泰勒定理及其在数值分析中的应用
摘要
因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等各个方面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优化理论这些数学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所以，更要弄清楚泰勒公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学生今后的数学学习将起到非常好的作用。本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰勒公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。泰勒公式在数值分析的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用,对于我们解决一些复杂问题起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结,就能很好地运用泰勒公式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明快捷。
关键词：泰勒公式；数值分析；应用
ABSTRACT
Because of the Taylor formula is very simple, so, can be applied to many subjects. In various physical and computer etc, have a very wide range of applications, in addition, also in the ordinary differential equations, numerical analysis, optimization theory, the branch of mathematics plays an extremely important role. Therefore, a lot of, Taylor formula. So, to clarify concepts and mathematical principle of Taylor formula. This is the very basis of mathematics of mathematics learning things, the students will play a very good role. The purpose of this thesis, mainly to do research on the application of Taylor theorem in numerical analysis, calculating the function value, using the Taylor formula to calculate the value of Taylor formula, the numerical solution of ordinary differential equation application, from using Taylor's formula approximation, the Taylor formula is analyzed in terms of the application in the numerical study. Taylor formula has important applications in the numerical analysis, in-depth study of the application of Taylor formula, for us to solve some complex problems play a multiplier effect. As long as the attention and focus on solving problems of the summary, will be able to use Taylor formula. Using Taylor formula to correct the proof and calculation problems we became fast and simple.
Key words: Taylor formula; numerical analysis; application
目录
1 引言 (1)
2 泰勒公式概述 (2)
2.1 一元函数的泰勒公式 (2)
2.2 二元函数的泰勒公式 (3)
3．泰勒公式在数值分析中的应用 (5)
3.1利用泰勒公式近似计算函数值 (5)
3.2 利用泰勒公式近似计算导数值 (8)
3.3泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用 (9)
3.4 泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13)
4 结论 (16)
参考文献 (17)
1 引言
因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等各个方面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优化理论这些数学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所以，更要弄清楚泰勒公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学生今后的数学学习将起到非常好的作用。
泰勒公式是由英国数学家泰勒发明的。当人们在解决解学数学问题时，经常会遇到非常复杂的函数，而泰勒公式就具有化繁为简的功能，将那些复杂的函数转化为较为简单的多项式，这样，复杂函数就迎刃而解了。这就给处理问题提供了有效而又方便快速的解决方案。
然而泰勒逼近存在严重的缺陷：它的条件很苛刻，要求)(x f 足够光滑并提
供出它的各阶导数值，)(0)(x f k 此外。泰勒逼近的整体效果差。它仅能保证在展开点
x 的某个邻域内，即某个局部范围内有效。基于此本文章应用泰勒公式阐
述其在计算行列式，求代数精度，常微分方程数值方法等几个方面的应用。进一步完善泰勒公式在数值分析中的应用。
2 泰勒公式概述
2.1 一元函数的泰勒公式
设()f x 在含有0x 的开区间内有直到1n +阶导数，()()00,'f x f x ，…，()()0n f x 为已知，现寻求一个n 次的代数多项式()n P x ，使得
()()()()0000,''n n P x f x P x f x ==，(
)
()()()00n n n
n P x f x =能否用()n P x 近似代替
()f x ？
设()()010n P x a a x x =+-+…
()0n
n a x x +-，则有： ()()()()()()()
1
012002
02300'2''2321n n n n n n P x a a x x na x x P x a a x x n n a x x --=+-++-=+?-++--
由
()()()()()()
()()()()()
0000001000002''''''''',,2!!
n n n n n P x f x a f x P x f x a f x f x f x P x f x a a n =?==?==?==
故所求的代数多项式为
()()()()()()()()()20000000'''2!!
n
n
n f x f x P x f x f x x x x x x x n =+-+-++-
此多项式称为函数()f x 在0x 处的n 阶泰勒多项式。
设
()()()
n n R x f x P x =-，称其为误差函数。显然
()()()'''n n n R x R x R x === ()
()0n n R x ==，从而有
()()()()()()()()()11
00,1!
n n n n n f f x P x R x P x x x x x n ξξ++=+=+-+在与之间，
上式称为函数()f x 关于0x 的n 阶泰勒公式，其中余项
()()()()()()11
00,1!
n n n f R x x x x x n ξξ++=-+在与之间
称为拉格朗日余项。当0n =时，()()()00'R x f x x ξ=-，即
()()()()()000',f x f x f x x x x ξξ-=-在与之间，这正是拉格朗日公式。
当00x =时，()()()()()()()2''000'02!!
n
n
n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称为函
数()f x 的n 阶麦克劳林公式，其中()()()()
()11
,011!n n n f x R x x n θθ++=
<<+。 若设()f x 在含有0x 的某个开区间(),a b 内有直到1n +阶导数，且()()1n f x +在
(),a b 内有界，那么对(),x a b ?∈，有
()()()()()()()()()()20000000'''2!!
n
n
n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+
其中()()(
)
0,n
n R x o x x =-称为佩亚诺型余项。 常见的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式有以下几种:
2.2 二元函数的泰勒公式
讨论二元函数泰勒公式的方法是：作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数。应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式。
为了将二元函数),(y x f 在点),(k b h a Q ++的函数值),(k b h a f ++在点
),(b a P 展成泰勒公式，作辅助函数
,10),
,()(≤≤++=t kt b ht a f t ?
()()()()()()()()()()
()()()()()()235211224221231221.12!!2.sin 13!5!21!
3.cos 112!4!2!
4.ln 1123111
5.112!!
16.11n x n
m m m m
m m n
m n a n n
n n x x e x o x n x x x x x o x m x x x
x o x m x x x x x o x n
a a a a a n x ax x x o x n x x x o x x --+-=+++++=-+++-+-=-+++-++=-+++-+---++=+++++=+++++-
即 .10,,),,()(≤≤+=+==t kt b y ht a x y x f t ?
显然，).,()1(,1);,()0(,0k b h a f t b a f t ++====??于是，函数),(k b h a f ++在点),(b a P 展成的泰勒公式就是一元函数)(t ?在点0的泰勒公式（即麦克劳林公式）在1=t 的值。
若函数),(y x f 在点),(b a P 的邻域G 存在n+1阶连续的偏导数，则
G k b h a Q ∈++?),(，有
+????
????+??+???? ????+??+=++),(!21),(!11),(),(2
b a f y k x h b a f y k x h b a f k b h a f ,10),,()!1(1),(!11
<<++???
?
????+??++???? ????+??++θθθk b h a f y k x h n b a f y k x h n n n
其中符号),(b a f y x l
i
???
? ??????? ????表示偏导数l i l i y x f ???+在),(b a P 的值， ),(),(0b a f y x k h C b a f y k x h i m i m i
m i m
i i m m
--=???=???
? ????+??∑.
上式称为二元函数),(y x f 在),(b a P 的泰勒公式。
3．泰勒公式在数值分析中的应用
3.1利用泰勒公式近似计算函数值
泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二阶导数……相联系起来。
例 1 设函数()f x 在[]0,2上存在二阶导数,并且当[]0,2x ∈时,有
()1f x ≤,()1,f x ''≤
证明：[]0,2x ?∈, ()2f x '≤. 证明 对? []0,2x ∈,由泰勒公式, 将()f x 在0x =展开为：
()()()()2
102!
x f f x xf x f ξ'''=-+ ()10x ξ<<
将()f x 在2x =展开为：
()()()()
()()2
2222!
x f f x x f x f ξ-'''=+-+
()22x ξ<<
两式相减得
()()()()()()2
21211220222f x f f f x f x ξξ'''''=-+-- 从而有
()()()()()()2
21211220222
f x f f f x f x ξξ'''''≤++
+- ()2
22222
x x -≤++
=()2
13x -+ 134≤+= 所以
()2f x '≤ []0,2x ?∈.
有了函数的幂级数展开式，就可用它来进行近似计算，即在展开式有效的区间上，函数
值可以近似地利用这个技术按精确度要求计算出来的。
例2 求330的近似值 解 330=
3
31
273319
+=+
令 ()31f x x '=+,则
()()23113f x x -'=+ ()()5
3219
f x x -
''=-+
()()8310127f x x -'''=+ ()()()11
4380181
f x x -=-+ 所以
()01f = ()1
03f '=
()2
09
f ''=- ()10027f '''=
从而由公式（4）
()
()4
234(0)()(0)(0)2!3!
f x f f x f f x x x
x θ'''=+++ =1+()11
234380
11581139814!
x x x x x θ--
-+++ ()0x θ<<
故
4
11
3
3
1111151801111193998181729814!99θ-
-??
??+
=+?-?+?++ ? ????
??
从而
3
30=331
273319
+=+
4
113
11115
1240113113998181729814!99θ--??????=+?-?+?++ ? ? ??????
??
11115
1313998181729??≈+?-?+? ??? 3.10725≈
误差 4
113
542401124011 1.8810814!9981249R θ-
--??
??=
+≤?≈? ? ?????
??
其次，泰勒公式在数值积分中的应用中，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。设()F x 为()f x 的原函数，由牛顿—莱布尼兹公式知，对定义在区间[,]a b 上的定积分，有：
()()()b
a
f x dx F a F b =-?
但是，并不是区间[,]a b 上的所有可积函数的积分值计算都可由牛顿—莱布尼兹公式解决的，有的原函数不能用初等函数表示，或者有的原函数十分复杂难以求出或计算。如被积函数2
x e -、
sin x
x
等函数的积分都无法解决；又或者当被积函数为一组离散的数据时，对于这种积分更是无能为力了。理论上，定积分是一个客观存在的确定的数值，要解决的问题就是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。利用泰勒公式建立定积分的近似计算公式，可实现定积分的近似计算。
例4 计算定积分1
0sin x
dx x ?的近似值
解 因为
357sin 72sin 3!5!7!
x x x x x x πθ?
?+ ???=-++
所以
246sin 7sin 213!5!7!
x x x x x x πθ?
?+ ???=-++
因此
10sin x dx x ?=1
3570
sin 723!35!57!7x x x x x πθ???
?+ ???????-++??
???? =sin 711213!35!57!
πθ?
?+ ?
??-++
由此式得到
1
0sin 11
10.94163!35!5x dx x ≈-+≈? 此时误差 41
0.5107!7
R -<
如果()f x 泰勒公式已知，其通项中的加项()
()
n x a -的系数正是
()
()01!
n f x n ，从而可反过来求高阶导数数值()()0n
f x ，而不必再依次求导。
例5：求函数()2x f x x e =?在1x =处的高阶导数()
()1001f 。
解：设1x u =+，则：
()()()()()2
2
1211u x u f x x e u e u e e g u +=?=+?=+??=
()
()()
()10n n f
g
=，u
e 在0u =的泰勒公式为：()
9899100
100198!99!100!u
u u u e u o u =++++++ 从而：()()()9899100
2
1001198!99!100!u u u g u e u u u o u ??=++?+++
+++ ???
而()g u 中的泰勒展开式中含100
u
的项应为
()100100
0100!
g u ，从()g u 的展开式知100u 的项为10012198!99!100!e u ??++ ???，因此：()1000121100!98!99!100!g e ??=++ ?
??
，()100
010101g e =?， ()()1001001010101f g e ==
例6：求()()2
ln 1f x x x =?+在0x =处的n 阶导数()
()()0,3n f
n ≥。
解：由泰勒公式()()()()()()()2''000'02!!
n
n
n f f f x f f x x x o x n =+++++ 及
()()()()()232
12
2
24513
ln 112321232n n n n
n n x x x
x x x x o x n x x x x o x n ----???+=-+++-+ ?
-??=-+++-+-
由()f x 中n
x 项的系数为
(
)
()()
(
)
()
()1
1
011!
0!
2
2
n n n n f n f n n n ----?=?=
--
3.3泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用
用解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法,一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就应用泰勒公式求解具有给定x 和y 初值的联立方程：
()(),,,,dx
F x y t dt
dy G x y t dt
?=???
?=?? 给出初值()000,,x y t 我们用如下形式表示一个x 和y 的联立方程组：
()(),,,,dx
F x y t dt dy
G x y t dt
?=????=?? (1) 求方程组(1)通过点()000,,x y t 的特解,其中已知()000,,x y t .我们设想用一种逼近计算求出在下列各点1020300,2,3,k t t h t t h t t h t t kh =+=+=+=+……，处,x y 的近似值,其中h 为t 轴上选取的恰当步长.
现在,设在k t t =处,已求出,x y 的近似值,且表为()(),k k k k x x t y y t == 由泰勒公式可知：
()()()()()23
2!3!
h h x t h x t x t h x t x t ''''''+=++++……
()()()()()23
2!3!
h h y t h y t y t h y t y t ''''''+=++++ (2)
令k t t =,即可得出计算1,1k k x y ++值的公式()0,1,2,3k =……
()()()()()23
12!3!
k k k k k k h h x x t h x t x t h x t x t +''''''=+=++++……
()()()()()23
12!3!
k k k k k k h h y y t h y t y t h y t y t +''''''=+=++++ (3)
其中 (),,dx
x F x y t dt '=
= (),,k
k k k x F x y t '= (),,dy
y G x y t dt
'== (),,k
k k k y G x y t '= F dx F dy F x x dt y dt t ???''=
?+?+??? G dx G dy G y x dt y dt t
???''=
?+?+??? ()()()
,,,,,,k k k k k k k k k k k k F x y t F x y t F x y t x x y x y t ???''''=?+?+
??? ()()()
,,,,,,k k k k k k k k k k k k G x y t G x y t G x y t y x y x y t
???''''=
?+?+
??? ……
()
()()()()
()()
1111,,n n n n k k k k n n F x y t F x
x t
t
----?
?==??
(
)
()()()()
()()
1111,,n n n n k k k k n n G x y t G y y t
t
----??==??
当给定了初值条件()000,,x y t 时,由方程(3),令0k =, 则得出：
23
100
002!3!h h x x x h x x ''''''=++++……, 23
100
002!3!
h h y y y h y y ''''''=++++……, 其中1x ,1y 在取近似值时的保留项数,取决于步长h 及所需的精确度. 当求出1x ,1y 后,再令1k =,可求出2x ,2y ,后面依次类推.取近似值时所要
保留的项数,也可由上同样处理.
为了说明以上方法,下面举个简单例子.
例7 求：()(),,,,dx
F x y t dt
dy G x y t dt
?=????=?? 的解,其初始条件为,0t =处,2,0x y ==.
解 首先,我们可选定步长0.1h =,并依次计算0.1,0.2t =等处的近似值,由逐次求导得出
,1,,x x t x x x x '''''''''=-=-=……,()()1
n n x x -= ()3n ≥……,
,1,,y y t y y y y '''''''''=-=-=……,()()1n n y y -= ()3n ≥……,
因此在0t =处,有
0000002,0,2;0,1,1;x y x y x y ''''''''======……;()001,1,n n x y ==
令0k =,则方程组(8)给出
23
10226
h h x x h =++++……
=20.20000.00500.0002++++……=2.2052
23
10226
h h y y h =++++……
=20.20000.00500.0002++++……=2.2052 接着在0.1t =处,有
112.2052, 2.2052x y ==
112.1052, 2.1052x y ''== 111.1052, 1.1052x y ''''== 111.1052, 1.1052x y ''''''==
……
令1k =,由方程（3）：
23
211
112!3!
h h x x x h x x ''''''=++++……
=2.2052+0.2105+0.0055+0.0022+……=2.4214
23
211
112!3!
h h y y y h y y ''''''=++++…… . =2.2052+0.2105+0.0055+0.0022+……=2.4214 这个过程可以根据需要不断地重复进行。
例8 证明对任意参数t ,下列Runge-Kutta 格式是二阶的
()()()()()
1
1212131()2
,,1,1n n n n n n n n h y y K K K f x y K f x th y thk K f x t h y t hk +?
=++??
?=?
?=++?=+-+-?? 证明
因为 ()n n y x y = ()n n
y x y ''= ()(),y x f x y '= 所以 把()1n y x +在n x 处泰勒展开得：
()1n y x +=()()()23
2!3n n n n h h y hy x y x y ξ''''''+++
()()
,n n n y x f x y '=
(9)
()()
()()(),,|,,n n n x n n y n n n n x y f f y
y x f x y f x y f x y x y x ???''=
+=+???
(10)
将 (9) (10)带入()1n y x +泰勒展开式得
()()1,n n n n y x y hf x y +=+
+()()()()23
,,,2!3
x n n y n n n n n h h f x y f x y f x y y ξ'''??++?? 求1n y +在n x 处的泰勒展开
()21,n n K f x th y thk =++
=()()()(),,,,n n x n n n n y n n f x y thf x y thf x y f x y ++
()()()311,1n n K f x t h y t hk =+-+-
=()()()()()(),1,1,,n n x n n n n y n n f x y t hf x y t hf x y f x y +-+-
将23,K K 代入112()2n n h
y y K K +=++中得
112()2n n h
y y K K +=++
=()()()()2,,,,2
n n n x n n n n y n n h
y f x y hf x y hf x y f x y ??+++?? =()()()()2
,,,,2
n n n x n n n n y n n h y hf x y hf x y hf x y f x y ??+++?? 将()1n y x +与1n y +泰勒展开做比较得
()()3
113!
n n n h y x y y ξ++'''-=
则知上述Runge-Kutta 格式是二阶的.
应当指出，应用该方法从形式上看似简单，但具体构造这种格式往往是相当困难的，因为它需要先提供y 的各阶导数值()n y 。当阶数提高时，求导过程可能很复杂，因此该方法不直接使用，但是可以用它来启发思路。
3.4 泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用
我们利用泰勒公式对函数极值的判定，可以相似地推出函数拐点的判定，比用0x 点两边区间的二阶导数符号来判定显得简单易行，且有更广泛的结论. 例9 （定理）若()f x 在某个()0,U x δ内n 阶可导，且满足
()()()()1000'''0n f x f x f x -==== ，且()()()00,
2n f x n ≠>
若：当n 为奇数，则()()
00,x f x 为拐点；
当n 为偶数,则()()
00,x f x 不是拐点. 证明:写出()''f x 在0x 处的泰勒公式，
()()()()()()()()()()
22
000000'''''''2!
n n n f x f x f x f x x x x x o x x n --=+-++-+--
因为()()(
)
()1000'''0n f x f x f x -==== ，则
()()()()()()()
22000''2!
n n n f x f x x x o x x n --=-+--，同样余项是()2
0n x x --的的高阶无穷小,
所以()''f x 的符号在()0,U x δ内与()()()()2
002!
n n f x x x n ---相同。
当n 为奇数时,显然在0x 的两边，()()()()2
002!
n n f x x x n ---符号相异,即()''f x 的符号相异,
所以()()
00,x f x 为拐点。
当n 为偶数时,则()''f x 的符号相同,所以()()
00,x f x 不是拐点。 [证毕] 例10：1、判定()0,4是否是()2cos x x
f x e e
x -=++的拐点? 2、判定()0,0是否是()2sin x
x
f x e e x -=--的拐点?
解：1、
()()()()()()()()()()44'2sin ,'00''2cos ,''00'''2sin ,'''002cos ,
040
x x x x x x x x f x e e x f f x e e x f f x e e x f f x e e x f ----=--==+-==-+==++=≠
因为4n =为偶数，所以()0,4不是()2cos x
x
f x e e
x -=++的拐点。
2、
()()()()()()'2cos ,'00''2sin ,''00'''2cos ,
'''040
x x x x x x f x e e x f f x e e x f f x e e x f ---=+-==-+==++=≠
因为3n =为奇数，所以()0,0是()2sin x
x
f x e e
x -=--的拐点。
从上述例看到,要判别0x =左、右两边()''f x 的符号不易,但用本命题则非常容易。
4 结论
本文主要从泰勒定理的有关背景出发，在对泰勒定理的一元及二元形式进行概述的基础上，分析了泰勒定理在数值分析中的应用。可以肯定的是，泰勒定理的研究，是一个具有前瞻性与现实意义的研究课题，也是学术的研究热点，由此本论文的提出和研究具有较强的理论意义和实践意义。
本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰勒公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。泰勒公式在数值分析的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用,对于我们解决一些复杂问题起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结, 就能很好地运用泰勒公式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明快捷。
同时，由于本人的阅历和学识有限，可能还不足够透彻分析某些观点，文章可能会缺乏一定的深度。下一步的将会在如何应用泰勒公式应用于实践等方面做更深一步的研究，争取分析、解决问题更加专业化，更加全面。
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数值计算第三章答案
3.1证明：如果求积公式（3.4）对函数f （x ）和g （x ）都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此，求积公式（3.4）具有m 次代数精度的充分必要条件是：它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立，但对某个m+1次多项式不能准确成立. ()()不能成立 对与题设矛盾多项式都能准确成立，次多，即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立，则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立，对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知：对于小次代数精度 机械求积公式具有机械求积公式也成立 对于线性组合同理可得 机械求积公式都成立 对于证明： 1m 1321321320 000 0)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()] ()([)()()]()([) ()() ()() ()() ()()(),(1++++=======∴+? ∴?∴==∴?+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑?∑?∑?∑? ∑?∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af x bg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j n k k k n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k 3.2直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson 公式则具有3次代数精度。
泰勒公式的证明及应用
摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。 关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用
绪论 随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到 n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 () 2 0000000()()() ()()()()(),1! 2! ! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+ -+ -++ - 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有 0()()(()),n n f x T x x x ο=+- 即() 2 00000000()() ()()()()()()(()).2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+ -++ -+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
泰勒公式的证明及其应用
泰勒公式的证明及其应用 数学与应用数学专业胡心愿 [摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述. [关键词]泰勒公式；不等式；应用； Proof of Taylor's Formula and Its Application Mathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application. Key words:Taylor's Formula;inequality;application
常用泰勒公式
简介 在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数 这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。 如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。 泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。 对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(?1/z2) 并不趋于零。 一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。 Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iterati on一个推广。 [编辑]
泰勒定理及其在数值分析中的应用
摘要 因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等各个方面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优化理论这些数学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所以，更要弄清楚泰勒公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学生今后的数学学习将起到非常好的作用。本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰勒公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。泰勒公式在数值分析的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用,对于我们解决一些复杂问题起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结,就能很好地运用泰勒公式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明快捷。 关键词：泰勒公式；数值分析；应用
ABSTRACT Because of the Taylor formula is very simple, so, can be applied to many subjects. In various physical and computer etc, have a very wide range of applications, in addition, also in the ordinary differential equations, numerical analysis, optimization theory, the branch of mathematics plays an extremely important role. Therefore, a lot of, Taylor formula. So, to clarify concepts and mathematical principle of Taylor formula. This is the very basis of mathematics of mathematics learning things, the students will play a very good role. The purpose of this thesis, mainly to do research on the application of Taylor theorem in numerical analysis, calculating the function value, using the Taylor formula to calculate the value of Taylor formula, the numerical solution of ordinary differential equation application, from using Taylor's formula approximation, the Taylor formula is analyzed in terms of the application in the numerical study. Taylor formula has important applications in the numerical analysis, in-depth study of the application of Taylor formula, for us to solve some complex problems play a multiplier effect. As long as the attention and focus on solving problems of the summary, will be able to use Taylor formula. Using Taylor formula to correct the proof and calculation problems we became fast and simple. Key words: Taylor formula; numerical analysis; application
泰勒中值定理在一类极限计算中的应用
２００８年第１０卷第６期 总第９３期 巢湖学院学报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈａｏｈｕＣｏｌｌｅｇｅ Ｎｏ．６．，Ｖ０１．１０．２００８ ＧｅｎｅｒａｌＳｅｒｉａｌＮｏ．９３ 泰勒中值定理在一类极限计算中的应用 龚东山－刘岳巍ｔ牛富俊２ （１兰州大学数学与统计学院，甘肃兰州７３００００） （２中国科学院寒区旱区环境与工程研究所冻土工程国家重点实验室，甘肃兰州７３００００） 摘要：运用洛必塔法则和等价无穷小替换是计算未定武０／０值的两种常用方法，但在实际 问题的处理中，常常遇到不能直接使用洛必塔法则和等价无穷小需要选择的情形。可运用泰 勒中值定理，找到最佳替换的等价无穷小，从而弥补了上述两种常用方法的不足，并从理论 上给与了解释。 关键词：泰勒中值定理；极限；等价无穷小；最佳替换 中图分类号：０１７２．１文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—２８６８（２００８）０６－０１４８—０４ １引言、 高等数学是以函数为对象，以微分和积分及其应用为内容，以极限为手段的一门学科，换句话说，高等数学是用极限来研究函数的微分和积分的理论【ｌ】。由于极限贯穿于整个高等数学，故极限的计算就显得尤为重要。具体计算方法包括：定义证明法、极限运算法则、利用两个重要极限法、利用判定极限存在的两个准则法、利用等价无穷小替换法、利用函数的连续性法、利用导数求极限法一洛必塔法则、利用Ｔａｙｅｒ中值定理法、利用定积分定义法等［２１。在具体的计算过程中，往往还需要先观察函数的结构，能化简时尽量先化简．再利用其中的一种方法或结合几种方法，使运算简捷。 对于一类未定式昙的计算，即使极限存在，也不能用“商的极限等于极限的商”的极限运算法则闭。 Ｕ 最常用的方法是运用洛必塔法则。洛必塔法则是指在一定的条件下通过分子分母分别求导再求极限来 确定未定式值的方法。一般情况下，洛必塔法则是求未定式芸的一种有效方法，但在实际问题的处理 Ｕ 中，有时会出现分子或分母的导数形式比求导前更复杂，以致于洛必塔法则不能直接使用的情形，如一￡ ２ ｌｉｍ竺牛。 棚茗 对于这类问题。可采用等价无穷小替换法来解决。但问题是一个无穷小可有多个等价的无穷小，替换时选用不同的等价无穷小会得到不同的结果，这与极限的唯一性矛盾。如ｌｉｍ竺孚，显然ｓｉｎｘ。ｘ， 收稿日期：２００８－０８—２０ 基金项目：国家自然科学基金对外交流与合作项目（４０６４０４２００７２）． 作者简介：龚东山（１９６９一），男，湖北监利人。兰州大学数学与统计学院讲师，博士，研究方向：应用数学。 １４８．
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
泰勒公式
泰勒公式 一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 由微分概念知：f 在点0x 可导，则有 ).())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο． 即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为(0x x -)的高阶无穷小量．然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二 次的多项式去逼近，并要求误差为n x x ))((0-ο，其中n 为多项式的次数．为此，我们考察 任一n 次多项式 .)()()()(0202010n n n x x a x x a x x a a x p -++-+-+= (1) 逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到 00)(a x p n =，20!2)(a x p n ="，n n n a n x p !)(,0) (= ， 即 .! ) (,! 2)(,! 1)(),(0) (020100n x p a x p a x p a x p a n n n n n n = " = ' = = 由此可见，多项式)(x p n 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定． 对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数．由这些导数构造一个n 次多项式
, )(! ) ()(! 2)()(! 1)()()(00) (2 00000n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T -+ +-''+ -'+ = （2） 称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式，)(x T n 的各项系数 =k k x f k (! ) (0) (1， 2，…，n )称为泰勒系数．由上面对多项式系数的讨论，易知)(x f 与其泰勒多项式)(x T n 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即.,,2,1,0),()(0) (0) (n k x T x f k n k == （3）下面 将要证明))(()()(0n n x x x T x f -=-ο，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近)(x f 时，其误差为关于n x x )(0-的高阶无穷小量． 定理6．8 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有+=)()(x T x f n 即),)((0n x x -ο ). )(()(! ) ()(! 2)())(()()(000) (2 00000n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+-''+-'+=ο （4） 证 设 n R (,)()(),()()0n n n x x x Q x T x f x -=-= 现在只要证 .0) ()(lim =→x Q x R n n x x 由关系式(3)可知， 0)()()(0) (0'0===x R x R x R n n n n 并易知 !.)(,0)()()(0) (0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====- 因为)(0) (x f n 存在，所以在点0x 的某邻域U(0x )内f 存在n —1阶导函数)(x f ．于是，当 )(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则，n —1次，得到 . 0)] () ()([ lim !1 ) (2)1() )(()()(lim ) ()(lim ) ()(lim )()(lim 0) (0 0) 1() 1(000) (0)1() 1() 1()1(' ' =---= -----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n n n n x x n n x x n x x 定理所证的(4)式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x T x f x R n n -=称为泰勒公
《泰勒公式及其应用》的开题报告
《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的开题报告 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国论文开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。
3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：20XX年12月—20XX年4月
微积分基础知识总结以及泰勒公式
§3.3 泰勒公式 常用近似公式 ，将复杂函数用简单的一 次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当 较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数 ，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望 尽可能多地反映出函数 所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导 数值；我们还关心 的形式如何确定； 近似 所产生的误差 。 【问题一】 设 在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于 的 次多项式 近似 ? e x x x x x ≈+≈1,sin ()充分小 x f x ()p x n ()p x n () f x ()p x n () p x n () f x ()R x f x p x n n ()()() =-f x ()x 0n +1() x x -0n ) ,,1,0()()() 1()()()()(0)(0) (0202010n k x f x p x x a x x a x x a a x p k k n n n n ==-++-+-+=且f x ()
【问题二】 若问题一的解存在，其误差 的表达式是什么? 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数 。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出： R x f x p x n n ()()() =-a a a n 01,,, p x a a x x a x x a x x n n n ()()()()=+-+-++-0102020 ∴=a p x n 00() '=+-+-++--p x a a x x a x x na x x n n n ()()()()1203020123 ∴ ='a p x n 10() ''=??+???-+???-++?-??--p x a a x x a x x n n a x x n n n ()()()()()213243123040202 ∴ ??=''2120a p x n () '''=???+????-+????-++?-?-??--p x a a x x a x x n n n a x x n n n ()()()()()()3214325431234050203 ∴???='''32130a p x n ()
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式 e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞ 泰勒公式及其应用 摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用 一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得： 泰勒公式 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都 可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。 泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。 16. 求运动方程. 解：设运动方程为S = at + b,由给定数据得 616 1 =∑=i ，7.1461 =∑=i i x ， 63.536 1 2=∑=i i x ， 2806 1 =∑=i i y ，10786 1 =∑=i i i y x 得 ?? ?=+=+1078 63.537.14280 7.146a b a b 解得 b=-7.8550478，a=22.25376 运动方程为S=22.25376t-7.8550478 17.已知实验数据如下： 用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，并计算均方误差. 解：由题意{} 2102)(,1)(,,1x x x x span ===??φ， 所以51), (2 5 1 00==∑=i ?? 7277699),(5 1 4 11== ∑=i i x ?? 5327),(5 12 10== ∑=i i x ?? 4.271),(5 1 0== ∑=i i y y ? 5.369321),(5 1 2 1==∑=i i i y x y ? 得 ?? ?=+=+5.36932172769953274 .27153275b a b a 解得：a=0.9726046，b=0.0500351 所以经验公式为 y=0.9726046+0.0500351x 2 均方误差为 : [ ] 130.0)01693.0(),(),(||||||||2 12 11022 2==--=y b y a y ??δ 18.在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下： 用最小二乘法求)(t f y = 解：将给定数据点画出草图，可见曲线近似指数函数，故设t b ae y =，两边取对数得 t b Ina Iny + = 记Ina A Iny y ==,，则有 t b A y 1 += 即t x x t span 1 )(,1)(},1,1{10===??φ，计算 ∑=== 11 1 2 00111),(i ??，∑=== 11 1 2 1106232136.01 ),(i i t ?? 6039755.0t 1 ),(),(11 1 i 1010∑ === =i ???? ∑=== 11 1 0639649.13),(i i y y ? ，∑=== 11 115303303.0),(i i i t y y ? 从而解得法方程为 ?? ?=+=+5303303 .0062321366.06039755.0639649 .1360397556.011b A b A 第2章 预备知识 前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的． 给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1< 泰勒公式及其应用 [摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题， 即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()000() ()(())! n n n f x x x o x x n +-+- （1） 这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式 为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式. 定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里 ()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒 公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ . )()! 12()1(!5!3sin 221 253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)! n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111 2n n x o x x x x +++++=- +-+ +=+2 ! 2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得 泰勒公式及其应用 常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。 【问题一】 设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式 近似? 【问题二】 若问题一的解存在，其误差的表达式是什么? 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出： 于是，所求的多项式为： (2) 二、【解决问题二】 泰勒(Tayler)中值定理 若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成 这里是与之间的某个值。 先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路： 这表明： 只要对函数及在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。 【证明】 以与为端点的区间或记为，。 函数在上具有直至阶的导数， 且 函数在上有直至阶的非零导数， 且 于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有 三、几个概念 1、 此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式； 或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。 当时，泰勒公式变为 这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。 为拉格朗日余项。 2、对固定的，若 有泰勒公式的应用
常见泰勒公式展开式
数值分析第三章作业
(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用典型例题