泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用

数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立

指导教师吴春

摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。

关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数

Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem.

Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative

引言

泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函

数来近似代替，而误差又能满足要求。这种化复杂为简单的功能，使其成为分析和研究数学其他问题的有力工具。也对函数性态的研究和函数值的近似计算带来了极大的方便。本文主要是通过给出实际例子体现其应用，并对这些方法做了归纳和总结。

1 泰勒公式及其证明

1.1 带佩亚诺余项的泰勒公式

若)(x f 在0x x =点有直到n 阶连续导数，那么就有：

"'

200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()()00()()!

n n n f x x x R x n ???+-+ (1.1) 其中()()()

n n x x o x R 0-=是余项，这就是()x f 在0x x =点的带佩亚诺余项的泰勒公式[1]。

说明：

①此公式对函数()x f 的展开要求较低，只要求其在0x x =点处n 阶可导即可，展开的形式也比较简单。

②这种泰勒公式的实质是局部增量公式的升华，即可以把此函数局部地用线性函数代替改为用多项式代替，当0x x =时用多项式代替这个函数所产生的误差()n x x 0-是一个无穷小量。

③它难以说明误差范围，因此不适合对余项作定量估算，只能是一个定性估目的。

④特别地当00=x 时，有：

"()'

2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x R x n =+++???++ (1.2) 这种佩亚诺项的泰勒公式也被称为麦克劳林公式。

1.2 带拉格朗日余项的泰勒公式

若函数()x f 在[]b a x ,∈上有直到n 阶连续导数，并且()()x f n 1+在区间()b a ,内存在，那么就有：

()()()()"20'

0000()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()()()()00!

n n n f x x x R x n ???+-+ (1.3) 其中()()()()()101!

1++-+=n n n x x n f x R ε被称为余项，此时ε介于x 与0x 之间，这就是函数()x f 在0x x =点的带拉格朗日余项的泰勒公式[2]

。 说明：

①它对函数()x f 的展开要求较高，因为它要求对任意的[]b a x ,∈都要成立，其形式也相对复杂。

②这种泰勒公式的实质是对拉格朗日微分中值定理的升华，它是一个定量估计值。

③运用这种泰勒公式逼近()x f 时，可以确定其大致的误差范围，但其误差是由()x f 的()1+n 阶导数决定的，若a 越接近于b ，即区间[]b a ,越小，那么误差就会越小，这种泰勒公式适合处理()x f 在区间上的问题，特别是在不等式的证明中应用起来比较方便。

1.3 简单的证明

我们知道000()()()()f x f x f x x x α'=+-+，

根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：

0000lim ()()()x f x x f x f x x ?→'+?-=?，

其中误差α是在()0x ?→即()0x x →的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

2010200()()()()n n P x A A x x A x x A x x =+-+-++-

来近似地表示函数()f x 且要写出其误差()()f x P x -的具体表达式。

设函数()P x 满足：

00()(),P x f x =00()(),P x f x ''=00()(),P x f x ''''=, ()()00()().n n P x f x =

于是可以依次求出012,,,,.n A A A A

显然，00()P x A =，所以00()A P x =;

0110(),()P x A A P x ''==

0022()()2!,2!

P x P x A A ''''==

()

()00()()!,.!n n n n P x P x n A A n == 至此，多项的各项系数都已求出，得：

()20000000()()()()()()()().2!!

n n f x f x P x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++- 接下来就要求误差的具体表达式了。

设()()()n R x f x P x =-，于是有：

000()()()0n R x f x P x =-=.

所以可以得出：()000()()()0.n n n n R x R x R x ''====

根据柯西中值定理可得：

()0111010

0()()()()()(1)()()0n n n n n n n R x R x R x R x x n x x x ξξ++'-==-+---（其中：10()0n x x +-≈）， 这里1ξ在x 和0x 之间；

继续使用柯西中值定理得：

()()()()()()

()()102112010110n n n n n R R x R n n x n x ξξξξ-+''''-=+-+--，

这里2ξ在1ξ与0x 之间；

连续使用1n +次后得出：

()

()

()()()1101!

n n n n R x R n x x ξ++=+-， 这里ξ在0x 和x 之间。 但()()()()()()111n n n n R x f x P x +++=-，由于()()11(1)!n n P x n A ++=+，1(1)!n n A ++是一个常数，

故()()10n P x +=，于是得()()()()11n n n R x f x ++=。

综上可得，余项()()110()(1)!()

n n n f R x n x x ξ++=+-。 一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x 往往要取一个定值，此时也可把()n R x 写为n R 。

2 泰勒公式的应用

2.1 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计

根据泰勒展开式的余项可以把握函数用泰勒公式近似的程度，但需要估计误差的范围，关键就在于对()()ε1+n f 值的估计。

如果存在0>M ，有()()M f n ≤+ε1，[]ηη+-∈00,x x x ，那么我们就可以估计10()(1)!

n n M R x x x n +≤-+，[]ηη+-∈00,x x x ，从而当我们期望近似值的误差不超过ε时，只需在不等式

10(1)!n M x x n ε+-<+中解出n 是多少就可以知道运用泰勒公式应计算多少项即可，由此我们就可以近似地计算出某些复杂数的具体值。

例1 求2

10x e dx -?的近似值，精确到510-。 解 由于该被积函数的原函数不是初等函数，所以无法用牛顿-莱布尼茨公式来计算，因此我们要用泰勒公式来计算它的近似值。

因为24

22

1(1)2!!n x n x x e x n -=-+-+-+ 将两边逐项积分，有

210x e dx -?=4211112000012!!

n x x dx x dx dx dx n -+-++???? =111111(1)32!5!21

n n n -+?-+-?++ =11111111310422161329936075600

-+-+-+-+ 又因为

51 1.31075600

-≈? 所以21011111110.7468363104221613299360x e dx -=-+-+-+≈?。 总结：通过以上我们可以知道：只要给出一个数，知道它的误差范围，我们就可以利用泰勒公式较为简单的求出它的近似值。

例2 计算e 的值，当9n =时，误差不超过多少？

解 在x e 的麦克劳林展开式中，令1x =可得：

1111,2!!(1)!

e e n n ξ

=++++++ （01ξ<<） 当9n =时，有：933(1)0.00000110!3628800

R =

=< 也就是说11111+ 2.718281,2!3!9!e =++++= 其误差不超过610-。

总结：利用泰勒公式我们可以轻易地判断出一个函数公式的误差范围。

2.2 利用泰勒公式证明中值问题

如果要证明的结论是至少存在一点(),c a b ∈，使得关于

a ,

b ,()f a ,()f b ,(),(),(),,()n

c f c f c f c ' 代数式的证明。

然后验证辅助函数满足罗尔定理条件，由定理的结论即得命题的证明。

例2 设()f x 在[],a b 上三次可导，试证明：(),c a b ?∈，使得：

31()()()()()224a b f b f a f b a f c b a +??''''=+-+- ???

(2.1) 证明 设k 为使得下式成立的实数：

31()()()()0224a b f b f a f b a k b a +??'-----= ???

(2.2) 此时，问题可变为证明：(),c a b ?∈，使得()k f c '''=。

设

31()()()()()0224a x g x f x f a f x a k x a +??'=-----= ???

(2.3) 则()()0g x g b -=。

根据罗尔定理，(),a b ξ?∈，使得()0g ξ'=。

由(2.3)式，即：

2()()()0222

8a a a k f f f a ξξξξξ++-????''''=---= ? ????? (2.4) 这是关于k 的方程，注意()f ξ'到在点2

a ξ+处的泰勒公式： 2()1()()0,22222a a a a f f f f c ξξξξξ++--??????'''''''=--= ? ? ???????

(),c a b ∈ (2.5) 由(2.4) (2.5)两式可得：

()2

2211()()()8228

k a a f c f a ξξξξ-??''''''-==- ??? 则有：()k f c '''=，命题得证。

总结：解此类题最重要的就是辅助函数的确定，上面的例题使用的是原函数法，即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式或易积分的形式，用观察法或积分法求出原函数，为简便积分常数取作零，移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c 换成x 即为所需的辅助函数。

例4设函数()f x 在闭区间[]1,1-上具有三阶连续导数，且(1)1f -=，(1)1f =，(0)0f '=，证明：在开区间()1,1-内至少存在一点ξ，使得()3f ξ'''=

证明 由于函数()f x 在闭区间[]1,1-上具有三阶连续导数，因此可以写出()f x 的二阶泰勒公式：

2(0)()()(0)(0)2!3!

f f x f x f f x x θ''''''=++

+ 2(0)()(0)(01)2!3!f f x f x θθ'''''=++<< 将1,1x x ==-分别带入得：

1()(0)(1)(0)26f f f f θ'''''=++，2()(0)(1)(0)26

f f f f θ'''''--=+- 其中120,1θθ<<

两式相减可得：

12()()(1)(1)6

f f f f θθ''''''+---= 由于()f x '''在闭区间[]1,1-上连续，由闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间[]()21,1,1θθ-?-内至少存在一点ξ使得12()()2()f f f θθξ'''''''''+-=，代入等式12()()16f f θθ''''''+-=可得()13

f ξ'''=，即()3f ξ'''=。 总结：例4用泰勒公式进行证明的优势是显而易见的，条件中函数为三阶可导的抽象函数，如果不用泰勒公式，条件和结论似乎风牛马不相及，证明难度可想而知。

2.3 泰勒公式在求函数极限中的应用

例５ 求402cos lim 2

x x e x x -+→的极限. 分析：当0→x 时为求∞

∞型函数的极限，满足洛必达法则，若直接用洛必达法则求极限我们发现会有多次求导且计算过程也十分复杂，稍不注意就会出错。我们可以先用泰勒公式将分子展开，再求极限，这样就会简单许多。

解 在00=x 处，由佩亚诺余项的泰勒公式展开得：

24

2

41()2!x x e x o x =+++

24

4cos 1()2!4!

x x x o x =-++ 因此 2447cos 2()12

x e x x o x +-=

+ 故 402cos lim 2

x x e x x -+→44407()12lim x x o x x

→+= 127= 例6 求21lim x x x In x x →∞????-+ ??????

? 分析：当x →∞时，此函数为∞-∞型未定式。虽然可以通过变换把其化为0

0型，再用洛必达法则，但计算量较大。所以我们先将1In x x ??+ ??

?展开，再求其极限。

解 因为221111112ln o x x x x ????????+=-+ ? ? ? ? ?????????

所以21lim x x x ln x x →∞????-+ ??????

? 221111lim 2x o x x x →∞????????=-+?? ? ? ? ??????????

? 12

= 通过以上两个例子，我们不难发现，在求一些未定型的极限时，如果用洛必达法则求导次数较多或化简过程较复杂时，不妨利用泰勒公式来求。在使用泰勒公式求极限时并不需要把各函数展开到n 阶，那么函数到底应该展开到几阶，就成为了求解极限的关键。回顾上面两个例子我们可以发现：

当极限为分式时，若分子或分母中只需要展开一个，那么只需要将其展到另一个的同阶无穷小的阶数；若分子和分母都需要展开，可分别展到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数。

当极限不为分式时，展开的阶数应与函数最高次幂相同。

2.4 泰勒公式在高阶导数方面的应用

例7 已知3()(1)f x x ln x =+，求()(0)(4)n f n ≥。

解 (1)ln x +的3n -阶泰勒公式为：

2

322(1)(1)()23

n n n x x ln x x o x n ---+=-++-+- (2.6) 则

5

4

2()(1)().23n n n x x f x x o x n -=-++-+- (2.7) 由于()f x 的n 阶泰勒公式为：

()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n

n n f f f x f f x x x o x n '''=+++++ (2.8) 比较(2.7)(2.8)两式可知()2

(0)(1)!3n

n f n n --=-， 所以

()()2

!(1)0(4)3

n n n f n n --=≥- 例8 设函数()f x 在上(),-∞+∞有三阶导数，并且()f x 和()f x '''在(),-∞+∞上有界，证明：()f x '和()f x ''在(),-∞+∞上也有界。

证明 设03,,M M R ∈0()f x M ≤，3()f x M '''≤，

则由泰勒公式可得：

()11()()(1)()(),,126

f f x f x f x f x x x ξξ''''''+=++

+∈+ ()21()()(1)()(),,126f f x f x f x f x x x ξξ''''''-=-+-∈+ 两式相加得：

12()()(1)(1)2()()6

f f f x f x f x f x ξξ''''''-''++-=++

故有()30()4,,3

M f x M x ''≤+

?∈-∞+∞ 两式相减得： 12()()(1)(1)2()6f f f x f x f x ξξ''''''-'+--=+

故有()30(),,6

M f x M x '≤+?∈-∞+∞。 综上可知，()f x '和()f x ''在(),-∞+∞上也有界。

3 总结

对于泰勒公式，我们已经非常熟悉，它的应用在当今数学研究发展的过程中起到了重要的作用。通过以上几个方面的研究，让我们知道泰勒公式是函数展开的一种形式，使我们对泰勒公式及其应用有了一个总体上得认识，也使我们在特定的题设条件下形成特定的解题思路，使解题达到事半功倍的效果，只有了解了这些知识，并在此基础上不断加强训练，不断行进总结，才能使我们牢固掌握泰勒公式，进而才能善于熟练运用。可以说这样的学习能使我们养成良好的数学思维习惯，灵活的从不同角度寻找解题途径，进而形成独特的解题技巧。在数学研究中，泰勒公式几乎是开辟计算捷径道路的基础，同时，也为今后进行泰勒公式的深入研究打下基础。泰勒公式在数学中的应用多种多样，恰当的运用泰勒公式能给我们解题带来很大的方便，想要掌握好泰勒公式的应用，需要综合各方面的知识，从题设和结论出发，找出能应用泰勒公式的条件，这样才能好的运用泰勒公式解决数学和生活中的问题，发挥它的优越性。

通过几个月的努力，我的论文基本完成了。在此，特别向吴老师表示崇高的敬意和衷心的感谢，是您不厌其烦的帮助我纠正和改进论文，才使我的论文得以完成，吴老师您严谨细致和一丝不苟的作风是我以后学习工作的榜样，您无私的教导给予了我无尽的启迪，您的鼓励和宽容让我拥有了面对挫折的信心，为我以后的学习工作埋下了一笔巨大的财富。感谢我的同学借电脑给我使用，还帮我找了不少素材。也感谢帮我修改英文翻译的同学。最后，在此感谢给我帮助和鼓励

的老师﹑朋友﹑同学，正是有了你们的帮助和鼓励，才使得我的大学生活画上了一个圆满的句号，才有了如今我的成就。

参考文献：

[1] 裘姚泰,王承国,章仰文.数学分析学习指导[M].北京:科学出版社,2004.

[2] 赵焕光,林长胜.数学分析(上册)[M].四川大学出版社,2006.

[3] 胡国专.泰勒公式在微分学中的应用[J].赤峰学院学报.2012.8，28(8):12-13.

[4] 牛旭.泰勒公式在求函数极限中的应用[J].大众科技.2011，146(10):69-70.

[5] 杜道渊.泰勒公式在高等数学中的若干应用.北京电力高等专科学校学报[J].2012.11，

383.

[6] 赵中，张秀全.泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用[J].天中学刊.2011.4，

26(2):81-82.

[7] 张智云.浅析泰勒公式的应用[J].课例研究.2011,10(5):79-80.

[8] 杨镛.泰勒公式的应用[J].学科研究.2012.8.18:143.