机械优化设计实例(人字架优化)讲课教案

人字架的优化设计

一、问题描述

如图1所示的人字架由两个钢管组成，其顶点受外力2F=3×105N 。已知人字架跨度2B=152 cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.15

10? MPa ，材料密度p=7．8×103 kg ／m ，许用压应力δy =420 MPa 。求钢管压应力δ不超过许用压应力 δy 和失稳临界应力 δc 的条件下，人字架的高h 和钢管平均直径D 使钢管总质量m 为最小。

二、分析

设计变量：平均直径D 、高度h

三、数学建模

所设计的空心传动轴应满足以下条件： （1） 强度约束条件 即

δ≤??

????y δ 经整理得

(

)

[]y hTD

h

B F δπ≤+2

122

（2） 稳定性约束条件：

[]c δδ≤

(

)

(

)

(

)

2

22

222

122

8h

B D T E hTD

h B F ++≤+ππ （3）取值范围：

12010≤≤D 1000200≤≤h

则目标函数为：()22

13

57760010

5224.122min x x x f +?=- 约束条件为：0420577600106)(2

12

2

41≤-+?=x Tx x X g π

()

057760025.63272.259078577600106)(2

2

212

12

2

42≤++-+?=

X x x x Tx x g π010)(13≤-=x X g 0120)(14≤-=x X g

0200)(25≤-=x X g 01000)(26≤-=x X g

四、优化方法、编程及结果分析

1优化方法

综合上述分析可得优化数学模型为：()T

x x X 21,=；)(min x f ；()0..≤x g t s i 。

考察该模型，它是一个具有2个设计变量，6个约束条件的有约束非线性的单目标最优化问题，属于小型优化设计，故采用SUMT 惩罚函数内点法求解。

2方法原理

内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。

对于只具有不等式约束的优化问题

)(min x f

),,2,1(0)(..m j x j

g t s Λ=≤

转化后的惩罚函数形式为

?∑

=-=m

j j x g r x f r x 1

)

(1

)(),(φ 或[]

∑=--=m

j j x g r x f r x 1

)(ln )()

,(φ

式中r ——惩罚因子，它是由大到小且趋近于0的数列，即

0210→>>>Λr r r 。

[]

∑∑==-m

j m

j j j x g x g 11)(ln )(1

—障碍项—或。 由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域。由障碍项的函数形式可知，当迭代靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而障碍项的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上筑起了一道“围墙”，使迭代点始终不能越出可行域。显然，只有当惩罚因子0→r 时，才能求得在约束边界上的最优解。

3编程

首先编制两个函数文件，分别保存为目标函数和约束函数。 function f=objfun(x) B=1520;T=2.5;P=7.8e-3;

f=2*pi*P*x(1)*T*sqrt((B/2)^2+x(2)^2); 再编写非线性约束函数文件M 文件confun.m; function [c,ceq]=confun(x)

B=1520;T=2.5;P=300000;E =2.1e5;F1=420; Q=0.5*P*sqrt((B/2)^2+x(2)^2)/x(2); st=Q/(pi*T*x(1)); g(1)=st-F1;