控制系统设计及分析

控制系统设计及分析 一、SISO 控制系统的模型

1、环节串联

G(s)=G1(s)*G2(s)*…*Gn(s) sys=sys1*sys2*…*sysn

或:

sys=series(sys1,sys2); sys==series(sys,sys3); …; sys=series(sys,sysn) 或：

[num,den]= series(num1,den1,num2,den2); [num,den]= series(num,den,num3,den3); …;

[num,den]= series(num,den,numn,denn); sys=tf(num,den)

Ex311.m ：求三个控制环节串联后的传递函数：

3

25

6:

3)1(32:

2)

1(1:

12

2+++++++s s sys s s sys s s s s sys

%sys1的传递函数 num1=[1,1];

den1=conv([1,0],[1,1,1]); sys1=tf(num1,den1);

%sys2的传递函数

num2=[2,3];

den2=conv([1,1],[1,1]);

sys2=tf(num2,den2);

%sys3的传递函数

num3=[6,5];

den3=[2,3];

sys3=tf(num3,den3);

%系统串联总的传递函数

sys=sys1*sys2*sys3

2、环节并联

G(s)=G1(s)+G2(s)+…+Gn(s)

sys=sys1+sys2+…+sysn

或:

sys=parallel(sys1,sys2);sys=parallel (sys,sys3);…; sys= parallel (sys,sysn)

或:

[num,den]= parallel (num1,den1,num2,den2); [num,den]= parallel (num,den,num2,den2);

…;

[num,den]= parallel (num,den,numn,denn);

sys=tf(num,den)

Ex312.m ：求三个控制环节并联后的传递函数：

3

21

:

3)1(32:

2)

1(1:

12

2+++++++s s sys s s sys s s s s sys

num1=[1,1];

den1=conv([1,0],[1,1,1]); sys1=tf(num1,den1); num2=[2,3];

den2=conv([1,1],[1,1]); sys2=tf(num2,den2); num3=[1,1]; den3=[2,3]; sys3=tf(num3,den3); %系统并联总的传递函数

sys=sys1+sys2+sys3

3、反馈连接

)

()(1)

()()(s H s G s G s X s X i o ±=

“+”为负反馈，“-”为正反馈

sys 为系统闭环传递函数；sys1表示G(s)；sys2表示H(s):

格式：

sys=feedback(sys1,sys2,sign)

sign=1表示“-”为正反馈；sign=-1表示“+”为负反馈，缺省为负反馈。

Ex313.m ：求一负反馈控制系统的闭环传递函数：

2

2)1(32)(:

)

1(1)(++=

+++=

s s s H s s s s s G

num1=[1,1];

den1=conv([1,0],[1,1,1]); sys1=tf(num1,den1); num2=[2,3];

den2=conv([1,1],[1,1]); sys2=tf(num2,den2);

%系统负反馈总的传递函数，方法1 sys=feedback(sys1,sys2)

%系统负反馈总的传递函数，方法2 sys=feedback(sys1,sys2,-1)

二、SISO 控制系统的模型之间的转换

[z,p,k]=tf2zp(num,den) [num,den]= zp2tf(z,p,k) [res,poles,k]=residue(num,den)

[num,den]= residue([res,poles,k) ss2tf tf2ss ss2zp zp2ss c2d d2c

Ex315.m ：将零极点模型转换为传递函数模型：

)0808.1569.1)(0808.11569.0)(2162.0()

2.0)(25.0(5.2)(i s i s s s s s G ++-++++=

三、系统稳态误差

Ex321.m ：（调用jixian.m 函数输入激励信号类型，wucha.m 返回误差系数Kp 、Kv 、Ka 。）

已知一控制系统的前向通道传递函数为G(s)，反馈回路传递函数为H(s)，求系统的误差系数Kp 、Kv 、Ka 。(开环传递函数)

250

135

.0)(:

)

183(10)(2+=

+++=

s s H s s s s s G

四、瞬态响应分析(时域分析)

step(sys) step(sys,tfinal)

step(sys,t)

step(sys1,sys2,sys3,……,sysN,t)

[y,t]= step(sys) [mn,z,p]=damp(sys) K=degain(sys)

（一）、一阶系统瞬态响应分析

信号：单位阶跃函数、单位脉冲函数、单位斜坡函数、抛物线函数、正弦函数、随机函数等。 step impulse lsim

1、一阶系统的单位阶跃响应

一阶系统的典型形式是一个惯性环节，其闭环传递函数：

1

1

)(+=

ΦTs s 单位阶跃函数：

s

s X t t x 1)()

(1)(=

= a177 一阶系统的单位阶跃响应 2、一阶系统的斜坡响应 斜坡函数：

2

1)()(s s X t

t x =

=

a179 一阶系统的斜坡响应

3、一阶系统的单位脉冲响应 脉冲函数：

1)(1

lim

)(0

==→s X t x ε

ε

a181 一阶系统的单位脉冲响应

（二）、二阶系统瞬态响应分析 二阶系统的开环传递函数：)

1()(+=Ts s K

s G 其闭环传递函数：K

s Ts K

s ++=

Φ2

)( 表示为标准形式：2

222)()

()(n

n n s s S X S Y s ωζωω++==Φ

式中：T

K n

=

ω为自然频率（无阻尼振荡频率），TK

21=

ζ为阻

尼比（相对阻尼系数）。

MATLAB 用damp( )函数直接求出系统每一个极点所对应的

n ω和ζ

。

用degain( )函数求出系统的直流（D.C.）增益，对稳定系统即求出系统的稳态终值。

[mn,z,p]=damp(sys) K=degain(sys)

1、二阶系统单位阶跃响

Ex341.m ：绘制二阶控制系统的单位阶跃响应曲线，并求出系统的n ω、ζ和)(∞y 的值：（注：结果图中用鼠标右键点击，可得到上升时间Tr 、调整时间Ts 、直流增益 k 、超调量Mp

等值（误差带为2%））。

3

5.13

)(2

++=

s s s G 2、高阶系统瞬态响应分析

Ex342.m ：绘制高阶控制系统的单位阶跃响应曲线，并求出系统的n ω、ζ和)(∞y 的值，要求时间t=0~20（秒）：

6

26136101462)(2

3423+++++++=s s s s s s s s G 3、系统时域阶跃响应，稳态终值)(∞y 、上升时间Tr 、峰值时间Tp 和最大超调量Mp 、调整时间Ts 等参数的计算程序： bstep(Bsys,wcha)：闭环传递函数Bsys 的阶跃响应，wcha=0.02或0.05

kstep(Gsys,Hsys,wcha)：开环传递函数的阶跃响应，Gsys 为系统前向通道传递函数，Hsys 为系统反馈通道传递函数。 Ex343.m ：绘制控制系统的单位阶跃响应曲线和显示系统响应的时域参数：

Gsys=tf[1 3],[2 1 0]）；Hsys=tf(1,[2 3]); wcha=0.05

4、二阶系统单位脉冲响应曲线

Ex344.m ：绘制二阶控制系统的单位脉冲响应曲线：

3

5.16

)(2

++=

s s s G 5、任意信号的响应

Ex345.m ：单位负反馈系统闭环传递函数

20

65.001.020

5)(2

3++++=

s s s s s G 对输入信号为2821)(t t t u ++=的响应。

Ex346.m ：单位负反馈系统开环传递函数)

11.0(100

)(+=s s s G 对输入

信号为)8.2sin(5.3)(t t u =的响应。

（三）、瞬态响应指标 延迟时间 上升时间 峰值时间

最大超调量（相对稳定性） 调整时间（快速性） 振荡次数

六、频率域分析

幅相频率特性——奈魁斯特图：nyquist 对数频率特性——波德图：bode

对数幅相频率特性——尼柯尔斯图：nichols

（一）典型环节的幅相频率特性——奈魁斯特图（work3文件夹） nyquist(sys)

nyquist(sys,{wmin,wmax}) nyquist(sys,w)

nyquist(sys1, sys2, sys3,……sysN,w) [re,im]=nyquist(sys,w) [re,im,w]=nyquist(sys)

在nyquist 图中，系统的临界点为：(-1+j0)。

re ：返回频率响应实部，re(1,1,k)表示在频率点)(k k ωω=的实部；im ：返回频率响应虚部，im(1,1,k) 表示在频率点)(k k ωω=的虚部。

1、放大环节

K s G K

j G ==)()(ω

K=1 ng=1 dg=[0 1] a104 放大环节幅相频率特性 2、惯性环节

1

1

)(1

1)(+=

+=

s s G Tj j G ωω T=1时： ng=1 dg=[1 1]

a105 惯性环节幅相频率特性 3、积分环节

s

s G j j j G 1

)(11)(=

-==

ω

ωω K=1 ng=1 dg=[1 0]

a106 积分环节幅相频率特性 4、微分环节

s s G j j G ==)()(ω

ω

K=1 ng=[1 0] dg=1

a107 微分环节幅相频率特性

5、振荡环节

1

21

)(1

)(2)(1

)(2222++=

++=

Ts s T s G j T j T j G ζωζωω

T=1时： K=1 ng=1 dg=[1 2ζ 0] ζ=1，0.5，

0.3

a108 振荡环节幅相频率特性 6、一阶微分环节

Ts s G T

j j G +=+=1)(1)(ωω

T=1时： K=1 ng=[1 1] dg=1

a109 一阶微分环节幅相频率特性 7、二阶微分环节

12)(1

)(2)()(2222++=++=Ts s T s G j T j T j G ζωζωω

T=1时： K=1 ng=[1 2ζ1] dg=1 a110 二阶微分环节幅相频率特性 8、二阶系统的幅相频率特性

)

02.01(112

)(s s s G +=

K=112 ng=1 dg=[0.02 1 0] a111 二阶系统的幅相频率特性。 Ex361.m ：开环系统传递函数为：)

110)(15(10

)(++=

s s s G ，绘制

nyquist 曲线，判断闭环系统是否稳定。（开环系统的特征方程的根都在左半S 平面，开环系统是稳定的，当ω由负无穷变到正无穷时，nyquist 曲线不包围-1+j0点，即闭环状态下

是稳定的。）

Ex362.m ：开环系统传递函数为：)

110)(15(10

)(++=

s s s s G ，绘制

nyquist 曲线，判断闭环系统是否稳定。（开环系统的特征方程的根都在左半S 平面，开环系统是稳定的，当ω由负无穷变到正无穷时，nyquist 曲线包围-1+j0点，即闭环状态下是不稳定的。）

（二）典型环节的对数频率特性——波德图bode （work3文件夹） bode (sys)

bode (sys,{wmin,wmax}) bode (sys,w)

bode (sys1, sys2, sys3,……sysN,w) [mag,phase]= bode (sys,w) [mag,phase,w]= bode (sys)

处理：magdB=20*log10(mag)，使幅值单位为分贝。 margin(sys)

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys) 1、放大环节

K s G K

j G ==)()(ω

K=1 ng=1 dg=[0 1]

a114 放大环节对数幅频特性和对数相频特性（BODE 图）

2、惯性环节

1

1)(1

1)(+=

+=

s s G Tj j G ωω T=1时： ng=1 dg=[1 1]

a115 惯性环节对数幅频特性和对数相频特性（BODE 图） 3、积分环节

s

s G j j j G 1

)(11)(=

-==

ω

ωω K=1 ng=1 dg=[1 0]

a117 积分环节对数幅频特性和对数相频特性（BODE 图） 4、微分环节

s s G j j G ==)()(ω

ω

K=1 ng=[1 0] dg=1

a118 微分环节对数幅频特性和对数相频特性（BODE 图） 5、振荡环节

1

21

)(1

)(2)(1

)(2222++=

++=

Ts s T s G j T j T j G ζωζωω

T=1时： K=1 ng=1 dg=[1 2ζ 0] ζ=1，0.5，0.3 a119 振荡环节对数幅频特性和对数相频特性（BODE 图） 6、一阶微分环节

Ts s G T

j j G +=+=1)(1)(ωω

T=1时： K=1 ng=[1 1] dg=1

与惯性环节互为倒数，对数幅频特性和对数相频特性以横轴ω为对称轴与惯性环节对称。

7、二阶微分环节

12)(1

)(2)()(2222++=++=Ts s T s G j T j T j G ζωζωω

T=1时： K=1 ng=[1 2ζ1] dg=1

与振荡环节互为倒数，对数幅频特性和对数相频特性以横轴ω为对称轴与振荡环节对称。 8、振荡系统

1

08.004.01

)(1

)(08.0)(04.01

)(2

2++=

++=

s s s G j j j G ωωω K=1 ng=1 dg=[0.04 0.08 1]

a123 振荡系统的对数频率特性（BODE 图）

Ex363.m ：开环系统传递函数为：

)

110)(15(10

)(++=s s s G ，绘制

bode

曲线，判断系统是否稳定，得出系统频率响应的性能参数。

Ex364.m ：开环系统传递函数为：

)

110)(15(10

)(++=s s s s G ，绘制

bode

曲线，判断系统是否稳定，得出系统频率响应的性能参数。

（三）、对数幅相频率特性——尼柯尔斯图：nichols nichols (sys)

nichols (sys,{wmin,wmax}) nichols (sys,w)

nichols (sys1, sys2, sys3,……sysN,w) [mag,phase]= nichols (sys,w) [mag,phase,w]= nichols (sys)

在nichols 图中，系统的临界点为：(-180°，0dB)。 Ex365.m ：开环系统传递函数为：)

110)(15(10

)(++=s s s G ，绘制

nichols 曲线，判断系统是否稳定。 Ex366.m ：开环系统传递函数为：)110)(15(10

)(++=s s s s G ，绘制

nichols 曲线，判断系统是否稳定。

（四）、开环系统的对数频率特性（BODE 图） 1、开环系统

)1200

06.0400001)(1401()1100(80)()

1200

3.02)200)((140()1100(80)(22++++=

+?+++=

s s s s s

s G j j j j j j G ωωωωω

ω

a125 开环系统的对数频率特性（BODE 图） （五）、闭环系统的频率特性

只要在系统的开环幅相频率特性——奈魁斯特图上，取不同的ω值，求出相应的闭环频率特性的幅值M （ω）和相角φ（ω）后，就可求出系统的闭环频率特性曲线。（麻烦）

借助尼柯尔斯图，由系统的开环波德图，求取系统的闭环波德图。1、单位反馈系统

1)()

1.01)(05.01(7

.11)(=++=

s H s s s s G

a132 单位反馈系统的闭环波德图

2、频率域内动态特性指标与瞬态响应指标间的关系

稳定性：

相位裕量 增益裕量 谐振峰值 快速性：

穿越频率 频宽 谐振频率

七、系统稳定性分析

系统特征方程的根（即闭环传递函数的极点）全部是负实数或具有负实部的共轭复数，即全部极点都在复平面s 的左半平面。

Ex331.m ：设闭环系统的特征方程为：065104234=++++s s s s ，判别系统的稳定性。

Ex332.m ：设闭环系统的特征方程为：

0516178102345=+++++s s s s s ，判别系统的稳定性。

Ex333.m ：设负反馈控制系统，判别系统稳定的K 的取值范

围。5

1)(:

115)1()(23+=

+++=

s s H s

s s s K s G 函数ljiewding.m 求系统临界稳定的K 值，调用chdihshu.m 函数求系统特征根。 基本概念：

稳定性 稳定的条件 稳定判据

霍尔维茨稳定判据（代数判据）

频率判据：奈魁斯特判据（开环幅相频率特性）

对数频率判据（开环波德图）

稳定裕量：裕量增益（幅值裕量）、相位裕量 roots margin pzmap

a154 a155 不同增益，系统的相位裕量和增益裕量

1)()

1)(2.01()(=++=

s H s s s K

s G