上海市徐汇区2017届高三一模数学试题复习资料

2016-2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科

2016．12

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分（或5分），否则一律得0分． 1. 25

lim

1

n n n →∞-=+____________．

【解答】25lim 1n n n →∞-=+5

2n lim 11n n

→∞-

=+

2010=+=2． 2. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为____________．

【解答】由题意可知：由焦点在x 轴上，若C 经过点M （1，3）， 则图象经过第一象限，

∴设抛物线的方程：y 2=2px ， 将M （1，3）代入9=2p ，解得：p=92

， ∴抛物线的标准方程为：y 2=9x ， 由焦点到准线的距离d=p=

2

p ， 3. 若线性方程组的增广矩阵为?

??? ??b a 1020，解为2

1

x y =??=?，则=+b a ____________． 【解答】解：由题意知21

x y =??=?是方程组2

ax y b =??

=?的解，

即

，

则a +b=1+1=2， 故答案为：2．

4. 若复数z 满足：3i z i ?=+（i 是虚数单位），则z =______．

【解答】解：由iz=+i ，得z=

=1﹣

i ，

故|z |=

=2， 故答案为：2．

5. 在6

2

2()x x +

的二项展开式中第四项的系数是____________．

（结果用数值表示）

【解答】解：在（x +

）6的二项展开式中第四项：

=8C

x ﹣3=160x ﹣3．

∴在（x +

）6的二项展开式中第四项的系数是160．

故答案为：160．

6. 在长方体1111ABCD A B C D -中，若11,2AB BC AA ===，则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为____________

．

【解答】解：如图，连接D 1B 1； ∵CC 1∥BB 1；

∴BD 1与CC 1所成角等于BD 1与BB 1所成角； ∴∠B 1BD 1为异面直线BD 1与CC 1所成角； ∴在Rt △BB 1D 1中，cos ∠B 1BD 1=

；

∴异面直线BD 1与CC 1所成角的大小为．

故答案为：

．

7. 若函数22,

0(),0

x x f x x m x ?≤?=?-+>??的值域为(],1-∞，则实数m 的取值范围是____________．

【解答】解：x ≤0时：f （x ）=2x ≤1．

x ＞0时，f （x ）=﹣x 2+m ，函数的对称轴x=0，f （x ）在（﹣∞，0）递增，∴f （x ）=﹣x 2+m ＜m ， 函数f （x ）=

的值域为（﹣∞，1]，

故m ＜1，

故答案为：（﹣∞，1]

8. 如图：在ABC ?中，若1

3,cos ,22

AB AC BAC DC BD ==∠=

=，则AD BC ?=____________．

【解答】解：根据条件：

=

=

=；

∴=

=

=

．

9. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，2

()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为___________个．

【解答】解：当x ≥0时，f （x ）=lg （x 2﹣3x +3），

函数的零点由：lg （x 2﹣3x +3）=0，即x 2﹣3x +3=1，解得x=1或x=2． 因为函数是定义在R 上的偶函数y=f （x ），所以函数的零点个数为：4个． 故答案为：4．

10. 将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有____________种？（结果用数值表示）

【解答】解：由题意，不同的停车位置安排共有A 22A 86=40320种． 故答案为40320．

11. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ．设*()2

n

n n

S b n N n =∈?，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是____________． 【解答】解：S n =n +

×2m=mn 2+（1﹣m ）n ．

∴b n =

=，

∵数列{b n }是递减数列， ∴b n +1＜b n ，∴

＜

，

化为：m ＜n ，对于?n ∈N *，即可得出． 因此m ＜1．

则实数m 的取值范围是（﹣∞，1）． 故答案为：（﹣∞，1）．

12. 若使集合{}

2|(6)(4)0,A x kx k x x Z =--->∈中的元素个数最少，则实数k 的取值范围是_______________．

【解答】解：集合A={x |（kx ﹣k 2﹣6）（x ﹣4）＞0，x ∈Z }， ∵方程（kx ﹣k 2﹣6）（x ﹣4）=0， 解得：

，x 2=4，

∴（kx ﹣k 2﹣6）（x ﹣4）＞0，x ∈Z 当k=0时，A=（﹣∞，4）；

当k ＞0时，4＜k +，A=（﹣∞，4）∪（k +，+∞）； 当k ＜0时，k +＜4，A=（k +，4）． ∴当k ≥0时，集合A 的元素的个数无限；

当k ＜0时，k +＜4，A=（k +，4）．集合A 的元素的个数有限，此时集合A 的元素个数最少．

则有：，解得：k ＜0．

故答案为：（﹣∞，0）．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．

13. “()4

x k k Z π

π=+

∈”是“tan 1x =”成立的（ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【解答】解：∵tanx=1，∴x=k π+

（k ∈Z ）

∵x=k π+（k ∈Z ）则tanx=1，

∴根据充分必要条件定义可判断： “x=k π+（k ∈Z ）“是“tanx=1”成立的充分必要条件

故选：C

14. 若12i -（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程2

0x bx c ++=的一个复数根，则（ ）

（A ）2,3b c == （B ）2,1b c ==- （C ）2,1b c =-=- （D ）2,3b c =-= 【解答】解：∵1﹣i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c=0的一个复数根， ∴1+i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c=0的一个复数根， ∴，解得b=﹣2，c=3．

故选：D ．

15. 已知函数()x f 为R 上的单调函数，()x f

1

-是它的反函数，点()3,1-A 和点()1,1B 均在函 数

()x f 的图像上，则不等式()

121<-x f 的解集为（ ）

（A ）()1,1- （B ）()1,3 （C ）()20,log 3 （D ）()21,log 3 【解答】解：∵点A （﹣1，3）和点B （1，1）在图象上， ∴f （﹣1）=3，f （1）=1，又f ﹣

1（x ）是f （x ）的反函数， ∴f ﹣1（3）=﹣1，f ﹣

1（1）=1，

由|f ﹣1（2x ）|＜1，得﹣1＜f ﹣

1（2x ）＜1，

即f ﹣1（3）＜f ﹣1（2x ）＜f ﹣

1（1），

函数f （x ）为R 的减函数，∴f ﹣

1（x ）是定义域上的减函数， 则1＜2x ＜3，解得：0＜x ＜log 23．

∴不等式|f ﹣

1（2x ）|＜1的解集为（0，log 23）． 故选：C ．

16. 如图，两个椭圆

221259x y +=，22

1259

y x +=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列三个判断：

① P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的

距离之和为定值；

② 曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称； ③ 曲线C 所围区域面积必小于36.

上述判断中正确命题的个数为（ ）

（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个

【解答】解：对于①，若点P 在椭圆+

=1上，P 到F 1（﹣4，0）、F 2（4，0）两点的距离之

和为定值、到E 1（0，﹣4）、E 2（0，4）两点的距离之和不为定值，故错； 对于②，两个椭圆

+

=1，

+

=1关于直线y=x 、y=﹣x 均对称，曲线C 关于直线y=x 、

y=﹣x 均对称，故正确；

对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确．

故选：C

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，2==BC AP ，

?=∠30CBA ，D 是AB 的中点．

（1）求PD 与平面PAC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求PDB ?绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留π）．

18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数23sin ()cos 1

x x

f x x

-=

． （1）当0,

2x π??

∈????

时，求()f x 的值域； （2）已知ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()3,4,52

A

f a b c ==+=，

求ABC ?的面积．

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数；

（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资

额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？

20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第

3小题满分6分．

如图：双曲线Γ：2

213

x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ． （1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；

（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上．．．

是否存在点P ，满足110F P FQ ?=？若存在， 求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若直线l 与Γ交于不同两点A B 、，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++=

（其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．

21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第

3小题满分8分．

正数数列{}n a 、{}n b 满足：11a b ≥，且对一切2,*k k N ≥∈，k a 是1k a -与1k b -的等差中项，k

b 是1k a -与1k b -的等比中项．

（1）若222,1a b ==，求11,a b 的值；

（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是{}n a 为常数数列； （3）记||n n n c a b =-，当*

2()n n N ≥∈时，指出2n c c ++与1c 的大小关系并说明理由．

参考答案

一、填空题：(共54分，第1题至第6题每小题4分；第7题至第12题每小题5分)

1. 2

2.

92 3. 2 4. 2 5. 160 6. 4

π 7. 01m <≤ 8. 3

2

- 9. 4 10. 40320

11. 01m ≤< 12. []3,2--

二、选择题：(共20分，每小题5分)

13. C 14. D 15. C 16. C

三、解答题

17、解：（1） ⊥PA 平面ABC ，AB PA ⊥，又 AB AC ⊥，

⊥∴AB 平面PAC ，

所以DPA ∠就是PD 与平面PAC 所成的角.………4分

在PAD Rt ?中，2

3

,2==AD PA ，………………………………………6分 所以4

3arctan

=∠DPA ， 即PD 与平面PAC 所成的角的大小为4

3

arctan

.………………………8分 （2）PDB ?绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体，是以AB 为底面半径、AP 为高的圆锥中

挖去一个以AD 为底面半径、AP 为高的小圆锥. ………10分

所以体积πππ2

3

2)23(312)3(3122=??-??=V . ……………14分.

18、解：（1）由条件得：21cos 21

()sin cos sin 222

x f x x x x x +=+?=+，

即1()cos 2sin 2222

f x x x =

++………2分

sin(2)32

x π=++，………3分

因为[0,

]2

x π

∈，所以sin(2)[3x π+∈

因此()sin(2)3

f x x π

=+

+

1]+………6分

（2）由()2

A

f =sin()3

2

A π

+=

因为(0,)A π∈，所以4(,)333A π

ππ+

∈，所以233A ππ+=

，即3

A π

=.………8分 由余弦定理得：2216b c bc +-=，所以2

()316b c bc +-=， 又5b c +=，解得3bc =，………12分

所以1sin 24

ABC S bc A ?=

=.………14分

19、解：（1）1

()(0)4

f x x x =

≥.……3分，

()0)g x x =

≥.………6分 （2）设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为（10x -）万元，

创业团队获得的利润为y 万元，

则1

()(10)(10)(010)4y g x f x x x =+-=

-≤≤.………10分

t =，()

1002545412≤≤++-=t t t y

，即21565

()(04216

y t t =--+≤≤，

当5

2

t =，即 6.25x =时，y 取得最大值4.0625………13分

答：当B 产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得的最大利润为4.0625万元.……14分 20、解：（1）易得1(2,0)F -，2(2,0)F ，Γ

的渐近线方程为y x =，由对称性，

不妨设:2) l y x =

-,

即20x --=，------------------2分 所以，1(2,0)F -到l

的距离2d =

=.-----------------------------4分

（2）当直线l 的斜率为1时，l 的方程为2y x =-，------------------------5分 因此，(0,2)Q -， -----------------------------6分 又1(2,0)F -，故1

(2,2)FQ =-， 设Γ右支上的点P 的坐标为(,),(0)x y x >，则1(2,)F P x y =+， 由11

0F P FQ ?=，得2(2)20x y +-=，-----------------------8分

又2213

x y -=，联立消去y 得2212150x x ++=，

由根与系数的关系知，此方程无正根，

因此，在双曲线Γ的右支上不存在点P ，满足11

0F P FQ ?=. --------------------10分

（3）设1122(,),(,) A x y B x y ，则1212

(

,)44

x x y y M ----， ----------------11分 由M 点在曲线上，故

2

12212(

)

4()134

x x y y -----=(*)

设:(2) l y k x =-

联立l 与Γ的方程，得2

2

2

2

(13)121230k x k x k -+--=---------------------------12分

由于l 与Γ交于不同两点，所以，k ≠. 所以，2

122

1213k x x k -+=-，

因此，1212122

4(2)(2)()413k

y y k x k x k x x k k

-+=-+-=+-=

-. ------------14分 从而(*)即为222

22

124()3()481313k k k k

---=--，

解得2

k =±

.

即直线l 的方程为20x ±-= . -------------------------------------------16分

21、解：（1）由条件得11

22

a b +=

=，11a =2，1b =2.----------4分 （2）充分性：当{}n a 为常数数列时，{}n a 是公差为零的等差数列；--------------5分 必要性：当{}n a 为等差数列时，1120m m m a a a -++-=对任意2,*m m N ≥∈恒成立，

----------------------------------------------------------------------6分

而112m m m a a a -++-

=1m a -+1

2

11()()m m m m a b a b --+-+ =

1

2

1()m m m a b b -+-

=

1111(22

m m m a b b ---++-

，

0>0=，即11m m a b --=，-------------9分 从而1111

122

m m m m m m a b a a a a -----++=

==对2,*m m N ≥∈恒成立, 所以{}n a 为常数列. ------------------------------------------------------------------------10分

（3）因为任意*

,2n N n ∈≥，11

2

n n n n a b a b --+=

≥=，--------------12分 又已知11a b ≥，所以n n n c a b =-. 从而11n n a b ++-

=

111

((2)()2222n n n n n n n n n a b a b a b b a b +=+-≤+-=-，

即11

2n n c c +≤， ----------------------------------------------------------------------------------14分 则n c ≤121n c -≤2212n c - ≤…≤111

2

n c -，----------------------------------------------16分 所以2n c c ++≤11

2

c ++1112n c -=11(1)2n --1c <1c .-------------------18分