上海中考数学复习4因式分解

中考复习之因式分解

知识考点：

因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。

精典例题：

【例1】分解因式：

（1）3

3xy y x -

（2）x x x 2718323+-

（3）()112---x x （4）()()3

224x y y x --- 分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。

②当某项完全提出后，该项应为“1”

③注意()()n n a b b a 22-=-，()()1212++--=-n n a b b a

④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。

答案：（1）()()y x y x xy -+； （2）()2

33-x x ； （3）()()21--x x ； （4）()()y x y x -+-222

【例2】分解因式：

（1）22103y xy x --

（2）32231222xy y x y x -+

（3）()222164x x -+

分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。

答案：（1）()()y x y x 52-+；（2）()()y x y x xy 232-+；（3）()()2

222+-x x 【例3】分解因式：

（1）2

2244z y xy x -+-；

（2）b a b a a 2322-+-

（3）322222--++-y x y xy x

分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。 答案：（1）()()z y x z y x --+-22（三、一分组后再用平方差）

（2）()()()112-+-a a b a （三、二分组后再提取公因式）

（3）()()13--+-y x y x （三、二、一分组后再用十字相乘法）

【例4】在实数范围内分解因式：

（1）44-x ；

（2）1322-+x x

答案：（1）()()()

2222-++x x x （2）⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--417341732x x 【例5】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足ac bc ab c b a ++=++222，求证：△ABC 为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证c b a ==，从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式()()()02

22=-+-+-a c c b b a ，即可得证，将原式两边同乘以2即可。 略证：0222=---++ac bc ab c b a

022*******=---++ac bc ab c b a

()()()02

22=-+-+-a c c b b a ∴c b a ==

即△ABC 为等边三角形。

探索与创新：

【问题一】

（1）计算：⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛

-22221011911311211 分析：此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。

解：原式＝⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛

-10111011911911311311211211

＝

10

111099108943322321⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯ ＝2011 （2）计算：22222221219981999200020012002-+⋅⋅⋅-+-+-

分析：分解后，便有规可循，再求1到2002的和。

解：原式＝()()()()()()121219992000199920002001200220012002-+⋅⋅⋅+-++-+

＝2002＋2001＋1999＋1998＋…＋3＋1

＝()2

200212002⨯+ ＝2 005 003

【问题二】如果二次三项式82--ax x （a 为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a 可以取那些值？ 分析：由于a 为整数，而且82--ax x 在整数范围内可以分解因式，因此可以肯定82--ax x 能用形如()pq x q p x +++2型的多项式进行分解，其关键在于将－8分解为两个数的积，且使这两个数的和等于a -，由此可以求出所有可能的a 的值。

答案：a 的值可为7、－7、2、－2

跟踪训练：

一、填空题：

1、()229=n ；()222=a ；c a b a m m ++1＝ 。

2、分解因式：

222y xy x -+-＝ ；

1872--xy x ＝ ；

()()25102++-+y x y x ＝ 。

3、计算：1998×2002＝ ，2223274627+⨯-＝ 。

4、若012=++a a ，那么199920002001a a a ++＝ 。

5、如果n 222108++为完全平方数，则n ＝ 。

6、m 、n 满足042=-++n m ，分解因式()()n mxy y

x +-+22＝ 。

二、选择题：

1、把多项式b a ab -+-1因式分解的结果是（ ） A 、()()11++b a B 、()()11--b a C 、()()11-+b a D 、()()11+-b a

2、如果二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +-2，则b a +的值为（ ）