可以利用更简洁的方法来证明x p

?的厄米特性质： ()x

p x x x x

x p x x d ?d d d i i d d d

i d ?2*12*12*1

2*1

2*1

ψψψψψψψψψψ????=??

?

??+-=-=∞∞

- (5.1.50) 上式最后一步成立是有条件的：要求1ψ和2ψ中至少有一个满足在无穷远处为零的条件。如果1ψ和2ψ两者皆不满足在无穷远处为零的条件，那么，只能都是单色平面波，即

??

?

??=

x p 11i exp 21

πψ (5.1.51)

147

??

?

??=

x p 22i exp 21

πψ (5.1.52) 分别计算x p

x d ?2*1

ψψ?与()x p x d ?2*

1ψψ?，得到 ()()212212212*

1

d i exp 2d i exp ?i exp 21d ?p p p x x p p p x x p p x p x p x x -=??

?

???--=??

?

?????

??-=???δππψψ (5.1.53)

()()()()211211122*

1d i exp 2d i exp ?i exp 21d ?p p p x x p p p x x p p x p x p

x x -=??

?

???--=??

?

??--??? ??=???δππψψ (5.1.54)

利用δ函数的性质

()()02121=--p p p p δ (5.1.55)

可知

()x p

x p x x d ?d ?2*12*

1ψψψψ??= (5.1.56) 说明即使1ψ和2ψ两者都是单色平面波，动量x 分量算符x p

?也是厄米特算符。

同理可以证明算符y p

?与z p ?也是厄米特算符。 可以证明，实函数算符必为厄米特算符；两个厄米特算符之和仍为厄米特算符。但是对于两个厄米特算符的乘积，当且仅当它们彼此对易时，它们之积才是厄米特算符。

148

2、利用对易关系来判别

例2 证明算符()22??i x x p x x p

-是厄米特算符。 证明：因为2?x p 与x 不对易，x p x 2

?不是厄米特算符，所以不能直接判断算符()2

2??i x x p x x p

-的厄米特性质，但是， (

)[]

[][]x x x x x x x x p p x p x p p x p p x x p ?2?,?i ,??i ,?i ??i 22

2 =+==- (5.1.57)

因为，x p

?是厄米特算符，所以，()2

2??i x x p x x p -也是厄米特算符。 3、利用自共轭条件来判断

例3 证明算符(

)22??i x x p x x p -和()

2

2??x x p x x p +是厄米特算符。

证明：

(){}()(){}()()22222222

??i ??i ??i ??i x

x

x

x

x

x

x

x

p x x p x p p

x p x x p

p x x p -=--=--=-++

+

(5.1.58)

显然，()22??i x

x p x x p

-是自共轭的，所以它是厄米特算符。而对于算符()22??x

x p x x p

+而言， (){}()()x p p x p x x p p x x p

x

x x

x

x

x 222222??????+=+=+++

+

(5.1.59) 故其也是厄米特算符。

将上述结果推广到更一般的情况，即若A ?和B ?皆为厄米特算符，则

算符A B B A

????+与()A B B A ????i -必是厄米特算符。 另外，任意线性算符F

?总可以写成两个厄米特算符的组合 -

++=F F F ?i ?? (5.1.60) 其中厄米特算符+F ?与-

F ?分别为 ()+

++=F F F ??21?

；()

+--=F F F ??i 21? (5.1.61)

149

§5.2 厄米特算符的本征问题

§5.2.1 线性厄米特算符的本征值必为实数 量子力学假设：一个可观测的力学量总是用一个相应的线性厄米特算符来表征。算符的线性是状态叠加原理所要求的；算符的厄米特性质是力学量的观测值为实数所要求的。

前面已经给出了本征方程的概念，下面将对线性厄米特算符本征方

程作更深入的讨论。一个线性厄米特算符A

?与一个本征方程相对应，以一维断续谱为例，其本征方程为

()()x a x A n

n n ψψ=? (5.2.1) 其中，n a 称为算符A

?的第n 个本征值，()x n ψ为相应的本征函数。 1、 厄米特算符在任意状态下的平均值必为实数

证明：利用厄米特算符的定义，取任意状态)()(x x ?ψ=，有

****)(?)(d )(?)(d A x A x x x A x x A ??

===ψψψψ (5.2.2) 所以，厄米特算符A

?在任意态)(x ψ下的平均值A 总是实数。 2、 厄米特算符的本征值是实数

证明：用厄米特算符A

?的属于本征值n a 的本征波函数的复共轭)(*

x n ψ左乘(5.2.1)式，然后，对x 在全空间作积分

n n n n n n a x x x a x A x x ==??)()(d )(?)(d **ψψψψ (5.2.3)

上式的左端是算符A

?在其本征态上的平均值，于是有

150

A a n = (5.2.4) 所以，厄米特算符的本征值一定是实数。

后面将会说明，算符A

?的属于本征值n a 的本征波函数)(x n ψ描述这样一个状态：在此态上测量力学量A 将得到确定的（实数）值n a ，换句话说，取值为n a 的几率是1，而取其它值的几率为零。这就是要求力学量算符为厄米特算符的原因，它的正确性是勿庸置疑的，但是这种要求是有一些过分了。实际上，即使某个力学量算符是非厄米特算符，只要它的本征值是实数即可，但是，这样做的结果会使得本征矢变成超完备的，以致不便于使用。

§5.2.2 厄米特算符本征函数的正交性

不失一般性地假设，厄米特算符A ?的本征值是断续和简并的，即算符A

?满足的本征方程为 n n n n f a A ,3,2,1 , ?==αψψα

α (5.2.5) 其中，α为简并量子数。

1、 讨论无简并的情况

因为无简并时1=α，故将其略去。

利用A

?的厄米特性质 ??=***?d ?d n m m n A A ψτψψτψ (5.2.6)

可得

?

?=*

*d d n m n m n m a a ψτψψτψ

151

整理之，有

?=-0d )(*

m n n m a a ψτψ (5.2.7)

当n m a a ≠时，

0d *

=?m n ψτψ (5.2.8)

当n m a a =时，由波函数的归一化条件知

?=1d *n n ψτψ (5.2.9)

上述两式可以统一写成

mn m n δψτψ=?

*d (5.2.10) 其中，mn δ为克罗内克尔（Kronecker ）δ符号，它的定义为 ?

??=≠=n m n m mn

,1 ,0δ (5.2.11) 2、讨论有简并的情况

(5.2.1)式表示本征值n a 是n f 度简并的，它的意思是有n f 个不同的本征函数αψn 对应于同一个本征值n a 。如果没有其它的附加条件，这

n f 个简并的波函数的选择并不是惟一的，一般来说，它们也并不一定

是正交的。但是，总可以把它们重新线性组合，使之相互正交。为此，

利用{

}βψn 构造一组新的波函数 ∑===n

f n n n f c 1

,,3,2,1

, ββαβααψ? (5.2.12) 再用算符A

?从左作用上式两端，得

152

∑∑=====n n

f f n n n n n n a c a A c A 1

1

??ββαβαββαβα?ψψ? (5.2.13) 说明α?n 仍然是算符A

?的属于本征值n a 的本征波函数。选择系数αβc 使α?n 具有正交、归一性，即

αββαδ?τ?=?n n *

d (5.2.14)

由于，系数αβc 的个数为2

n f ，而满足的条件数为，即2

2/)1(n n n f f f <+，

待定系数个大于方程的个数，所以，有多组解满足上式。

为了求出满足正交归一条件的展开系数αβc ，通常使用施密特（Schmidt ）方法。施密特正交归一化方法的基本步骤是：首先，选取一个态矢，例如，1n ψ，求出其归一化的表示

?=1

*

11

1d n n n n ψτψ

ψ? (5.2.15)

其次，构造

212n n n βψα??+= (5.2.16) 利用2n ?与1n ?正交的要求

0d d d 2*11*12*1=+=???n n n n n n ψτ?β?τ?α?τ? (5.2.17)

得到

?-=2*

1d n n ψτ?β

α (5.2.18) 此外，还要求2n ?是归一化的，即

()()1d d 21*

212*

2=++=?

?n n n n n n βψα?βψα?τ?τ? (5.2.19)

153

于是可以求出α和β，进而得到2n ?。然后，再构造

32'

1

'3n n n n γψ?β?α?++= (5.2.20) 利用其与1n ?、2n ?与3n ?的正交条件及归一化条件确定'α、'β和γ，如此做下去，直至将全部本征矢变换完毕，则),3,2,1( =α?αn 就是已经正交归一化的简并波函数。

下面给出一个应用施密特方法的例题。 例题 已知两个即不正交也不归一的态矢

2

212222

1

1212

1-=+=ψψ (5.2.21)

利用施密特方法将其正交归一化，其中，{2,1为任意正交归一化基底。

解：首先，将1ψ归一化

22

11211+=? (5.2.22)

然后，构造2?

()

221222211212

12-+???

?

??+=+=βαψβ?α? (5.2.23) 利用1?

与2?

正交的条件021=??，可知

βα-= (5.2.24)

再利用2?

的归一化条件122=??，得到

162=+αββ (5.2.25)

154

于是有

5

1=

β (5.2.26)

最后，得到正交归一的两个态矢分别为

2101521101582

2

1

1212

1???

? ??+-???? ??-=+=?? (5.2.27) 若顾及到主量子数不同的情况，则简并本征态的正交归一化条件为

αββαδδ?τ?mn n m =?*d (5.2.28)

§5.2.3 厄米特算符本征函数的完备性 波函数是描述体系所处状态的，由全部可以接受到波函数和零函数构成的空间称为态空间。每一个波函数都是态空间中的一个元素，也称之为态矢量。线性厄米特算符的作用就是把态空间中的一个元素变成另一个元素。线性厄米特算符的本征函数构成一个正交归一的函数

系，简记为(){}r n

ψ，它可以作为态空间中的一个基底。

态空间中的任意一个态矢量),(t r

ψ总可以向正交归一的基底

(){}r n ψ作展开，即

∑=ψn

n n r t c t r )()(),(

ψ (5.2.29)

若在每个r 处，此无穷级数都收敛到),(t r

ψ，则称(){

}r n ψ是完备的。 虽然，从数学的角度还不能统一地证明基底(){

}r n

ψ的这种完备性，

155

但是，在量子力学中，总是认为线性厄米特算符的本征函数系是正交归一和完备的。

利用(){}r n

ψ的这种完备性可以得到十分有用的封闭关系。由(5.2.29)

式知

?ψ=),()(d )(*t r r t c n

n

τψ (5.2.30)

将上式代入(5.2.29)式，有

)

,()()(d )(),()(d ),(''*'

''

*'t r r r r t r r t r n n n n n

n ψ??

????=

ψ=ψ?∑∑?ψψτψψτ (5.2.31)

再将其与

),()(d ),('''t r r r t r ψ-=ψ?δτ

(5.2.32)

得到

)()()(''*r r r r n

n n

-=∑δψψ (5.2.33)

上式即为本征函数()r n

ψ封闭关系。

§5.3 坐标算符和动量算符

§5.3.1 坐标算符

以一维问题为例，坐标算符x x

=?满足的本征方程为 )()(0

0x x x x x x ψψ= (5.3.1)

156

上式亦可改写为

0)()(0

0=-x x x x ψ (5.3.2)

将其与δ函数的性质

0)()(00=--x x x x δ (5.3.3) 比较，知

)()(00x x x x -=δψ (5.3.4) 坐标算符的本征值0x 是可以连续取值的，相应的本征函数是一个

δ函数。它的本征函数所满足的归一化条件与正常的归一化条件不

同，即

)()()(d )()(d *n m n m x x x x x x x x x x x x n m -=--=??δδδψψ (5.3.5)

称之为规格化。

对于三维问题，坐标算符r r =?满足的本征方程为

)()(000r r r r r r

ψψ= (5.3.6)

本征值0r

对应的本征函数为

()0)(0r r r r

-=δψ (5.3.7)

并且，满足规格化条件

()?-=n m r r r r r r n m

δψτψ)()(d * (5.3.8)

§5.3.2 动量算符

前面已经给出动量算符为

?-= i ?p

(5.3.9)