物理模型——“子弹打木块模型”“碰撞模型”“弹簧模型” 讲义

物理模型——“子弹打木块模型”“碰撞模型”“弹簧模型”

动量守恒定律在高中物理占有非常重要的位置，也是多年来选修3-5考查的热点.2017

年选修3-5列为必考内容后，对于力学三大观点的问题就得到了解决．模型的核心是对动量

定理和动量守恒定律的应用，可对力学知识综合考查．

一、“子弹打木块模型”

[范例1] (18分)一质量为M 的木块放在光滑的水平面上，一质量为m 的子弹以初速度v 0水平飞来打进木块并留在其中，设相互作用力为F f .试求从木块开始运动到子弹与木块相对静止的过程中：

(1)子弹、木块相对静止时的速度v ；

(2)子弹、木块发生的位移s 1、s 2以及子弹打进木块的深度l 相分别为多少？ (3)系统损失的机械能、系统增加的内能分别为多少？

[解析] (1)由动量守恒得mv 0＝(M ＋m )v (2分) 子弹与木块的共同速度v ＝m

M ＋m v 0.

(2分)

(2)对子弹利用动能定理得 －F f s 1＝12mv 2－1

2mv 20

(2分)

所以s 1＝Mm （M ＋2m ）v 20

2F f （M ＋m ）2.

(2分)

同理对木块有：F f s 2＝1

2

Mv 2

(2分) 故木块发生的位移为s 2＝Mm 2v 20

2F f （M ＋m ）2

(2分) 子弹打进木块的深度为：l 相＝s 1－s 2＝Mmv 20

2F f （M ＋m ）.

(2分)

(3)系统损失的机械能

ΔE k ＝12mv 20－12(M ＋m )v 2

＝Mmv 202（M ＋m ）

(2分) 系统增加的内能：Q ＝ΔE k ＝Mmv 20

2（M ＋m ）.

(2分)

[答案] (1)m

M ＋m v 0

(2)Mm （M ＋2m ）v 202F f （M ＋m ）2 Mm 2v 202F f （M ＋m ）2 Mmv 202F f （M ＋m ） (3)Mmv 202（M ＋m ） Mmv 202（M ＋m ）

“子弹打木块模型”是碰撞中常见模型，其突出特征是在子弹打击木块的过程中有机械能损失，此类问题的一般解法可归纳如下：

(1)分析子弹打击木块的过程，弄清楚子弹是停留在木块中和木块一起运动还是穿透木块和木块各自运动；

(2)子弹在打击木块的过程中，由于时间较短，内力远远大于外力，故在打击的过程中动量守恒；

(3)子弹在打击木块过程中产生的机械能损失，一般有两种求解方法：一是通过计算打击前系统的机械能与打击后系统的机械能的差值得出机械能的损失；二是通过计算在子弹打击木块的过程中，子弹克服阻力做的功与阻力对木块做的功的差值进行求解． 二、“碰撞模型”

[范例2] (18分)如图所示，打桩机锤头质量为M ，从距桩顶h 高处自由下落，打在质量为m 的木桩上，且在极短时间内便随桩一起向下运动，使得木桩深入泥土的距离为s ，试求在木桩下陷过程中泥土对木桩的平均阻力是多少？

[解析] 设锤头刚与木桩接触时的速度大小为v 0，则由运动学规律

可得：v 2

0＝2gh .由于锤头与木桩碰撞时，作用时间极短，系统的内力远远大于外力，动量守

恒．设两者碰撞后的共同速度大小为v ，则由动量守恒定律可得：Mv 0＝(M ＋m )v

(6分)

设在木桩下陷过程中泥土对木桩的平均阻力大小为F f ，则由动能定理可得： (M ＋m )gs －F f s ＝0－1

2

(M ＋m )v 2

(6分)

以上各式联立求解得：F f ＝(M ＋m )g ＋M 2gh

（M ＋m ）s

.

(6分)

[答案] 见解析

抓住“三个原则、三个定律”速解碰撞问题

(1)判断两物体碰撞瞬间的情况：当两物体相碰时，首先要判断碰撞时间是否极短、碰撞时的相互作用(内力)是否远远大于外力．

(2)碰撞的“三个原则”：①动量守恒原则，即碰撞前后两物体组成的系统满足动量守

恒定律；②能量不增加原则，即碰撞后系统的总能量不大于碰撞前系统的总能量；③物理情境可行性原则，即两物体碰撞前后的物理情境应与实际相一致．

(3)根据两物体碰撞时遵循的物理规律，列出相对应的物理方程：如果物体间发生的是弹性碰撞，则一般是列出动量守恒方程和机械能守恒方程进行求解；如果物体间发生的不是弹性碰撞，则一般应用动量守恒定律和能量守恒定律(功能关系)进行求解．

三、“弹簧模型”

[范例3] (18分)(2017·肇庆质检)如图所示，质量M ＝4 kg 的滑板B 静止放在光滑水平面上，滑板右端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C 到滑板左端的距离L ＝0.5 m ，可视为质点的小木块A 质量m ＝1 kg ，原来静止于滑板的左端，滑板与木块A 之间的动摩擦因数μ＝0.2.当滑板B 受水平向左恒力F ＝14 N 作用时间t 后，撤去F ，这时木块A 恰好到达弹簧自由端C 处，此后运动过程中弹簧的最大压缩量为x ＝5 cm.g 取10 m/s 2，求：

(1)水平恒力F 的作用时间t ；

(2)木块A 压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能；

(3)当小木块A 脱离弹簧且系统达到稳定后，整个运动过程中系统所产生的热量． [解析] (1)木块A 和滑板B 均向左做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得：a A ＝μmg

m ，

a B ＝F －μmg M

根据题意有： s B －s A ＝L

(2分)

即：12a B t 2－1

2

a A t 2＝L

将数据代入并联立解得：t ＝1s ．

(2分)

(2)1 s 末木块A 和滑板B 的速度分别为： v A ＝a A t ，v B ＝a B t

当木块A 和滑板B 的速度相同时，弹簧压缩量最大，具有最大弹性势能． 根据动量守恒定律有：mv A ＋Mv B ＝(m ＋M )v

(2分)

由能的转化与守恒得：

12mv 2A ＋12Mv 2B ＝1

2(m ＋M )v 2＋E p ＋μmgx (2分) 代入数据求得最大弹性势能E p ＝0.3 J ．

(2分)

(3)二者同速之后，设木块相对滑板向左运动离开弹簧后系统又能达到共同速度v ′，相对滑板向左滑动距离为s ，有：mv A ＋Mv B ＝(m ＋M )v ′

解得：v ′＝v

(2分)

由能的转化与守恒定律可得：E p ＝μmgs 解得：s ＝0.15 m

(2分)

由于x ＋L >s 且s >x ，故假设成立

整个过程系统产生的热量为：Q ＝μmg (L ＋s ＋x ) (2分) 解得：Q ＝1.4 J ．

(2分)

[答案] (1)1 s (2)0.3 J (3)1.4 J

利用弹簧进行相互作用的碰撞模型，一般情况下均满足动量守恒定律和机械能守恒定律，此类试题的一般解法是：

(1)首先判断弹簧的初始状态是处于原长、伸长还是压缩状态；

(2)分析碰撞前后弹簧和物体的运动状态，依据动量守恒定律和机械能守恒定律列出方程；

(3)判断解出的结果是否满足“实际情境可行性原则”，如果不满足，则要舍掉该结果． 注意：(1)由于弹簧的弹力是变力，所以弹簧的弹性势能通常利用机械能守恒或能量守恒求解；

(2)要特别注意弹簧的三个状态：原长(此时弹簧的弹性势能为零)、压缩到最短或伸长到最长的状态(此时弹簧连接的两个物体具有共同的速度，弹簧具有最大的弹性势能)，这往往是解决此类问题的突破点．

[预测押题]

1.如图所示，在固定的足够长的光滑水平杆上，套有一个质量

为m ＝0.5 kg 的光滑金属圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着一个质量为M ＝1.98 kg 的木块，现有一质量为m 0＝20 g 的子弹以v 0＝100 m/s 的水平速度射入木块并留在木块中 (不计空气阻力和子弹与木块作用的时间，g ＝10 m/s 2)，求：

(1)圆环、木块和子弹这个系统损失的机械能； (2)木块所能达到的最大高度．

解析：(1)子弹射入木块过程，动量守恒，有 m 0v 0＝(m 0＋M )v

在该过程中机械能有损失，损失的机械能为 ΔE ＝12m 0v 20－12(m 0＋M )v 2

解得：ΔE ＝99 J.

(2)木块(含子弹)在向上摆动过程中，木块(含子弹)和圆环在水平方向动量守恒，有 (m 0＋M )v ＝(m 0＋M ＋m )v ′

又木块(含子弹)在向上摆动过程中，机械能守恒，有 (m 0＋M )gh ＝12(m 0＋M )v 2－1

2(m 0＋M ＋m )v ′2

联立解得：h ＝0.01 m.

答案：见解析

2.(2017·湖北八校联考)如图所示，质量为m

3＝2 kg 的滑道静止在光滑的水平面上，滑道的AB 部分是半径为R ＝0.3 m 的四分之一圆弧，圆弧底部与滑道水平部分相切，滑道水平部分右端固定一个轻弹簧．滑道CD 部分粗糙，其他部分均光滑．质

量为m 2＝3 kg 的物体2(可视为质点)放在滑道的B 点，现让质量为m 1＝1 kg 的物体1(可视为质点)自A 点由静止释放．两物体在滑道上的C 点相碰后粘在一起(g ＝10 m/s 2)．

(1)求物体1从释放到与物体2相碰的过程中，滑道向左运动的距离．

(2)若CD ＝0.2 m ，两物体与滑道的CD 部分的动摩擦因数都为μ＝0.15，求在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能．

(3)在(2)的条件下，物体1、2最终停在何处？

解析：(1)物体1从释放到与物体2碰撞的过程中，物体1和滑道组成的系统在水平方向上动量守恒，设物体1水平位移大小为s 1，滑道的水平位移大小为s 3，有0＝m 1s 1－m 3s 3，s 1＝R

解得s 3＝m 1s 1

m 3

＝0.15 m.

(2)设物体1、物体2刚要相碰时物体1的速度大小为v 1，滑道的速度大小为v 3，由机械能守恒定律有

m 1gR ＝12m 1v 21＋12m 3v 2

3

由动量守恒定律有0＝m 1v 1－m 3v 3

物体1和物体2相碰后的共同速度大小设为v 2，由动量守恒定律有 m 1v 1＝(m 1＋m 2)v 2

弹簧第一次压缩至最短时由动量守恒定律可知物体1、2和滑道速度为零，此时弹性势能最大，设为E pm .从物体1、2碰撞后到弹簧第一次压缩至最短的过程中，由能量守恒定律有

12(m 1＋m 2)v 22＋12m 3v 23－μ(m 1＋m 2)g ·CD ＝E pm 联立以上方程，代入数据解得E pm ＝0.3 J.

(3)分析可知物体1、2和滑道最终将静止，设物体1、2相对滑道CD 部分运动的路程为s ，由能量守恒定律有

12(m 1＋m 2)v 22＋12m 3v 23＝μ(m 1＋m 2)gs 代入数据可得s ＝0.25 m

所以物体1、物体2最终停在C 点和D 点之间与D 点间的距离为0.05 m 处． 答案：见解析