弧、弦、圆心角
2020-2021学年九年级上学期《24.1.3 弧、弦、圆心角》一．选择题（共25小题）
1．下列说法正确的是（）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D．相等的弦所对的弧相等
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【解答】解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．
B、正确．
C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．
D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（）
A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB
【分析】如图连接BC，首先证明AB＝BC，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：如图．连接BC．
∵＝2，
∴＝，
∴AB＝BC，
∴AB+BC＞AC，
∴2AB＞AC，
故选：C．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？
（）
A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜
C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜
【分析】连接AD，OB，OC，根据题意得到∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E 连接AE，CE，由圆周角定理得到∠E＝AOC＝67.5°，求得∠ABC＝122.5°＜130°，取的中点F，连接OF，得到∠ABF＝123.25°＜130°，于是得到结论．
【解答】解：连接AD，OB，OC，
∵＝180°，且＝，＝，
∴∠BOC＝∠DOC＝45°，
在圆周上取一点E连接AE，CE，
∴∠E＝AOC＝67.5°，
∴∠ABC＝112.5°＜130°，
取的中点F，连接OF，
则∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝90°+22.5°＝112.5°，
∴∠ABF＝123.75°＜130°，
∴Q点在上，且＜，
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
4．如图，AB是直径，，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°从而求得∠AOE的度数．
【解答】解：∵，∠BOC＝40°，
∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．
故选：D．
【点评】本题利用了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等．
5．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）
A．32°B．60°C．68°D．64°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由＝得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．
【解答】解：∵＝，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接CO，如图：
∵在⊙O中，＝，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠ADC＝∠AOC＝20°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）
A．51°B．56°C．68°D．78°
【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE 的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．
故选：A．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD＝BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）
A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
10．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）
A．80°B．70°C．60°D．40°
【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB＝2∠ACB，则结果即可得出．【解答】解：由题意得，∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，重点是圆周角定理的应用．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）
A．26°B．64°C．52°D．128°
【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB ＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝26°，
∴∠B＝64°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝64°，
∴∠BCD＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
∴的度数为52°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
12．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）
A．8B．10C．11D．12
【分析】作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．
【解答】解：作直径CF，连结BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝6，
∴BC＝＝8．
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．
13．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC 于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．
A．30B．45C．50D．60
【分析】根据已知条件“过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D、，∠ABC＝30°”、及直角三角形OBE的两个锐角互余求得∠BOE＝60°；然后根据同弧BD所对的圆周角∠DCB 是所对的圆心角∠DOB的一半，求得∠DCB的度数．
【解答】解：∵OD⊥BC，∠ABC＝30°，
∴在直角三角形OBE中，
∠BOE＝60°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵∠DCB＝∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠DCB＝30°；
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（）
A．65°B．55°C．60°D．75°
【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又
由∠CAB＝25°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，
∴∠ADC＝∠ABC＝65°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
15．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）
A．56B．58C．60D．62
【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，根据平行线求出∠1＝∠2，推出弧DC＝弧AM＝62°，即可求出答案．
【解答】解：
以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠2，
∴弧AM＝弧DC＝62°，
∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线性质，圆周角定理的应用，关键是求出弧AM的度数．16．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝∠BCD，则的度数为（）
A．60°B．90°C．120°D．150°
【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A＝60°，得出∠BOD＝120°即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，
∴2∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴的度数为120°
故选：C．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD＝120°是解决问题的关键．
17．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（）
A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD
【分析】连接BC，根据弧与弦的关系得出，进而判断即可．
【解答】解：连接BC，
∵，
∴，
∴，
∴AC＝BD，
故选：C．
【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据弧与弦的关系得出．18．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，下列判断中错误的是（）
A．OD＝DC B．＝
C．AD＝BD D．
【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系判断即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，
∴＝，AD＝BD，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，B、C、D正确，不符合题意，OD与DC不一定相等，A错误，符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及垂径定理是解题的关键．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）
A．28°B．64°C．56°D．124°
【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB ＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝62°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝62°，
∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴的度数为56°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
20．如图，圆心角∠AOB＝25°，将AB旋转n°得到CD，则∠COD等于（）
A．25°B．25°+n°C．50°D．50°+n°
【分析】根据旋转的性质得到＝，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答．
【解答】解：∵将AB旋转n°得到CD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOB＝25°，
故选：A．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
21．下列语句中，正确的有（）
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的两条弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理等相关知识进行解答即可．
【解答】解：A、此题是圆心角、弧、弦的关系定理，故A正确；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故B错误；
C、在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，故C错误；
D、任何图形的对称轴都是直线，而圆的直径是线段，故D错误；
故选：A．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理；
圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
22．如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（）
A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC
【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根据∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE+BE＞AB可得2CD＞AB．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，
又∵∠COD＝∠AOB，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD，
∴CD＝AE＝BE，
∵在△ABE中，AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB，
故选：C．
【点评】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键．
23．有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据圆心角、弧、弦的相关知识进行解答．
【解答】解：①在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧的长度相等；故①正确；
②正确；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故③错误；
④圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故④错误；
⑤在同圆中，等弦所对的圆周角相等或互补；故⑤错误；
因此正确的结论是①②；
故选：B．
【点评】本题涉及的知识点有：圆周角定理的推论，等弧的概念和性质，以及圆心角、弧、弦的关系等．
24．如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（）
A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O
C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°
【分析】过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到＝，于是得到＝＝，推出AE＝BE＝BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；
【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，
则＝，
∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE＝AOB，
∵∠AOB＝2∠BOC，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，
∴＝＝，
∴AE＝BE＝BC，
∴2BC＞AB，故C错误；
∵OA＝OB＝OC，
∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，
∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，
∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；
∵∠BOE＝∠BOC＝AOB，
∵∠BOE+∠OBA＝90°，
∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）
A．105°B．120°C．135°D．150°
【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．【解答】解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，
∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，
∴∠BCD＝120°．
故选：B．
【点评】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．二．填空题（共10小题）
26．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数60°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，
∴2OM＝OC，2ON＝OD，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，
∴∠MCO＝∠NDO＝30°，
∴∠MOC＝∠NOD＝60°，
∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴的度数是60°，
故答案为：60°
【点评】此题考查圆心角、弧、弦，关键是根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为56°．
【分析】连结CD，首先根据直角三角形的两个锐角互余，得到∠A＝90°﹣∠B＝62°．再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到∠ACD的度数，进一步得到其所对的弧的度数．
【解答】解：连结CD．
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝28°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝62°．
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝62°，
∴∠ACD＝56°，
∴弧AD的度数为56°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，知道弧的度数等于它所对的圆心角的度数．综合运用了三角形的内角和定理及其推论，根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算．
28．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为60°．【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB 所对的圆心角为周角的．
【解答】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
∴弦AB所对的圆心角的度数＝×360°＝60°，
故答案为60°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
29．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝60度．
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠C＝20°，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝20°，
∴∠OAB＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝60°，
【点评】本题考查的等腰三角形的性质的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．
30．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是51°．
【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE 的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．
故答案为：51°．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．31．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝1，CD＝2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM＝CM；②；③⊙O的直径为2；④AE＝AD．其中正确的结论有①②④（填序号）．
垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习
垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？ 2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。 600 3. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ A D B O C E 4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。 6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。
C A P O D C E O A D B 7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。 8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜5 10.下列说法中，正确的是（） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（） A. 45° B. 90° C. 135° D. 270° 12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°
弧、弦、圆心角
2020-2021学年九年级上学期《24.1.3 弧、弦、圆心角》一．选择题（共25小题） 1．下列说法正确的是（） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．相等的弦所对的弧相等 【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【解答】解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意． B、正确． C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意． D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等． 故选：B． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（） A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB 【分析】如图连接BC，首先证明AB＝BC，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：如图．连接BC． ∵＝2， ∴＝，
∴AB＝BC， ∴AB+BC＞AC， ∴2AB＞AC， 故选：C． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？ （） A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜ C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜ 【分析】连接AD，OB，OC，根据题意得到∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E 连接AE，CE，由圆周角定理得到∠E＝AOC＝67.5°，求得∠ABC＝122.5°＜130°，取的中点F，连接OF，得到∠ABF＝123.25°＜130°，于是得到结论． 【解答】解：连接AD，OB，OC， ∵＝180°，且＝，＝， ∴∠BOC＝∠DOC＝45°， 在圆周上取一点E连接AE，CE， ∴∠E＝AOC＝67.5°， ∴∠ABC＝112.5°＜130°， 取的中点F，连接OF， 则∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝90°+22.5°＝112.5°，
圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习
《 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习 1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。若∠AOB=∠A＇OB＇，则AB⌒ = A'B' ⌒，AB=A＇B＇，AM=A＇M＇ 2、推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 特别提示：①弧、弦、圆心角、弦心距之间的等量转化的前提是在同圆或等圆中； 、 ②同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 ③“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，这里说的相等是指角的度数与弧的度数 相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=? AOB AB”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧； ④在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 ⑤在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立；但不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 3、应用 （1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答； （2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距。 （3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。 （4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：
弧、弦、圆心角练习题及答案
一.教学内容： 弧、弦、圆心角 二. 教学目标： 1. 使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念； 2. 使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题； 3. 使学生理解并掌握1°的弧的概念 4. 培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律. 三. 教学重点、难点： 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点。 四. 教学过程设计： 1. 圆的旋转不变性 圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。 圆所特有的性质——圆的旋转不变性 圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角，弦心距的概念. 顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧AB是∠AOB所对的弧，弦AB既是圆心角∠AOB也是弧AB所对的弦. 圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 同样还有： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。 4. 1°的弧的概念. (投影出示图7－59)
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB=，这是错误的。 【典型例题】 例1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？ （1）如图所示：因为∠AOB=∠A ′OB ′，所以 = . （2）在⊙O 和⊙O ′中，如果弦AB=A ′B ′，那么=。 分析：（1）、（2）都是不对的。在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理。对于（2）也缺少了等圆的条件. 可让学生举反例说明。 例2. 已知：如图所示，AD=BC 。 求证：AB=CD 。 证：∵AD=BC ? ?=∴BC AD ? ???? ?+=+∴=BC AC AD AC AC AC DC AB AB DC =∴=∴? ? 变式练习。已知：如图所示， = ，求证：AB=CD 。 证：∵? ?? ?==AC AC BC AD ∴? ???+=+AC BC AC DA ? ?=∴AB DC CD AB =∴ 例3. 在圆O 中，?=∠=? ?60ACB AC AB 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
九年级圆垂径定理弦弧圆心角圆周角提高练习
垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角提高练习 一、选择题 A1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 A2如图，△ ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五 个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ，⑤ , 正确结论的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 A3．如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60? B ．50? C ．40? D ．30? A4．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠B 大小为 ( ) A ．25° B ．35° C ．45° D ．65° 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 A6、如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2， 120=∠AOB ，则弦AB 的长是 （ ） （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）23 B7．如图２，△ABC 内接于⊙O ，若∠OA Ｂ＝２８°，则∠C 的大小是（ ） A ．６２° B ．５６° C ．２８° D ．３２° B8. 如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，且∠APB=50°若点M 是⊙O 上的动 点，要使△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （第2题图） （第3题图） （第4题图）
九年级数学圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系知识要点归纳
［知识要点归纳］ 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度， 都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦 心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组 量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 (1) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等， 但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。 如图，同心圆，虽然 ZAOB ZCOD ，但 AB=CD ，而且 AB = CD ，弦心 距也不相切。 (2) 要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对” 一词的含义, 从而正确运用上述关系。 下面举四个错例： c c 若O O 中，AC = DB ，则 CE = FD , CEA =/DFB CE FD 不是弦，/ CEA / BFD 不是圆心角，就不可以用圆 心角定理推论证明。 其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的 “弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 (4)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对 的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。 5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360份，我 们把每一份这样的弧叫做 1 °的弧。 一般地，n °的圆心角对着 n °的弧，n °的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的 度数和它所对的弧的度数相等。 圆心 弧弦 弦心距之间的关系 这两个结论都是错误，首先 (3)同一条弦对应两条弧, 注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。 而不是角与弧相等，在书写时要防
弧,弦,圆心角的关系练习题
弧，弦，圆心角的关系练习题 1．到点O 的距离为5的所有点构成的图形是__________ 2. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 3、在⊙O 中的两条弦AB 和CD ，AB>CD ，AB 和CD 的弦心距分别为OM 和ON ，则OM__________ON 。 4、 如图，在⊙O 中，弦EF ∥直径AB ，若弧AE 的度数为50°，则弧EF 的度数为 ，弧BF 的度数为 ，∠EOF= °，∠ EFO= °。 5， ⊙O 中，如果弧AB=2弧BC ，那么下列说法中正确的是（ ） A. AB=BC B. AB=2BC C. AB ＞2BC D. AB<2BC 6.、AB 为⊙O 的直径，C 、D 为半圆AB 上两点，且弧AC 、弧CD 、弧DB 的度数的比为3∶2∶5，则∠AOC= °，∠ COD= °，∠DOB= °。 7.. 在⊙O 中，弦AB=8cm ，弦心距为cm 34，则圆心角∠AOB= 。 8.．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．下列结论：①AB ＝CD ； ②＝；③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确的有（ ）．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9、已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦AE ∥CD ，求证： ． 10. 已知：如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D 。求证：∠OBA=∠OCD 。 11. 已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。求证：AE=BF=CD 。
(名师整理)最新中考数学专题复习《弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系》精品教案
中考数学人教版专题复习：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 一、教学内容 弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1.圆心角、圆周角的概念. 2.弧、弦、圆心角之间的关系. 3.圆周角定理及推论. 二、知识要点 1.弧、弦、圆心角 （1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. ︵︵︵︵如图所示，（1）若∠AOB＝∠COD，则AB＝CD，AB＝CD；（2）若AB＝CD， ︵︵ 则∠AOB＝∠COD，AB＝CD；（3）若AB＝CD，则∠AOB＝∠COD，AB＝CD. 1
90 A B O C D 2. 圆周角 （1 ）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角. （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于这条弧所对的圆心角的一半. C C C O 1 2 O O A ① B A ② D B E A ③ B （3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， °的圆周角所对的弦 是直径. 三、重点难点 本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的 旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明. 【典型例题】 例 1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明： ︵ ︵ （1）DB ＝AC ； （2）BD ＝AC . 2
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解(提高) 【学习目标】 1、了解圆心角、圆周角的概念; 2、理解圆周角定理及其推论,能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题; 3、掌握在同圆或等圆中,三组量:两个圆心角、两条弦、两条弧,只要有一组量相等,就可以推出其它两 组量对应相等,及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1、圆心角定义 如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2、定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 3、推论: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等. 要点诠释: (1)一个角要就是圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征、 (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提、 要点二、圆周角 1、圆周角定义: 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3、圆周角定理的推论: 半圆(或直径)所对的圆周角就是直角,90°的圆周角所对的弦就是直径. 要点诠释: (1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都与圆相交、 (2)圆周角定理成立的前提条件就是在同圆或等圆中、 4、圆内接四边形:
(1)定义: 圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. (2)性质:圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角). 5、弦、弧、圆心角、弦心距的关系: 在同圆或等圆中,弦,弧,圆心角,弦心距等几何量之间就是相互关联的,即它们中间只要有一组量相等,(例如圆心角相等),那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)、 *如果它们中间有一组量不相等,那么其它各组量也分别不等、 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1、已知:如图所示,⊙O中弦AB＝CD.求证:AD＝BC. 【思路点拨】 本题主要就是考查弧、弦、圆心角之间的关系,要证AD＝BC,只需证??AD BC =或 证∠AOD＝∠BOC即可. 【答案与解析】 证法一:如图①,∵AB＝CD,∴??AB CD =. ∴???? AB BD CD BD -=-,即?? AD BC =, ∴AD＝BC. 证法二:如图②,连OA、OB、OC、OD, ∵AB＝CD,∴∠AOB＝∠COD. ∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB, 即∠AOD＝∠BOC,∴AD＝BC. 【总结升华】在同圆或等圆中,证两弦相等时常用的方法就是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等,而图中没有已知的等弧与等圆心角,必须借助已知的等弦进行推理. 举一反三: 【变式】如图所示,已知AB就是⊙O的直径,M、N分别就是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB. 求证:??AC BD =.
圆心角圆周角练习题
知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角 1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角 2. 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系： 两个圆心角相等 圆心角所对的弧(都是优弧或都是劣弧)相等 圆心角所对的弦相等3、一个角是圆周角必须满足两个条件： （1）角的顶点在________;(2)角的两边都是与圆有除顶点外的交点。 4. 同一条弧所对的圆周角有__________个 5.圆周角定理： 1 = 2 圆周角圆心角 6.圆周角定理推论： （1）同弧或等弧所对的圆周角相等 （2）半圆或直径所对的圆周角相等 （3）90°的圆周角所对的弦是直径。 注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。 7. 圆内接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。 性质：圆内接四边形的对角
夯实基础 1．如果两个圆心角相等，那么（ ） A ．这两个圆心角所对的弦相等; B ．这两个圆心角所对的弧相等 C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D ．以上说法都不对 2.下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧 A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对 3. 在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ） A ．相等弦所对的弧相等 B ．相等弦所对的圆心角相等 C ．相等圆心角所对的弧相等 D ．相等圆心角所对的弦相等 4、如图，在⊙O 中， AB AC ，∠B =70°，则∠A 等于 ． 5、如图，在⊙O 中，若C 是 BD 的中点，则图中与∠BAC 相等的角有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个 6、如图，若AB 是⊙O 的直径，AB=10cm ，∠CAB=30°，则BC= cm ． 7、如图，已知OA ，OB 均为⊙O 上一点，若∠AOB=80°，则∠ACB=（ ）
九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习..
圆周角定理及其推论 一、知识点总结 1．圆心角：顶点在圆心的角． 注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数． 2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等 考点一：圆心角，弧，弦的位置关系 二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例 例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE= 弧BF ． 分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________． 证明： 例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别 交于点A 、B 和C 、D ． 求证：AB=CD ． 分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等． 例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ． (1)求证：∠ACO=∠BCD ． (2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 分析： (1)∠ACO=∠______， 而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求 例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ． 分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____．
1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（） 2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（） 2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（） A、AB=2CD B、AB＜2CD C、AB＞2CD D、不能确定 4、下列语句中正确的是（） A、相等的圆心角所对的弧相等 B、平分弦的直径垂直于弦 C、长度相等的两条弧是等弧 D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（） 6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（） 7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC； ④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（） 图1图2图3 8.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为 9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD． （1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB； （2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
中考数学专题复习：圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角
圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角 典题探究 例1. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（） A．160° B．150° C．140° D．120° 例2. 如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（） A．B．C．D． 例3．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（） A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C 例4. 如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）
A．6 B．5 C．4 D．3 课后练习 1．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆． (2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______． 2．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________．3．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是上一点，则∠ACB等于( )． A．80°B．100° C．120°D．130° 4．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． (1)求证：∠AOC=∠BOD； (2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论． 5. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数 6．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F，交BA的延长线于G，试说明弧EF和弧FG相等.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心 弧 弦 弦心距之间的关系 ［知识要点归纳］ 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。 例1. 例2. A C .. 例3. 例4.
【模拟试题】 一. 选择题。 1. 在⊙O 与⊙O'中，若∠=∠AOB A O B '''中，则有（ ） A. AB A B ?=? '' B. AB A B ?>?'' C. AB A B ??2 C. AB CD ? B. OM ON = C. OM ON < D. 无法确定 6. DAC 二. 1. 2. 3. 4. 弦CD 的弦心距OF ＝_______cm ，弦CD 的长为________cm 。 5. 已知⊙O 的半径为5cm ，过⊙O 内一已知点P 的最短的弦长为8cm ，则OP ＝_______。 6. 已知A 、B 、C 为⊙O 上三点，若AB BC CA ??? 、、度数之比为1：2：3，则∠AOB ＝ _______，∠BOC ＝________，∠COA ＝________。 7. 已知⊙O 中，直径为10cm ，AB ?是⊙O 的1 4 ，则弦AB ＝_________，AB 的弦心距＝ _________。
圆：弧弦圆心角圆周角关系经典练习
1.半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm. 2. 过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm 3.将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 4.一个拱形石桥，跨度为8米，拱高8米，那么这拱形石桥所在圆的半径是___________米 5. 某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部 为方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 1．下列说法中正确的是（ ）． A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的弦所对的弦心距相等 D ．弦心距相等，则弦相等 2. 在两个半径不同的圆中，分别有 和，若和的度数相等，那么下面结论中正确的是（ ）． A ．＝ B ．和所对的两个圆心角相等 C ． 所对的弦和所对的弦相等 D ． 和 所对的弦的弦心距相等 3. 在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的 3 1 ，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm 4半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为（ ） A. 5cm B. 43cm C. 6cm D. 33cm CD ? ，则∠DAC 的度数是（ ） A. 70° ） A. CD ? 3∶2∶5，则∠AOC= °，E ∠，则A B +=∠∠ o． 10. 如图3，已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为 cm ． 11，如图4，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A 、B 、C 。用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M 的位置； 强化练习： 12. 如图5，所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5 个 A B M N E F C D
垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一. 选择题。 1. 下列命题中，正确的命题是（） A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧 C. 在⊙O中，AB、CD是弦，若，则AB∥CD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径 2. 已知P为⊙O内一点，且OP＝3cm，如果⊙O的半径是4cm，那么过P点的最短弦等于（） A. 2cm B. 3cm C. cm D. cm 3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（） A. 10 B. 26 C. 13 D. 5 4. 在直径是10cm的⊙O中，为60°，则弦AB的弦心距是（） A. B. C. D. 5. AB、CD分别为大小不同圆的弦，共AB＝CD，那么的关系是（） A. B. C. D. 不确定 二. 填空题。 6. 已知AB为⊙O直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，AC＝6cm，则DC＝____________。 7. 直角三角形外接圆的圆心在___________，它的半径为___________一半。 8. 若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是___________梯形。 9. 弦AB把⊙O分3：7，则∠AOB＝___________。 10. 若⊙O半径是4，P在⊙O内，PO＝2，则过P点的最短的弦所对劣弧是___________度。 11. ⊙O中，弦AB垂直直径CD于点P，半径OA＝4cm，OP＝2cm，则∠AOB＝__________，∠ADC＝__________，度数为__________，△ADC周长为__________ cm。 三. 解答题。 12. 如图，⊙O的两弦AB，CD互相垂直于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径。 13. 已知：如图，C为⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若度数
圆心角_弧_弦_弦心距之间的关系试题
圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系 章节测试 基础练习 1．下列说法中正确的是（ ）． A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的弦所对的弦心距相等 D ．弦心距相等，则弦相等 2．在半径为5cm 为圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）． A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 3．在两个半径不同的圆中，分别有和 ，若 和 的度数相等，那么下面结论中正确 的是（ ）． A ．＝ B ．和所对的两个圆心角相等 C ． 所对的弦和所对的弦相等 D ． 和 所对的弦的弦心距相等 4．下列说法：①等弧的度数相等；②等弧的长度相等；③度数相等的两条弧是等弧；④长度相等的两条弧是等弧，其中正确的有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．如图7－33，以O 为圆心的两个同心圆，大圆的半径OA 、OB 分别和小圆相交于A ＇、B ＇，则下面正确的是（ ）． A ．弦A B 和弦A ′B ′相等 B ．的长度＝的长度 C ． ＝ D ． 的度数＝ 的度数 图7－33 6．在⊙O 中，弦AB 把⊙O 分成度数的比为1∶5的两条弧，则的度数是（ ）． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 7．在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1 ，圆的半径为4cm ，则弦AB 的长是（ ）． A ．3cm B ．2cm C ．32cm D ．34cm 8．如图7－34，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别相交于A 、B 和C 、 D ，角平分线PO 和⊙O 相交于G 、H ．下列结论：①AB ＝C ；② ＝；③PB ＝PD ；④PA ＝PC ，其中正确 的有（ ）．
圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系
儒洋教育学科教师辅导讲义 课 题 圆的确定，圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系 教学目的 1、圆的确定 2、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系 教学内容 第一部分：圆的确定 一、知识点梳理 1、与圆有关常用的公式：周长：2c R π= 面积2 s R π= 弧长180 n R l π= 扇形面积2 360 n R l π= 2、圆的定义 ① 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定点是圆心，定长是圆的半径。 ② 在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形（运动观点） 注：圆心半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置。 同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。 等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。 圆既是轴对称图形（经过圆心的任一条直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心是对称中心）。 3、点与圆的位置关系 点P 与圆心的距离为d ，则点在直线外?r d >； 点在直线上?r d =； 点在直线内?r d <。 4、重要定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。 5、三角形的外心和内心 （1）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的 垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （2）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交 点，叫做三角形的内心 思考：（1）如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？ （2）三角形的外心一定 在三角形内吗？ （3）如何作三角形的内切圆？如何找三角形的内心？
6、多边形与圆 如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形， 提示：1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。 2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质 3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。 二、例题分析： 1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是cm，扇形的面积是2 cm。 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆； 例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d， （1）当d=2厘米时，有d r，点在圆 （2）当d=7厘米时，有d r，点在圆 （3）当d=5厘米时，有d r，点在圆 4、下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（） A、①②③④ B、②③④ C、②③ D、③④ 5、（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃， 小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 6、三角形的外接圆的圆心是（）， A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为。 （三）巩固练习 1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为． 2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点； 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点； 3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形（） （A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形
第十讲 弧弦圆心角圆周角
第十讲-弧、弦、圆心角、圆周角． 弧、弦、圆心角、圆周角第十讲 知识点一弧、弦、圆心角的关系、如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做【定义】．B B'A A A
'O 旋转到∠绕圆心O′将圆心角∠O中，分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?AOB【探究】如图所示的⊙ OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？A′相等的弦：；相等的弧： 【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？′OO滚动一个圆，使与2OO在⊙O和⊙′中，?分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′′B′得到如图，，如图1 ′OA′重合．重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转 一个角度，使得OA AO(OO O('B 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？因此，我们可以得到下面的定理：【归纳】，所对的弦在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧。 几何语言： ?所对的在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，也相等．几何语言：也相等．相等，?所对的在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 几何语言：【辨析】定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？你能举出反例吗？【拓展】CA CD是两条弦．O如图，在⊙中，AB、F______,________ 1（）如果AB=CD，那么E______,_______ CD，那么AB=2（）如果弧弧DO______,_______ COD∠，那么（3）如果∠AOB=B4（）如果OFCD,OE与相等吗？OFABAB=CD, OE⊥，⊥??AB CD 与CDABOE=OF5（）如果，那么的大小有什么关系？与的大小有什么 COD呢？AOB?关系？为什么？∠与∠在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的【归纳】:。其余各组量也 2
数学教案-圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
数学教案－圆心角、弧、弦、弦心距之 间的关系 第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）教学目标：（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．教学重点、难点：重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．教学活动设计教学内容设计（一）圆的对称性和旋转不变性学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性。引出圆心角和弦心距的概念：圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容。这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性。定理：在同圆等
圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．（三）剖析定理得出推论问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。（学生分小组讨论、交流）举出反例：如图，∠AOB=∠COD，但AB CD，。（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性。）问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）（四）应用、巩固和反思例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD。解（略，教材87页）例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）练习：（教材88页练习）1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：．（1）如果AB ＝CD，那么______，______，______；（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；（3）如果 =，那么______，______，______；（4）如果∠AOB＝∠COD，