二次根式的概念与性质1
二次根式的概念与性质1
一.选择题(共30小题)
1.下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥,
其中一定是二次根式的有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
2.下列判断正确的是()
A.带根号的式子一定是二次根式
B.一定是二次根式
C.一定是二次根式
D.二次根式的值必定是无理数
3.下列各式中①;②;③;④;⑤一定是二次根式的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.下列各式中,二次根式有()
①②③④
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.下列各式中:①;②;③;④.其中,二次根式的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个
6.在式子,,,,(x≤0)中,一定是二次根式的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件()
A.B.C.D.
8.若有意义,则x满足条件是()
A.x≥﹣3且x≠1B.x>﹣3且x≠1C.x≥1D.x≥﹣3
9.式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是()
A.x<2B.x≥2C.x=2D.x<﹣2
10.如果代数式有意义,那么x的取值范围是()
A.x≠3B.x<3C.x>3D.x≥3
11.使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为()A.B.
C.D.
12.二次根式中,字母a的取值范围是()
A.a B.a C.a D.a
13.使式子+成立的x的取值范围是()
A.x≥﹣2B.x>﹣2C.x>﹣2,且x≠2D.x≥﹣2,且x≠2
14.若式子有意义,则实数m的取值范围是()
A.m>﹣2B.m>﹣2且m≠1C.m≥﹣2D.m≥﹣2且m≠1
15.代数式+中x的取值范围在数轴上表示为()
A.B.
C.D.
16.下列说法正确的个数有()
①代数式的意义是a除以b的商与1的和;
②要使y=有意义,则x应该满足0<x≤3;
③当2x﹣1=0时,整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0;
④地球上的陆地面积约为14900万km2,用科学计数法表示为1.49×108km2.
A.1个B.2个C.3个D.4个
17.使代数式有意义的整数x有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
18.已知实数x、y满足y=﹣2,则y x值是()A.﹣2B.4C.﹣4D.无法确定19.要使代数式有意义,则下列关于x的描述正确的是()A.最小值是1B.最大值是1C.最小值是﹣1D.最大值是﹣1 20.如果式子是有意义,那么a的取值范围是()
A.a≥2B.a>2C.a=2D.a≤1 21.若代数式有意义,则实数x的取值范围是()
A.x>0B.x≥0C.x≠0D.任意实数22.下列计算正确的是()
A.﹣|﹣3|=3B.﹣32=9C.D.
23.化简等于()
A.B.±C.D.5
24.二次根式的值是()
A.2017B.﹣2017
C.2017或﹣2017D.20172
25.下列各式中,正确的是()
A.B.C.D.
26.若=a﹣2,则a与2的大小关系是()
A.a=2B.a>2C.a≤2D.a≥2 27.等于()
A.8B.﹣8C.2D.﹣2
28.化简(﹣)2的结果是()
A.±3B.﹣3C.3D.9
29.给出下列化简①(﹣)2=2:②=2;③=12;④=,其中正确的是()
A.①②③④B.①②③C.①②D.③④
30.=()
A.B.C.D.
二.填空题(共10小题)
31.已知a≥0时,=a.请你根据这个结论直接填空:
(1)=;
(2)若x+1=20182+20192,则=.
32.化简二次根式a后的结果是
33.若=1.2,则a=;若=m,则m=;
34.已知实数a在数轴上的位置如图所示,化简:+|a﹣1|=.
35.若a<2,化简+a﹣1=.
36.若实数a、b在数轴上的位置如图所示,则代数式|b﹣a|+化简为.
37.若a>1,化简的结果是.
38.实数a在数轴上的位置如图所示,则化简后为.
39.化简:2<x<4时,﹣=.
40.当a<0,b>0时.化简:=.
二次根式的概念与性质1
参考答案与试题解析
一.选择题(共30小题)
1.下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥,
其中一定是二次根式的有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
【分析】根据二次根式的定义即可求出答案.
【解答】解:形如的代数式叫做二次根式,其中,a 叫做被开方数,被开方数必须大于或等于0
∴④;⑤;⑥是二次根式,
故选:C.
【点评】本题考查二次根式的定义,解题的关键是熟练运用二次根式的定义,本题属于基础题型.
2.下列判断正确的是()
A.带根号的式子一定是二次根式
B.一定是二次根式
C.一定是二次根式
D.二次根式的值必定是无理数
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案.
【解答】解:A、带根号的式子不一定是二次根式,故此选项错误;
B、,a≥0时,一定是二次根式,故此选项错误;
C、一定是二次根式,故此选项正确;
D、二次根式的值不一定是无理数,故此选项错误;
故选:C.
【点评】此题主要考查了二次根式的定义,正确把握二次根式的性质是解题关键.3.下列各式中①;②;③;④;⑤一定是二
次根式的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】二次根式的定义:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,据此逐一判断即可得.
【解答】解:在①;②;③;④;⑤一定是二次根式的是③④⑤,
故选:C.
【点评】本题考查了二次根式的定义.理解被开方数是非负数,给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式,并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围.
4.下列各式中,二次根式有()
①②③④
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2,结合选项进行判断即可
【解答】解:①能满足被开方数为非负数,故①正确;
②被开方数为负数,不是二次根式,故②错误;
③根指数为3,不是二次根式,故③错误;
④x2+2x+1能满足被开方数为非负数,故④正确;
综上二次根式有2个,
故选:B.
【点评】主要考查了二次根式的概念.式子(a≥0)叫二次根式.(a≥0)是一个非负数.
5.下列各式中:①;②;③;④.其中,二次根式的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案.
【解答】解:①;②;③;④.二次根式的只有①,
故选:A.
6.在式子,,,,(x≤0)中,一定是二次根式的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】依据二次根式的定义:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式求解可得.
【解答】解:在所列式子中一定是二次根式的是,(x≤0)这2个,
故选:B.
【点评】本题考查了二次根式的定义.理解被开方数是非负数,给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式,并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围.
7.x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件()
A.B.C.D.
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式,分别计算即可.【解答】解:A,x+3≥0,解得,x≥﹣3,错误;
B、x﹣3>0,解得,x>3,错误;
C、x+3>0,解得,x>﹣3,错误;
D、x﹣3≥0,解得,x≥3,正确,
故选:D.
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键.
8.若有意义,则x满足条件是()
A.x≥﹣3且x≠1B.x>﹣3且x≠1C.x≥1D.x≥﹣3
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.
【解答】解:∵有意义,
∴x满足条件是:x+3≥0,且x﹣1≠0,
解得:x≥﹣3且x≠1.
故选:A.
9.式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x<2B.x≥2C.x=2D.x<﹣2
【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案.
【解答】解:∵式子在实数范围内有意义,
∴2﹣x≥0,x﹣2≥0,
解得:x=2.
故选:C.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握定义是解题关键.10.如果代数式有意义,那么x的取值范围是()
A.x≠3B.x<3C.x>3D.x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
【解答】解:由题意可知:x﹣3>0,
∴x>3,
故选:C.
【点评】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件,本题属于基础题型.
11.使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为()A.B.
C.D.
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得到x的取值范围,然后在数轴上表示即可得解.
【解答】解:根据题意得,x﹣2≥0,
解得x≥2,
在数轴上表示如下:
.
故选:B.
【点评】本题主要考查了二次根式的被开方数是非负数,属于基础题.
12.二次根式中,字母a的取值范围是()
A.a B.a C.a D.a
【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案.
【解答】解:∵二次根式有意义,
∴1﹣2a>0,
解得:a<,
故字母a的取值范围是:a<.
故选:C.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握二次根式的定义是解题关键.
13.使式子+成立的x的取值范围是()
A.x≥﹣2B.x>﹣2C.x>﹣2,且x≠2D.x≥﹣2,且x≠2
【分析】先由分式有意义的性质得到:x2﹣4≠0,x≠±2,根据二次根式有意义的条件,得x+2≥0,解答即可求解.
【解答】解:由题意得:x2﹣4≠0,
∴x≠±2
又∵x+2≥0,
∴x≥﹣2
∴x的取值范围是:x>﹣2且x≠2.
故选:C.
【点评】本题考查了二次根式的性质与分式有意义的性质,解不等式,是基础题.14.若式子有意义,则实数m的取值范围是()
A.m>﹣2B.m>﹣2且m≠1C.m≥﹣2D.m≥﹣2且m≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
【解答】解:由题意可知:
∴m≥﹣2且m≠1
故选:D.
【点评】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是熟练运用二次根式的条件,本题属于基础题型.
15.代数式+中x的取值范围在数轴上表示为()A.B.
C.D.
【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零,可得答案.
【解答】解:由题意,得
3﹣x≥0且x﹣1≠0,
解得x≤3且x≠1,
在数轴上表示如图,
故选:A.
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件,利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键.
16.下列说法正确的个数有()
①代数式的意义是a除以b的商与1的和;
②要使y=有意义,则x应该满足0<x≤3;
③当2x﹣1=0时,整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0;
④地球上的陆地面积约为14900万km2,用科学计数法表示为1.49×108km2.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据代数式的意义,二次根式和分式有意义的条件以及科学计数法进行解答.
【解答】解:①代数式的意义是a除以b与1的和的商,故错误;
②要使y=有意义,则x应该满足x≤3且x≠0,故错误;
③当2x﹣1=0时,2xy﹣8x2y+8x3y=2xy(1﹣4x+4x2)=2xy(1﹣2x)2=0,故正确;
④地球上的陆地面积约为14900万km2,用科学计数法表示为1.49×108km2,故
正确;
故选:B.
【点评】考查了代数式的意义,二次根式和分式有意义的条件以及科学计数法.科学计数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,这种记数法叫做科学计数法.【科学计数法形式:a×10n,其中1≤a<10,n为正整数】.
17.使代数式有意义的整数x有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
【分析】直接利用二次根式的得出x的取值范围,进而得出整数x的值.
【解答】解:∵代数式有意义,
∴x+3>0,3﹣3x≥0,
解得:x>﹣3,x≤1,
则﹣3<x≤1,
故代数式有意义的整数x有:﹣2,﹣1,0,1,共4个数.
故选:B.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确得出x的取值范围是解题关键.
18.已知实数x、y满足y=﹣2,则y x值是()
A.﹣2B.4C.﹣4D.无法确定
【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值,然后可得到y的值,最后代入计算即可.
【解答】解:∵实数x、y满足y=﹣2,
∴x=2,y=﹣2,
∴y x=(﹣2)2=4.
故选:B.
【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件,熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.
19.要使代数式有意义,则下列关于x的描述正确的是()A.最小值是1B.最大值是1C.最小值是﹣1D.最大值是﹣1【分析】根据二次根式有意义的条件解答可得.
【解答】解:要使代数式有意义,则x﹣1≥0,即x≥1,
所以x有最小值1,
故选:A.
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件,解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数为非负数.
20.如果式子是有意义,那么a的取值范围是()
A.a≥2B.a>2C.a=2D.a≤1
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.
【解答】解:∵式子是有意义,
∴a﹣2>0,
解得:a>2,
∴a的取值范围是:a>2.
故选:B.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握定义是解题关键.21.若代数式有意义,则实数x的取值范围是()
A.x>0B.x≥0C.x≠0D.任意实数
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行解答.
【解答】解:依题意得:x2≥0且x≠0.
解得x≠0.
故选:C.
【点评】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件.解题时,注意分母不等于零且被开方数是非负数.
22.下列计算正确的是()
A.﹣|﹣3|=3B.﹣32=9C.D.
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案.
【解答】解:A、﹣|﹣3|=﹣3,故此选项错误;
B、﹣32=﹣9,故此选项错误;
C、=3,正确;
D、=3,故此选项错误;
故选:C.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质,正确化简各数是解题关键.
23.化简等于()
A.B.±C.D.5
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案.
【解答】解:==.
故选:A.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确化简二次根式是解题关键.24.二次根式的值是()
A.2017B.﹣2017
C.2017或﹣2017D.20172
【分析】根据=|a|化简可得.
【解答】解:=|﹣2017|=2017,
故选:A.
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简,解题的关键是掌握=|a|.25.下列各式中,正确的是()
A.B.C.D.
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案.
【解答】解:A、=4,故此选项错误;
B、﹣=﹣4,正确;
C、=4,故此选项错误;
D、=4,故此选项错误;
故选:B.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确化简二次根式是解题关键.26.若=a﹣2,则a与2的大小关系是()
A.a=2B.a>2C.a≤2D.a≥2
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
【解答】解:由题意可知:a﹣2≥0,
∴a≥2,
故选:D.
【点评】本题考查二次根式的运算法则,解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则,本题属于基础题型.
27.等于()
A.8B.﹣8C.2D.﹣2
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.
【解答】解:=8.
故选:A.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质,正确掌握运算法则是解题关键.28.化简(﹣)2的结果是()
A.±3B.﹣3C.3D.9
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
【解答】解:原式=3,
故选:C.
【点评】本题考查二次根式的性质,解题的关键是熟练运用二次根式的性质,本题属于基础题型.
29.给出下列化简①(﹣)2=2:②=2;③=12;④=,
其中正确的是()
A.①②③④B.①②③C.①②D.③④
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案.
【解答】解:①原式=2,故①正确;
②原式=2,故②正确;
③原式==2,故③错误;
④原式==,故④错误;
故选:C.
【点评】本题考查二次根式的运算,解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则,本题属于基础题型.
30.=()
A.B.C.D.
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.
【解答】解:,
故选:D.
【点评】此题考查二次根式的性质,关键是根据二次根式的性质进行化简.
二.填空题(共10小题)
31.已知a≥0时,=a.请你根据这个结论直接填空:
(1)=3;
(2)若x+1=20182+20192,则=4037.
【分析】(1)由=根据二次根式性质可得;
(2)由x+1=20182+20192=2×20182+2×2018+1得x=2×20182+2×2018,代入得==,从而得出答案.【解答】解:(1)==3,
故答案为:3;
(2)∵x+1=20182+20192
=20182+(2018+1)2
=20182+20182+2×2018+1
=2×20182+2×2018+1,
∴x=2×20182+2×2018,
则===2×2018+1=4037,
故答案为:4037.
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简,解题的关键是掌握二次根式的性质和完全平方公式的应用.
32.化简二次根式a后的结果是﹣或
【分析】分﹣1<a<0和a>0两种情况,根据二次根式的性质化简.
【解答】解:当﹣1<a<0时,原式=﹣,
当a>0时,原式=,
故答案为:﹣或.
【点评】本题考查的是二次根式的化简,掌握二次根式的性质,灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.
33.若=1.2,则a=;若=m,则m=非负数;
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案.
【解答】解:∵=1.2,
∴a=()2=,
∵=m,
∴m≥0,即m为非负数.
故答案为:,非负数.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确掌握二次根式的性质是解题关键.
34.已知实数a在数轴上的位置如图所示,化简:+|a﹣1|=1﹣2a.
【分析】直接利用数轴上a的位置,进而得出a的取值范围,进而化简即可.【解答】解:由数轴可得:﹣1<a<0,
则+|a﹣1|=﹣a+1﹣a=1﹣2a.
故答案为:1﹣2a.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确化简二次根式是解题关键.35.若a<2,化简+a﹣1=1.
【分析】直接利用a的取值范围,再结合二次根式的性质化简得出答案.
【解答】解:∵a<2,
∴+a﹣1=2﹣a+a﹣1=1.
故答案为:1.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确化简二次根式是解题关键.36.若实数a、b在数轴上的位置如图所示,则代数式|b﹣a|+化简为2a﹣b.
【分析】直接利用数轴上a,b的位置进而得出b﹣a<0,a>0,再化简得出答案.
【解答】解:由数轴可得:
b﹣a<0,a>0,
则|b﹣a|+
=a﹣b+a
=2a﹣b.
故答案为:2a﹣b.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确得出各项符号是解题关键.37.若a>1,化简的结果是a﹣1.
【分析】根据=|a|进行化简即可.
【解答】解:原式==|1﹣a|=a﹣1,
故答案为:a﹣1.
【点评】此题主要考查了二次根式的化简和性质,关键是掌握=|a|.38.实数a在数轴上的位置如图所示,则化简后为7.
【分析】根据数轴可以求得a的取值范围,从而可以化简题目中的式子,从而可以解答本题.
【解答】解:由数轴可得,
4<a<8,
∴
=a﹣3+10﹣a
=7,
故答案为:7.
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴,解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法.
39.化简:2<x<4时,﹣=2x﹣6.
【分析】首先根据x的范围确定x﹣2与x﹣4的符号,然后利用算术平方根的定义,以及绝对值的性质即可化简.
【解答】解:∵2<x<4,
∴x﹣2>0,x﹣4<0,
∴原式=﹣
=|x﹣2|﹣|x﹣4|
=x﹣2﹣(4﹣x)
=x﹣2﹣4+x
=2x﹣6.
故答案为:2x﹣6.
【点评】本题考查了二次根式的化简,正确理解算术平方根的性质是关键.
40.当a<0,b>0时.化简:=﹣a.
【分析】直接利用a,b的符号,进而化简得出答案.
【解答】解:∵a<0,b>0,
∴=﹣a.
故答案为:﹣a.
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确掌握二次根式的性质是解题关键.
二次根式的概念与性质1
二次根式的概念与性质1 一.选择题(共30小题) 1.下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥, 其中一定是二次根式的有() A.5个B.4个C.3个D.2个 2.下列判断正确的是() A.带根号的式子一定是二次根式 B.一定是二次根式 C.一定是二次根式 D.二次根式的值必定是无理数 3.下列各式中①;②;③;④;⑤一定是二次根式的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 4.下列各式中,二次根式有() ①②③④ A.1个B.2个C.3个D.4个 5.下列各式中:①;②;③;④.其中,二次根式的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个 6.在式子,,,,(x≤0)中,一定是二次根式的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 7.x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件() A.B.C.D. 8.若有意义,则x满足条件是() A.x≥﹣3且x≠1B.x>﹣3且x≠1C.x≥1D.x≥﹣3 9.式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是()
A.x<2B.x≥2C.x=2D.x<﹣2 10.如果代数式有意义,那么x的取值范围是() A.x≠3B.x<3C.x>3D.x≥3 11.使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为()A.B. C.D. 12.二次根式中,字母a的取值范围是() A.a B.a C.a D.a 13.使式子+成立的x的取值范围是() A.x≥﹣2B.x>﹣2C.x>﹣2,且x≠2D.x≥﹣2,且x≠2 14.若式子有意义,则实数m的取值范围是() A.m>﹣2B.m>﹣2且m≠1C.m≥﹣2D.m≥﹣2且m≠1 15.代数式+中x的取值范围在数轴上表示为() A.B. C.D. 16.下列说法正确的个数有() ①代数式的意义是a除以b的商与1的和; ②要使y=有意义,则x应该满足0<x≤3; ③当2x﹣1=0时,整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0; ④地球上的陆地面积约为14900万km2,用科学计数法表示为1.49×108km2. A.1个B.2个C.3个D.4个 17.使代数式有意义的整数x有()
二次根式定义与性质
二次根式定义及性质 教学内容: 1.学习目标:理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论:, ,,并利用它们进行计算和化简. 2.重点:;,及其运用. 3.难点:利用,,解决具体问题. 知识点一:二次根式的概念 一般地,我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 知识点二:二次根式的性质 1.; 2.; 3.; 4. 积的算术平方根的性质:; 5. 商的算术平方根的性质:. 知识点三:代数式 形如5,a,a+b,ab,,x3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).
经典例题透析 类型一:二次根式的概念 例1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0); 不是二次根式的有:、、、. 例2、当x是多少时,在实数范围内有意义? 思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,?才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x≥ 当x≥时,在实数范围内有意义. 总结升华:要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义? (1); (2); 解:(1)由≥0,解得:x取任意实数 ∴当x取任意实数时,二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0,且x-1≠0,解得:x>1 ∴当x>1时,二次根式在实数范围内都有意义.
二次根式的概念及性质
第十六章二次根式 16. 1 二次根式 第1课时 二次根式的概念和性质 :?< 1. 二次根式的概念和应用. 2. 二次根式的非负性. 重点 二次根式的概念. 难点 二次根式的非负性. 一、情景导入 师:(多媒体展示)请同学们看屏幕 电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如 果两个电视塔的高分别为 h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少?同学们能化简这个式 子吗? 由学生计算、讨论后得出结果 ,并提问. 生:半径之比为亠2Rh ;,暂时我们还不会对它进行化简. 师:那么怎么去化简它呢?这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算?如 何进行二次根式的化简?这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授 活动1:知识迁移,归纳概念 (1) 17的算术平方根是 __________ ; (2) 如图,要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形,斜边长应为 ____________ c m ; 2 (3) —个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ; (4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ; (5) 一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间 t(单位:s)与开始落下时的高度 h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ . 【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a ⑸- ;'5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) _ (1) 式子.a 表示的实际意义是什么?被开方数 a 满足什么条件时,式子."a 才有意义? (2) 当a >0时,百 ___________ 0;当a = 0时,需 ___________ 0;二次根式是一个 ____________ . 【答案】(1)a 的算术平方根,被开方数a 必须是非负数 (2) > = 非负数 老师结合学生的回答,强调二次根式的非负性. 当a >0时,,a 表示a 的算术平方根,因此a > 0; 当a = 0时,,a 表示0的算术平方根,因此,-/a = 0. 也就是说,当a > 0时,? a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空.
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质 编稿:庄永春审稿:邵剑英责编:张杨 一、目标认知 1.学习目标: 理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论:,,,并利用它们进行计算和化简. 2.重点: ;,及其运用. 3.难点: 利用,,解决具体问题. 二、知识要点梳理 知识点一:二次根式的概念 一般地,我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 知识点二:二次根式的性质 1.; 2.; 3.; 4. 积的算术平方根的性质:; 5. 商的算术平方根的性质:. 要点诠释:
二次根式(a≥0)的值是非负数,其性质可以正用亦可逆 用,正用时去掉根号起到化简的作用;逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式,有利 于在实数范围内进行因式分解. 知识点三:代数式 形如5,a,a+b,ab,,x3,这些式子,用基本的运算符号(基本运 算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的 式子为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式? (1)必须含有二次根号,即根指数为2; (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的,否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义? 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中 所含字母的取值范围,可根据题意列出不等式,通过解不等式确定字母的取值范围.当二次 根式作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析 类型一:二次根式的概念 1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0); 不是二次根式的有:、、、. 2、当x是多少时,在实数范围内有意义?
最新二次根式的有关概念及性质资料
二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念: 1.二次根式:式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中 含有4是可开得尽方的因数,又如,,..........都不是最简二次根式,而, ,5,都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式,因为=2,=3, 它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两 个代数式互为有理化因式。如与,a+与a-,-与+,互为有理化因式。 二、二次根式的性质: 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即:()2=a(a≥0);
3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即=· (a≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即= (a≥0,b>0)。 三、例题: 例1.x为何值时,下列各式在实数范围内才有意义: (1)(2)(3) (4)+(5)(6)+ 分析:这是一组考察二次根式基本概念的问题,要弄清每一个数学表达式的含义,根据分式和根式成立的条件去解,即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解:(1)∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 (2)∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。 (3) ∵∴ ∴当x<3且x≠-3时,原式有意义。 (4) ∵∴ ∴当-≤x<时,原式有意义。
二次根式的概念及性质练习题
二次根式的概念及性质练习题 班级 姓名 一.判断题(对的打“∨”,错的打“×”) (1x 的取值范围是x<0 ( ) (2中字母x 的取值范围是x ≤3 4 ( ) (3)当x=-1 ( ) (4)当a=-4( ) (5)2= —12 ( );(6—1 2 ( ) (7)2= —1 2 ( );(8)(2 =2×1 2=1 ( ) 二、填空题: 1.b ≥3)s ≥0)a (0≥a )的代 数式,叫做_______. 2.当x______ 时, 3 x 的取值范围是_______ .
4. (7) 2 =________;(8 +( 2=________. (10 . 5.当x=-2 _______. 6.当a取______ 时, 7.当x取______ 8.当m=-2 值为________. 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm,则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是(b-3)cm2,则正方形的边长是_________。 三、选择题: 1.下列各式中,哪一个是二次根式() A . ( ( ()( () ( ()( 2 2 3 1_____,2______,3_____, 4_____,5____,6____. === ===
2 .使代数式2 x +有意义的x 的取值范围是( ) A .x ≠-2; B .x ≤12且x ≠-2; C .x<12 且x ≠-2; D .x ≥1 2且x ≠-2 3.下列各式中一定成立的是( ) A =3+4=7 B C .( 2 D =1-13=2 3 四、求下列二次根式中字母的取值范围: 五、计算:(1 -(12)2; (2) ( 3) 4时x 的值. ( )( )( )123( 4
第一讲二次根式的概念和性质
第一讲、二次根式的概念和性质 第一部分、 教学目标: 1、理解二次根式的概念,掌握二次根式有意义的判定方法。 2、利用0≥a 的性质解决问题。 第二部分、 教学重点和难点: 1、掌握二次根式的双重非负性性质,并利用0≥a 解决化简问题。 2、利用二次根式的性质进行式子的化简。 第三部分、 教学过程: 例题讲解: 例1、在式子)0(2 >x x ,2,y x x x x y y ++<--=+,,,1,3)0(2)2(123中,二次根式有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 【分析】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解. 【解答】解:根据二次根式的定义,y =﹣2时,y +1=﹣2+1=﹣1, 所以二次根式有 1),0(2,2),0(22+<->x x x x x 共4个. 故选:C . 练1.1、下列的式子一定是二次根式的是( ) A .2--x B .x C .22+x D .22-x 【分析】根据二次根式的定义:一般地,我们把形如 (a ≥0)的式子叫做二次根式可得答案. 【解答】解:根据二次根式的定义可得 中得被开方数无论x 为何值都是非负数, 故选:C . 练1.2、下列代数式中,属于二次根式的为( ) A .4- B .3x - C .1-a (a ≥1) D .2--
【分析】根据二次根式的定义得出形如:(a ≥0)是二次根式,进而判断即可. 【解答】解:A 、 ,﹣4<0,故不是二次根式,故此选项错误; B 、 ,是三次根式,故不是二次根式,故此选项错误; C 、 (a ≥1),则a ﹣1≥0,故是二次根式,故此选项正确; D 、﹣,﹣2<0,故不是二次根式,故此选项错误; 故选:C . 例2、使二次根式3-x 有意义的x 的取值范围是( ) A .x ≠3 B .x >3 C .x ≥3 D .x ≤3 【分析】二次根式的被开方数是非负数,即x ﹣3≥0. 【解答】解:依题意得:x ﹣3≥0. 解得x ≥3. 故选:C . 练2.1、若式子 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A .x 且x ≠1 B .x ≠1 C .x 且x ≠1 D .x 【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解. 【解答】解:根据题意得,2x ﹣1≥0且x ﹣1≠0, 解得x ≥﹣且x ≠1. 故选:A . 练2.2、要使1213-+ -x x 有意义,则x 应满足( ) A .21≤x ≤3 B .x ≤3且x ≠21 C .21<x <3 D .2 1<x ≤3 【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解. 【解答】解:由题意得, , 解不等式①得,x ≤3, 解不等式②的,x >, 所以,<x ≤3.
二次根式的概念及性质练习卷
二次根式的概念及性质练习卷 姓名 一.判断题(对的打“∨”,错的打“×”) (1 x 的取值范围是x<0 ( ) (2 中字母x 的取值范围是x ≤34 ( ) (3)当x=-1 ( ) (4)当a=-4 ( ) (5) 2= —12 ( );(6 —12 ( ) (7) )2= —12 ( );(8)( 2=2×12=1 ( ) 二、填空题: 1. b ≥3) s ≥0) a (0≥a )的代数式,叫做_______. 2.当x______ 时, 3 x 的取值范围是_______ . 4. (7) 2 ; (8 ( 2=________. (10 . 5.当x=-2 _______. 6.当a 取______ 有意义.7.当x 取______ 8.当m=-2 ________. ( ( ()( ()( ( )(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____. ======
9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ,则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是(b-3)cm 2,则正方形的边长是_________。 三、选择题: 1.下列各式中,哪一个是二次根式 ( ) A B C D 2 x 的取值范围是( ) A .x ≠-2; B .x ≤12且x ≠-2; C .x<12且x ≠-2; D .x ≥12 且x ≠-2 3.下列各式中一定成立的是( ) A B C .( 2 D 13=23 四、求下列二次根式中字母的取值范围: 五、计算:(1 -(12)2; (2) (3) 4时x 的值. x-4│—│7-x │. ( )( )( )123( 4
二次根式定义及性质
二次根式定义及性质教学内容:
并利用它们进行计算和化简? 2. 重点:—「汕「?厂—,厂—5及其运用. 3. 难点:利用 gx θ(α≥0),(乔「二S0X°), = α?≥0) 解决具体问题 知识点一:二次根式的概念 一般地,我们把形如 丄;(a ≥ 0)?的式子叫做二次根式,“"”称为二次根号. 知识点二:二次根式的性质 1.&≥Q(a≥0); (石)=Λ (d ≥ 0) =IaI= < 3. 2. a (a ≥0) -a (a <0); 4. 积的算术平方根的性质: 5. 商的算术平方根的性质: λj'.∕?, - -Λ J I -■", ' -■; 知识点三:代数式 S 形女口 5, a , a+b , ab ,】,X , & (α≥0) 这些式子,用基本的运算符号 (基本运算包括加、减、乘、 除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式 (algebraic expression). 1.学习目标:理解二次根式的概念, 了解被开方数是非负数的理由; 理解并掌握下列结论: U- ■' ■: ■' 111, 经 典例题透析 类型一:二次根式的概念 例1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: (X > 0)、 1 匚、=、二、U J i(X ≥0, y ≥ °)?
思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“ ??厂”;第二,被开方数是正数或 例2、当X 是多少时,,-I 在实数范围内有意义? 思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于 0,所以3X -1 ≥0, ? 义. 1 解:由 3X -1 ≥ 0,得:X ≥ j 1 当X ≥ 1时,「丄-在实数范围内有意义. 总结升华:要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 举一反三 【变式1】X 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义? 1 解: (1)由 (M ≥ 0,解得:X 取任意实数 ???当X 取任意实数时,二次根式 ' ■'在实数范围内都有意义 (2)由 x-1 ≥ 0,且 x-1 ≠ 0,解得:X > 1 ?当X > 1时,二次根式■在实数范围内都有意义? 解:二次根式有: 匸、C i(X ≥ 0, y ≥ 0); 才能有意 J?. (X >0)、 不是二次根式的有:
人教16.1二次根式的概念性质练习题
新人教版数学八年级下册二次根式课时练习 一、单选题(共15小题) 1.已知3+x =0,则x 为( ) >3 <-3 C. x=-3 D. x 的值不能确定 2.化简:2 1a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 3.如果一个三角形的三边长分别为1、k 、3,化简|32|8136472-++--k k k 结果是( ) A 、4k —5 B 、1 C 、13 D 、19—4k 4.下列命题中,错误.. 的是( ) A =5,则x=5; B .若a (a ≥0 C π-3 D 5 5.若式子ab a 1+-有意义,则点P (a , b )在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 6.当a ≥0时,2a 、2)(a -、2 a -,比较他们的结果,下面四个选项中正确的是( ) A.2a =2)(a -≥2a - B.2a >2)(a ->2 a - C. 2a <2)(a -<2a - D.2a ->2a =2 )(a - 7.等式33-=-x x x x 成立的条件是( ) A .x ≠3 B .x ≥0 C .x ≥0且x ≠3 D .x>3