利用坐标计算数量积
利用坐标计算数量积
各位评委老师，你们好 !
我是8号考生，今天我说课的题目是《利用坐标计算数量积》，下面我将从教材分析、教法与学法分析、教学过程与教学评价四方面对本节课的设计与理解进行说明。
(第一部分) 教材分析
教材分析主要体现在以下三方面：
1、教材的地位与作用
本节课是湘教版《数学》必修第四章第5.3节的内容，它是在前面学习了两向量数量积计算的基础上学习的，同时为后面学习向量的综合应用奠定了知识基础，所以本节课在教材中起到承上启下的作用。
在高考中，向量知识是必考的内容，特别是数量积计算的应用，往往与三角形问题，圆锥曲线问题相结合，在大题中出现，因此利用坐标计算数量积作为研究向量的基础就显得十分重要。
2、教学目标
根据本节的内容特点、课标要求以及学生的实际水平，我将本节课的教学目标定位为：
(1)知识目标：理解并掌握利用坐标计算数量积，求模，求夹角，并会利用两向
量垂直的条件求解
(2)能力目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的自学能力，
为学生可持续发展打下基础。
(3)情感目标：通过以利用坐标计算数量积的学习，
激发学生的学习兴趣；
培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；
养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
3、教学重点与难点
根据已确定的教学目标，我把本节课的教学重点定为:
教学重点：掌握利用坐标计算数量积，求模，求夹角，两向量垂直条件的应用；教学难点：利用坐标计算数量积，求模，求夹角公式的推导，两向量垂直条件的推导以及应用；
(第二部分) 教法与学法分析
1.教法分析
基于本节课的内容特点，我主要采用以下几种教学方法：
1）.直观演示法
2）.集体讨论法
3）.活动探究法
4）.讲练结合法
并充分利用现代技术教学手段，使学生主动参与数学实践活动，在教师的指导下发现问题、分析问题和解决问题。
2.学法分析
学生作为教学活动中的主体，在学习过程中学生的参与度和参与状态将会影响教学效果，因此在学法的选择上，我主要采用以下几种：
1）.自主探究法
2）.合作交流法
3）.观察发现法
4）.归纳总结法
(第三部分) 教学过程
本节课的教学过程由以下几个教学环节构成：
1、复习导入：
教师利用多媒体课件跟学生简单回顾向量的线性组合，向量的坐标表示的相关知识，为本节课的公式推导奠定了知识基础。
2、新课探究
教师利用多媒体课件将例3的题目展示出来，教师提出问题“利用已知条件，我们如何计算两向量的数量积，计算两向量的模，两向量垂直时坐标要满足什么条件？”让学生分组讨论，整理出本组同学所想到的思路。在整个讨论交流过程中，教师对正确的认识加以赞赏，对错误的见解加以分析，并对胆怯的学生加以鼓励。通过分组讨论，学生得出以下的方案，教师利用多媒体将方案展示出来。
2111e y e x u +=，2212e y e x v += 由前面的数量积计算公式()
212122122111)(y y x x e y e x e y e x v u ++?+=?＝
2
121y x +=，
通过分组讨论，让学生体会到团结协助的精神，同时，也化解了本节课的教学难点。
3、例题讲解
例4是考查学生对利用坐标计算数量积、求模、求夹角公式的灵活运用
在讲解过程中，教师要注意引导学生把已知条件中点A、B两点坐标构造所要求解的两个向量,即)3,
(-
=
=AB
OA,再利用向量相关求模,求夹角余
16
21
(
),
12
,
弦的公式来求.在讲完第3小题时,教师提问”本小题要求BD线段长度作为高来求三角形的面积,除了书本求法外,还有其他的方法吗?”学生通过教师的引导,可以转化为点B到直线OA的距离来求.
4、课堂练习
这一环节，主要是以课本后面的练习为主，要求学生在规定时间内完成。
通过练习，让学生进一步加深利用坐标计算数量积,求模,以及两向量垂直充要条件的运用。教师通过巡视，抽查，及时发现问题并及时解决。
5、课堂小结
在这一环节，主要是在教师的引导下，让学生归纳总结：
（1）知识：利用坐标计算数量积，求模，求两向量夹角的余弦的推导以及应用（2）方法：两向量垂直充要条件的灵活运用；
这样做不仅锻炼了学生的概括能力与表达能力，而且让学生强化了本节课的知识要点。
6、布置作业
必做题：课本P114 习题3.2第2，6 题
选做题：以学科的资料第一题。
通过分层作业，提高学生的求知欲和满足不同层次的学生的学习需求。
(第四部分)教学评价
本节课是学生在已有的知识基础上学习，在教学过程中，通过自主探索、合作交流，充分调动学生的主动性与积极性，并通过学生的自评、互评，促使学生的数学素养不断提高。
以上就是我对本节课的理解与设计。谢谢
后记：这些说课稿我是为参加市教师公选所准备的，我参考了一些说课稿的固定模式，以及一些优秀说课比赛所固定下来的一个模型，在说稿过程中，以不变应万变。本说课稿是12分钟的内容，说课中，最好在10-11分钟内完成，不要说得过满，也不要说得太短。机会是留给有准备的人，很高兴我以说课第一名的身份晋级教师公选。这些说课稿，但愿能给有缘你带来些许帮助！！！！
高中数学4.5.3利用坐标计算数量积同步练习湘教版2
高中数学 4.5.3 利用坐标计算数量积同步练习湘教版必修2 1．已知a＝(3,4)，b＝(－2，－1)，则 (a－b)·(a＋2b)等于( ) A．5 B．10 C．15 D．20 2．已知向量n＝(a，b)，向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则m的坐标为( ) A．(b，－a) B．(－a，b) C．(－a，b)或(a，－b) D．(b，－a)或(－b，a) 3．已知a＝(1，m)与b＝(n，－4)共线，且c＝(2,3)与b垂直，则m＋n的值为( ) A．16 3 B． 20 3 C． 15 2 D．－4 4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|(a＋b)·c＝5 2 ，则a与c的夹 角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 5．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，则点P的坐标是( ) A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0) 6．已知向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝__________. 7．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 8．已知a＝(3,0)，b＝(k,5)，且a与b的夹角为3π 4 ，则k的值为__________． 9．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|k a＋b||a－k b|(k＞0)．(1)用k表示数量积a·b； (2)若a·b＝ 5 16 (|a|＋|b|)，求k的值． 10．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值．
利用坐标计算数量积
利用坐标计算数量积 各位评委老师，你们好 ! 我是8号考生，今天我说课的题目是《利用坐标计算数量积》，下面我将从教材分析、教法与学法分析、教学过程与教学评价四方面对本节课的设计与理解进行说明。 (第一部分) 教材分析 教材分析主要体现在以下三方面： 1、教材的地位与作用 本节课是湘教版《数学》必修第四章第5.3节的内容，它是在前面学习了两向量数量积计算的基础上学习的，同时为后面学习向量的综合应用奠定了知识基础，所以本节课在教材中起到承上启下的作用。 在高考中，向量知识是必考的内容，特别是数量积计算的应用，往往与三角形问题，圆锥曲线问题相结合，在大题中出现，因此利用坐标计算数量积作为研究向量的基础就显得十分重要。 2、教学目标 根据本节的内容特点、课标要求以及学生的实际水平，我将本节课的教学目标定位为： (1)知识目标：理解并掌握利用坐标计算数量积，求模，求夹角，并会利用两向 量垂直的条件求解 (2)能力目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的自学能力， 为学生可持续发展打下基础。 (3)情感目标：通过以利用坐标计算数量积的学习， 激发学生的学习兴趣； 培养学生主动探索、勇于发现的求知精神； 养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点与难点 根据已确定的教学目标，我把本节课的教学重点定为: 教学重点：掌握利用坐标计算数量积，求模，求夹角，两向量垂直条件的应用；教学难点：利用坐标计算数量积，求模，求夹角公式的推导，两向量垂直条件的推导以及应用；
(第二部分) 教法与学法分析 1.教法分析 基于本节课的内容特点，我主要采用以下几种教学方法： 1）.直观演示法 2）.集体讨论法 3）.活动探究法 4）.讲练结合法 并充分利用现代技术教学手段，使学生主动参与数学实践活动，在教师的指导下发现问题、分析问题和解决问题。 2.学法分析 学生作为教学活动中的主体，在学习过程中学生的参与度和参与状态将会影响教学效果，因此在学法的选择上，我主要采用以下几种： 1）.自主探究法 2）.合作交流法 3）.观察发现法 4）.归纳总结法 (第三部分) 教学过程 本节课的教学过程由以下几个教学环节构成： 1、复习导入： 教师利用多媒体课件跟学生简单回顾向量的线性组合，向量的坐标表示的相关知识，为本节课的公式推导奠定了知识基础。 2、新课探究 教师利用多媒体课件将例3的题目展示出来，教师提出问题“利用已知条件，我们如何计算两向量的数量积，计算两向量的模，两向量垂直时坐标要满足什么条件？”让学生分组讨论，整理出本组同学所想到的思路。在整个讨论交流过程中，教师对正确的认识加以赞赏，对错误的见解加以分析，并对胆怯的学生加以鼓励。通过分组讨论，学生得出以下的方案，教师利用多媒体将方案展示出来。 2111e y e x u +=，2212e y e x v += 由前面的数量积计算公式() 212122122111)(y y x x e y e x e y e x v u ++?+=?＝ 2 121y x +=， 通过分组讨论，让学生体会到团结协助的精神，同时，也化解了本节课的教学难点。
最新25平面向量数量积的坐标表示汇总
25平面向量数量积的 坐标表示
平面向量数量积的坐标表示（1） 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。 ⑶能用所学知识解决有关综合问题。 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与ｂ，作?Skip Record If...?＝a，?Skip Record If...?＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫a与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。 C 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积。 4．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1）e?a = a?e =|a|cosθ；2）a⊥b?a?b = 0 3）当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = -|a||b|。 特别的a?a = |a|2或?Skip Record If...? 4）cosθ =?Skip Record If...?；5）|a?b| ≤ |a||b|
5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(?Skip Record If...?a )?b =?Skip Record If...?(a ?b ) = a ?(?Skip Record If...?b ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，试用 ?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的坐标表示?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，那么 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 所以?Skip Record If...??Skip Record If...? 又?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 所以?Skip Record If...??Skip Record If...? 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 即?Skip Record If...??Skip Record If...? 2.平面内两点间的距离公式 （1）设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?或?Skip Record If...?。 （2）如果表示向量?Skip Record If...?的有向线段的起点和终点的坐标分别为?Skip Record If...?、?Skip Record If...?，那么?Skip Record If...?(平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 1)
平面向量内积的坐标运算
课 题：平面向量数量积的坐标表示 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤ π）叫a 与b 的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是 θ，则数量|a ||b |c os θ叫a 与b 的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |c os θ， （０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积 4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |c os θ；2?a ⊥b ? a ?b = 0 3?当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b | 特别的a ?a = |a |2或a a a ?=||
4?c os θ =| |||b a b a ? ；5?|a ?b | ≤ |a ||b | 5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a ? 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x +?+?+= 又1=?i i ，1=?j j ，0=?=?i j j i 所以b a ?2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即b a ?2121y y x x += 2.平面内两点间的距离公式 （1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或 ||a = （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ?02121=+y y x x
苏教版数学高一必修四 作业 2.4平面向量数量积的坐标表示(第二课时)
一、填空题 1．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，则a ·(b ＋c )＝________. 解析：∵b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)， ∴b ＋c ＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)． 又∵a ＝(2,3)， ∴a ·(b ＋c )＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6 ＝－6＋18＝12. 答案：12 2．已知a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则|3a －2b |＝________. 解析：a ＝(2,4)，b ＝(1,3)， 则3a －2b ＝(6,12)－(2,6)＝(4,6)． ∴|3a －2b |＝ 42＋62＝52＝213. 答案：213 3．已知a ＝ (1，－1)，b ＝(－2,1)，如果(λa ＋b )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 解析：λa ＋b ＝(λ－2,1－λ)，a －λb ＝(1＋2λ，－1－λ)， 由(λa ＋b )⊥(a －λb )， 得(λ－2)(1＋2λ)＋(1－λ)(－1－λ)＝0， ∴λ＝1±52 . 答案：1±52 4．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于________． 解析：由a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)得2a ＋b ＝(3,3)， a － b ＝(0,3)，设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ， 则cos θ＝(2a ＋b )·(a －b )|2a ＋b |·|a －b |＝932·3＝22. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π4 .
答案：π4 5．已知a ＝????1，12，b ＝????0，－12，c ＝a ＋kb ，d ＝a －b ，c 与d 的夹角为π4 ，则k 等于________． 解析：由条件得c ＝(1，12－12k )，d ＝(1,1)，从而c ·d ＝1＋12－12k ＝2·1＋(12－12k )2·cos π4 ， 解得k ＝1. 答案：1 二、解答题 6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值： (1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝5. 解：m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)， ∴(1)m ⊥n ?(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0?λ＝529 ； (2)m ∥n ?(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0?λ＝－12 ； (3)|m |＝5? (4＋λ)2＋(3－2λ)2＝5?5λ2－4λ＝0 ?λ＝0或45 . 7．已知m ＝(1,1)，向量n 与m 的夹角为3π4 ，且m ·n ＝－1，求向量n . 解：设n ＝(x ，y )． 由m ·n ＝－1得x ＋y ＝－1. (1) 因为向量n 与m 的夹角为3π4 ， 有m ·n ＝|m ||n |cos 3π4 ＝－1， 所以|n |＝1，即x 2＋y 2＝1. (2) 由(1)(2)得x ＝－1，y ＝0，或x ＝0，y ＝－1， 所以n ＝(－1,0)，或n ＝(0，－1)． 8．已知点A (2,2)、B (4,1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP · BP 取最小值时，求向量PA 与PB 的夹角的余弦值． 解：设点P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．
最新向量数量积的坐标运算
向量数量积的坐标运 算
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 《向量的数量积的坐标运算与度量公式》预习案 【学习目标】： （1）灵活运用向量数量积的坐标运算公式，夹角余弦的坐标表达式； （2）体会公式中体现的数形结合的思想 【学习重难点】 重点：向量数量积的坐标运算与度量公式 难点：灵活运用公式解决有关问题 【知识链接】 1.两向量数量积定义：?Skip Record If...? 2.向量数量积的性质： 【知识重现】 1. 已知?Skip Record If...?，?Skip Record If...?在?Skip Record If...?方向 上的正射影的数量是3，则?Skip Record If...? 2. 在?Skip Record If...? 中，?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? 【知识点梳理】 1.数量积的坐标表达式 ?Skip Record If...? 2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： （2）与向量?Skip Record If...?垂直的向量可以写成 。
3、向量的长度、距离和夹角公式推导 向量的长度公式： ?Skip Record If...? 距离公式：?Skip Record If...? 两向量夹角余弦公式的坐标表达式： ?Skip Record If...? 自学课本P113--P114例1—例4，完成自学检测 【自学检测】 1.已知?Skip Record If...?则?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 2.已知?Skip Record If...?则?Skip Record If...? 3.判断下面各对向量是否垂直 （1）?Skip Record If...?（2）?Skip Record If...? 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5
平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示模夹角 教学目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) [基础·初探] 教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a| 3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝ 4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b夹角为θ，则 cos θ＝ a·b |a|·|b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 . 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度．()
(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) 解：(1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)√.由向量数量积定义可知正确． (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× [小组合作型] 平面向量数量积的坐标运算 (1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )， 且a·b ＝－1，则x 的值等于( ) A ．1 2 B ．－12 C ．32 D ．－32 (2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则a·b ＝________，a ·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________. 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解． 解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，
平面向量坐标运算及其数量积习题
平面向量坐标及数量积练习 1. 已知e 1→,e 2→是一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A. e 1→, e 1→+e 2→ B. e 1→—2e 2→, e 2→—2e 1→ C. e 1→—2e 2→, 4e 2→—2e 1→ D. e 1→+e 2→, e 1→—e 2→ 2. 若a →,b →不共线且λa →+μb →=0→(λ , μ ∈ R), 则 ( ) A. a →=0→,b →=0→ B. λ=μ=0 C. λ=0, b →=0 D. a →=0→, μ=0 3. 如图1，ΔABC 中，M, N, P 顺次是AB 的四等分点, CB →=e 1→, CA →=e 2→, 则下列正确的是( ) A. CN →=12e 1→+12e 2→, CM →=14e 1→+34e 2→ B. AB →=e 1→—e 2→, CP →=14e 1→+34 e 2→ C. CP →=34e 1→+14e 2→, AM →=14(e 1→+e 2→) D. AM →=14 (e 1→—e 2→), AB →=e 1→+e 2→ 4. 若|a →|=1,|b →|=2,c →=a →+b →且c →⊥a →, 则向量a →与b →的夹角为 ( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 已知单位向量i →与j →的夹角为60°,则2j →—i →与i →的关系为 ( ) A. 相等 B. 垂直 C. 平行 D. 共线 6 下列命题中真命题的个数为 ( ) ①|a →·b →|=|a →|·|b →|；②a →·b →=0 ? a →=0→或b →=0; ③ |λa →|=|λ|·|a →|; ④ λa →=0→ ? λ=0或a →=0→ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设a →,b →,c →是单位向量，且a →·b →=0，则(a →—c →)·(b →—c →)的最小值为 ( ) A. —2 B. 2—2 C. —1 D. 1— 2 8. 若点A 的坐标是(x 1, y 1)，向量AB →的坐标为(x 2, y 2)，则点B 的坐标为 ( ) A ．(x 1—x 2, y 1—y 2) B ．(x 2—x 1, y 2—y 1) C ．(x 1+x 2, y 1+y 2) D ．(x 2—x 1, y 1—y 2) 9. 已知M(3，—2), N(—5,—1)，且MP →=2MN →, 则MP → = ( ) A ．(—8，1) B ．(—4, 12) C ．（—16, 2） D ．(8, —1) 10 与a →=(3,4)垂直的单位向量是 ( ) A. (45, 35) B. (—45, —35) C. (45, —35)或(—45, 35) D. (45, 35)或(—45, —35) 11. A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ΔABC 为 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 12.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为 ( ) A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形 13.已知a →=(—3,4),b →=(5,2),c →=(1,—1), 则(a →·b →)·c →等于 ( ) A. —14 B. —7 C. (7,—7) D. (—7,7) 14.已知A(—1,1),B(1,2),C(3, 12) , 则AB →·AC →等于 ( ) A. 52 B. 152 C. —52 D. —152 15已知|m →|=6 ,n →=(cos θ,sin θ), m →·n →=9, 则m →, n →的夹角为 ( ) A.150o B.120 o C.60 o D.30 o 16.若a →=(—2,1)与b →=(—1,—m 5 )互相垂直，则m 的值为 ( ) A. —6 B.8 C. —10 D. 10 17. 已知M(3, —2), N(—5,—1)，且MP → = 12 MN →，则P 点的坐标 ( ) A ．(—4, 12) B ．(—1, —32 ) C ．(—1, 32 ) D ．(8, —1) 18. 已知a → = (3, —1), b → = (—1, 2), c → = 2a → + b →, 则 c → = ( ) A ．（6，—2） B ．（5，0） C ．（—5，0） D ．（0，5） 19. 已知a →=(—6, y ), b →=(—2, 1), 且a →与b →共线，则x = ( ) A ．—6 B ．6 C ．3 D ．—3 20. 已知A(2,—1),B(3,1), 与AB →方向相反的向量a →是 ( ) A ．a →=(1, 12) B ．a →=(—6,—3) C ．a →=(—1,2) D ．a → =(—4,—8)
高一数学优质课比赛 平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示 一、本教学设计主要思考的几个问题： 1、 教材的地位和作用是什么？ 2、 学生在学习中会遇到什么困难？ 3、 如何根据新课程理念，设计教学过程？ 4、 如何结合教学内容，指导学生学法、发挥评价作用、发展学生能力？ 二、教材分析： 1、 向量是近代数学中最重要的概念之一； 2、 向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具” 和“桥梁”； 3、 数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便； 4、 有助于理解和掌握 数形结合的思想方法； 5、 为学习物理等其他学科解决实际问题作准备； 三、教学目标分析： ⒈知识目标：(1)掌握数量积和模的坐标； (2)掌握两向量垂直的充要条件(等价条件)、夹角公式． ⒉能力目标：(1)领悟数形结合的思想方法； (2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力． ⒊情感目标：体验探索的乐趣认识世间事物的联系与转化． 四、教学的重点、难点分析： 重点：数量积坐标表示的推理过程． 难点：公式的建立与应用． 五、学生分析： 知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等； 方法上：研究过向量加减法坐标运算的推理过程； 思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维； 能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱. 六、教学方法和教学手段分析： 1、建构主义学习理论认为：学生的认知结构是通过同化和顺化而不断发展，学习不是对教师所授予的 知识被动接受，而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动的建构过程。学生真正获得知识的消化，是把新的学习内容正确纳入已有的认知结构，使其成为整个认知结构的有机组成部分，所以在教学中，以向量为载体，按照“直观感知----操作确认-----思辩论证”的认识过程展开。通过创设良好的问题情境，不断引导学生观察、实验、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生学习的主动性，培养学生的自主、合作、探索能力。同时采用电脑课件的教学手段，加强直观性和启发性，提高课堂效益； 2、 运用“导学探究式” 教学方法； 3、 本节课的基调定为，自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、分层评价； 4、多媒体信息技术教学手段整合教学过程. 七、学法指导： 1、根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”这一方面，学生在教师营 造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力； 2、 紧紧围绕数形结合这条主线； 认知主体
北师大版《平面向量数量积的坐标表示》word教案
2.6平面向量数量积的坐标表示 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. （2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力. 二.教学重、难点 重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示. 难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 [展示投影]引入： 请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：【探究新知】 平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？ 1. 推导坐标公式：设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0. ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2 从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 2.长度、角度、垂直的坐标表示 ①a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | = 22y x + ②若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则?→ ?AB =2 212 21)()(y y x x -+- ③co s θ = | |||b a b a ??2 2 222 1 2 12121y x y x y y x x +++= ④∵a ⊥b ? a ?b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示） 【巩固深化，发展思维】 1.设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ?b
平面向量数量积的坐标表示
§5.7平面向量数量积的坐标表示 教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。 教学重点：平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式 教学难点：向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用 教学方法; 启发式 教学过程： 一、复习引入 1．两平面向量垂直的充要条件。2．两向量共线的坐标表示： 二、新课讲解： 1．x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0 2．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2) 则 ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2.从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 3．长度、夹角、垂直的坐标表示 1?长度：a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | =22y x + 2?两点间的距离公式：若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+- 3? 夹角：co s θ =||||b a b a ??222221212 121y x y x y y x x +++= 4?垂直的充要条件：∵a ⊥b ? a ?b =0即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示的区别） 4、阅读课本120页例1与例2.完成课本121页练习。 三、例与练习 例1、如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90?， 求点B 和向量的坐标。
平面向量数量积运算专题(附答案解析)
平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ， DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF → ＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么PA →·PB → 的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋2 C.－4＋2 2 D.－3＋22 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB → ＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹 角的余弦值等于( ) B.－1 26 D.－112 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC → )，则 AB →与AC → 的夹角为________.
题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2 .若平面向量b 满足 b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. 高考题型精练 1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD → 等于( ) A.－32 a 2 B.－34 a 2 a 2 a 2 2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝? ?? ?? x ，x ≥y ， y ，x 第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 教学设计 一、教学目标 1. 掌握用坐标表示平面向量的数量积； 2. 会用坐标表示两个平面向量的夹角； 3. 能用坐标表示平面向量垂直的充要条件. 二、教学重难点 1. 教学重点 平面向量的数量积、模、夹角的坐标表示及两向量垂直的充要条件的坐标表示. 2. 教学难点 平面向量数量积的坐标表示的应用. 三、教学过程 （一） 新课导入 复习：平面向量数乘运算的坐标表示：已知( )y a x =r ，， ()a x y λλλ=r ，. （二）探索新知 问题1 已知11) (x a y =r ，，22) (x b y =r ，，怎样用坐标表示a b ?r r 呢？ 因为1122a x i y j b x i y j =+=+r r r r r r ，， 所以22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ?=+?+=+?+?+r r r r r r r r r r r r . 又1i i ?=r r ，1j j ?=r r ，0i j j i ?=?=r r r r ， 所以1212a b x x y y ?=+r r . 结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 问题2 用坐标表示向量的模. 若( )y a x =r ，，则222 ||a x y =+r ，||a =r . 如果表示向量a r 的有向线段的起点和终点的坐标分别为1122()()x y x y ，， ，，那么 2121) (x x a y y =--r ，， 212212||()()y a x x y =--+r . 问题3 复习：设a b r r ， 是非零向量，0a b a b ⊥??=r r r r .如何用坐标表示两个向量垂直？ 设11) (x a y =r ，，22) (x b y =r ，，则 12120a b x x y y ⊥?+=r r . 例10 若点 ，则 是什么形状？证明你的猜想. 解：如图，在平面直角坐标系中画出点A ，B ，C ，我们发现 是直角三角形.证明如下： 因为， ， 所以. 于是. 因此，是直角三角形. 设a b r r ，都是非零向量，11) (x a y =r ，，22) (x b y =r ，， 是与的夹角，根据向量数量积 的定义及坐标表示可得 12122222 1 1 22 cos |||| x x y y a b a b x y x y θ+?== ++r r r r . 例11 设，，求及的夹角（精确到）. 解： . 因为，，所以用计算器计算可得 cos 0.03||||7452 a b a b θ?==≈-?r r r r . 5．6平面向量的数量积及运算律 一、内容及其解析 1、内容：平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。 2、解析：平面向量的数量积是两向量之间的一种运算，前面我们已经做了充分研究，这次课通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算, 这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。 本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。 二、目标及解析 1、目标 1）、掌握平面向量数量积的坐标表示 2）、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 3）、掌握向量垂直的条件 2、解析： 1）、通过建立直角坐标系，用坐标表示出平面向量的数量积； 2）、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题. 3）、两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。(注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 , 共线的坐标表示x1y2－x2y1=0) 三、教学问题诊断 本节课是在学生充分理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的，应该说，从知识的接受上学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示。本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题，难点是向量垂直的条件的理解与掌握，解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上，通过建立直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标的运算，即数之间的运算。 四、教学支持条件分析 本节内容是全章重点内容之一，学生学习时容易混淆，在指导学生认真预习的前提下，教学中从向量的几何意义上突破难点，在通过适当的练习加以巩固。可把重要性质、运算律、例题做成幻灯片，提高课堂效率。 五、教学设计过程 （一）、教学基本流程 （二）情景创设 平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算 学习必备 欢迎下载 平面向量坐标及数量积练习 1. 已知e 1→,e 2→是一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A. e 1→, e 1→+e 2→ B. e 1→—2e 2→, e 2→—2e 1→ C. e 1→—2e 2→, 4e 2→—2e 1→ D. e 1→+e 2→, e 1→—e 2→ 2. 若a →,b →不共线且λa →+μb →=0→(λ , μ ∈ R), 则 ( ) A. a →=0→,b →=0→ B. λ=μ=0 C. λ=0, b →=0 D. a →=0→, μ=0 3. 如图1，ΔABC 中，M, N, P 顺次是AB 的四等分点, CB →=e 1→, CA →=e 2→, 则下列正确的是( ) A. CN →=12e 1→+12e 2→, CM →=14e 1→+34e 2→ B. AB →=e 1→—e 2→, CP →=14e 1→+34 e 2→ C. CP →=34e 1→+14e 2→, AM →=14(e 1→+e 2→) D. AM →=14 (e 1→—e 2→), AB →=e 1→+e 2→ 4. 若|a →|=1,|b →|=2,c →=a →+b →且c →⊥a →, 则向量a →与b →的夹角为 ( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 已知单位向量i →与j →的夹角为60°,则2j →—i →与i →的关系为 ( ) A. 相等 B. 垂直 C. 平行 D. 共线 6 下列命题中真命题的个数为 ( ) ①|a →·b →|=|a →|·|b →|；②a →·b →=0 ? a →=0→或b →=0; ③ |λa →|=|λ|·|a →|; ④ λa →=0→ ? λ=0或a →=0→ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设a →,b →,c →是单位向量，且a →·b →=0，则(a →—c →)·(b →—c →)的最小值为 ( ) A. —2 B. 2—2 C. —1 D. 1— 2 8. 若点A 的坐标是(x 1, y 1)，向量AB →的坐标为(x 2, y 2)，则点B 的坐标为 ( ) A ．(x 1—x 2, y 1—y 2) B ．(x 2—x 1, y 2—y 1) C ．(x 1+x 2, y 1+y 2) D ．(x 2—x 1, y 1—y 2) 9. 已知M(3，—2), N(—5,—1)，且MP →=2MN →, 则MP → = ( ) A ．(—8，1) B ．(—4, 12) C ．（—16, 2） D ．(8, —1) 10 与a →=(3,4)垂直的单位向量是 ( ) A. (45, 35) B. (—45, —35) C. (45, —35)或(—45, 35) D. (45, 35)或(—45, —35) 11. A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ΔABC 为 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 12.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为 ( ) A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形 13.已知a →=(—3,4),b →=(5,2),c →=(1,—1), 则(a →·b →)·c →等于 ( ) A. —14 B. —7 C. (7,—7) D. (—7,7) 14.已知A(—1,1),B(1,2),C(3, 12) , 则AB →·AC →等于 ( ) A. 52 B. 152 C. —52 D. —152 15已知|m →|=6 ,n →=(cos θ,sin θ), m →·n →=9, 则m →, n →的夹角为 ( ) A.150o B.120 o C.60 o D.30 o 16.若a →=(—2,1)与b →=(—1,—m 5 )互相垂直，则m 的值为 ( ) A. —6 B.8 C. —10 D. 10 17. 已知M(3, —2), N(—5,—1)，且MP → = 12 MN →，则P 点的坐标 ( ) A ．(—4, 12) B ．(—1, —32 ) C ．(—1, 32 ) D ．(8, —1) 18. 已知a → = (3, —1), b → = (—1, 2), c → = 2a → + b →, 则 c → = ( ) A ．（6，—2） B ．（5，0） C ．（—5，0） D ．（0，5） 19. 已知a →=(—6, y ), b →=(—2, 1), 且a →与b →共线，则x = ( ) A ．—6 B ．6 C ．3 D ．—3 20. 已知A(2,—1),B(3,1), 与AB →方向相反的向量a →是 ( ) A ．a →=(1, 12) B ．a →=(—6,—3) C ．a →=(—1,2) D ．a → =(—4,—8) 平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示教学设计
平面向量坐标运算及其数量积习题