推理与证明(教案)

富县高级中学集体备课教案

年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时

教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

重点归纳推理及方法的总结中心

发言

人王晓君

难点归纳推理的含义及其具体应用

教具课型新授课课时

安排

1课

时

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教学过程

教一、原理初探

①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”

②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？

③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？

正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？

⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

二、新课学习

1、哥德巴赫猜想

哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明

归纳推理的发展过程

学过程证明，得得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这

种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减

少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为

止，这样就证明了“哥德巴赫”。

2、数学建构

●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).

注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般

的推理。

3、师生活动

例1前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，

蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.

结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2 ：前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸

五边形的内角和是5400，……

结论：凸n边形的内角和是（n—2）×1800。

例3：

,

3

3

3

2

3

2

,

2

3

2

2

3

2

,

1

3

1

2

3

2

+

+

<

+

+

<

+

+

<探究：述结论都成立吗？

强调：归纳推理的结果不一定成立！“一切皆有可能！”

三、课堂练习

{}

11

1,(1,2,......),

1

n

n n

n

a

a a a n

a

+

===

+

已知数列的第一项且试归纳出这个数列的通项公式。

四、课堂小结

(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体

数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一

种发现一般性规律的重要方法。

(2)归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出

一个明确表述的一般命题（猜想）证明

五、作业：

教

后

反

思

审核人签字：

(,,)

a b m

<

b b+m

由此我们猜想：均为正实数。

a a+m

富县高级中学集体备课教案

年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 类比推理第 1 课时

教学目标1、通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，

并把它用于对问题的发现中去。

2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3、正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事

物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问

题，探求新知识。

重点了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理中心

发言

人王晓君

难点用类比进行推理，做出猜想

教具课型新授课课时

安排

1课时

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教学过程一．问题情境

从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.

他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的。这个推理过程是归纳推理吗？

二．新课学习

我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：

(1) a=b?a+c=b+c; (1) a＞b?a+c＞b+c;

(2) a=b? ac=bc; (2) a＞b? ac＞bc;

(3) a=b?a2=b2;等等。 (3) a＞b?a2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？

例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.

球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.

圆球圆球圆球圆球

弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积圆的性质球的性质

圆心与弦(不是直径)的中点

的连线垂直于弦

球心与截面圆(不是大圆)

的圆点的连线垂直于截面

圆

教 学

过

程 与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大

圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：

⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。即 例3.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

直角三角形

3个面两两垂直的四面体

∠C ＝90°

3个边的长度a ，b ，c

2条直角边a ，b 和1条斜边c

∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90° 4个面的面积S 1，S 2，S 3和S

3个“直角面” S 1，S 2，S 3和1个“斜面

三、课堂小结

1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。2.类比推理的一般步骤： 四、作业布置

教 后 反 思

审核人签字：

观察、比较

联想、类推

猜想新结论

富县高级中学集体备课教案

年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§2.1直接证明--综合法第 1 课时

教学目标1、结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一综合法；

2、能够运用综合法证明数学问题

3、通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯。

重点了解综合法的思考过程、特点中心

发言

人王晓君

难点用综合法证明时的解题过程

教具课型新授课课时

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1课

时

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教学过程一、新课引入

1、比较222

a b ab

+与的大小关系.

生：ab

b

a2

2

2≥

+。

2、

2222

,0,:((4

a b a b c b c a abc

>++≥

已知:求证)+)

生：讨论、交流完成，对比解答

二、新课学习

1、综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。（也形象地称为“顺推证法”或“由因导果法”）

例2、若实数1

≠

x，求证：.)

1(

)

1(32

2

4

2x

x

x

x+

+

>

+

+

证明：采用差值比较法：

2422

3(1)(1)

x x x x

++-++=

3

2

4

2

4

22

2

2

1

3

3

3x

x

x

x

x

x

x-

-

-

-

-

-

+

+

)1

(23

4+

-

-x

x

x=)1

(

)1

(22

2+

+

-x

x

x

22

13

2(1)[()].

24

x x

=-++

教

学

过

程 ,

04

3

)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ,

0]43

)21[()1(222>++-x x

∴

.)1()1(32

242x x x x ++>++ 例3、已知,,+∈R b a 求证

.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称， 不妨设.0>≥b a

0)(0

≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a

从而原不等式得证

2）商值比较法：设,0>≥b a

,0,1≥-≥b a b a

.

1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不

等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

三、课堂练习

四、课堂小结

综合法的一般思路：

五、作业布置

教 后 反 思

审核人签字：

富县高级中学集体备课教案

年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§2.1直接证明—分析法第 1课时

教学目标1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之二分析法；

2、了解分析法的思考过程、特点。

3、多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

重点了解分析法的思考过程、特点中心

发言

人王晓君

难点分析法的思考过程、特点

教具课型新授课课时

安排

1课

时

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教学过程一．新课引入

证明数学命题时，还经常从要证的结论Q 出发，反推回去，寻求保证Q 成立的条件，明确M成立，再去寻求M 成立的充分条件(利用定理、定义、公理等）；……直到找到一个明显成立的事实。

二．新课学习

1、分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法

2、用分析法证明不等式的逻辑关系是：

()()

1121

().....()

n n n

Q P P P P P P P

-

?←?←?←?

3、分析法的思维特点是：执果索因

4、分析法的书写格式：要证明命题B为真，

只需要证明命题

1

B为真，从而有……

这只需要证明命题

2

B为真，从而又有……

这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真

三、例题分析

例1、求证5

2

7

3<

+

证明：因为5

2

7

3和

+都是正数，所以为了证明5

2

7

3<

+只需证明2

2)5

2(

)7

3

(<

+展开得20

21

2

10<

+

即25

21

,

10

21

2<

<因为25

21<成立，所以

2

2)5

2(

)7

3

(<

+成立即证明了5

2

7

3<

+

教

学 过 程

说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法

②分析法论证“若A 则B ”这个命题的模式是：为了证明命题B 为真， 这只需要证明命题B 1为真，从而有…… 这只需要证明命题B 2为真，从而又有…… 这只需要证明命题A 为真 而已知A 为真，故B 必真

在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：

根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ‘

；根据结论的结构特点

去转化条件，得到中间结论 P ‘．若由P ‘可以推出Q ‘

成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

例4 已知,()2

k k Z π

αβπ≠+

∈，且 sin cos 2sin θθα+= ① 2sin cos sin θθβ= ②

求证：2222

1tan 1tan 1tan 2(1tan )

αβαβ--=++。 证明：因为2

(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将 ① ② 代入，

可得

224sin 2sin 1αβ-=. ③

另一方面，要证2222

1tan 1tan 1tan 2(1tan )

αβ

αβ--=++ 即证222222

22

sin sin 11cos cos sin sin 12(1)cos cos βαβααβαβ

--=++ ， 即证22221

s sin (s sin )2co co ααββ-=-，

即证221

12sin (12sin )2

αβ-=-，

即证22

4sin 2sin 1αβ-=。

由于上式与③相同，于是问题得证。 三、课堂练习 四、课堂小结

综合法的一般思路： 五、作业布置

教 后 反 思

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富县高级中学集体备课教案

年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§3间接证明—反证法第 1 课时

教学目标１、结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

２、多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

３、通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

重点了解反证法的思考过程、特点中心

发言

人王晓君

难点反证法的思考过程、特点

教具课型新授课课时

安排

1课

时

教法讲练结合学法归纳总结个人主页

教学过程一．新课引入

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：

(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

二、新课学习

1、反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

2、归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

三、例题分析

例1、已知直线,a b和平面，如果,

a b

αα

??，且||

a b，求证||

aα。

下面用反证法证明直线a与平面

α没有公共点．假设直线a 与平面α

有公共点P，则P b

αβ

∈=，即点P

是直线 a 与b的公共点，这与||

a b

矛盾．所以||

aα.

教

学

过

程

点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

推理模式：,,////a b a b a ααα???．

例2、求证：2不是有理数

证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n ，使得2m

n =，从而有2m n =,

因此，222m n =，

所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有 2242k n =，即222n k =

所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．

正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数

与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。

例3、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）

证明：假设n a 不大于n b ，即n n a b <或n n a b =.

∵a ＞0，b ＞0

∴由n n a b

(注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么?) ?a ＜b(推理利用了不等式的传递性). 又由n n a b =?a b = 但这些都与已知条件，a ＞b ＞0相矛盾. ∴n n b a >成立. 例4、设233=+b a ，求证.2≤+b a

证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而 .

2)1(68126,

61282

233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a 因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。 四、课堂练习

1．设0 < a , b , c < 2，求证：(2 - a )c , (2 - b )a , (2 - c )b ,不可能同时大于1

2．若x , y > 0，且x + y >2，则

x

y +1和y x

+1中至少有一个小于2。

教 后 反 思

审核人签字：