上海市南模中学2019-2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷
2019学年第一学期南模中学高二年级期末考试
数学学科
一、填空题（本大题共有12题，1~6题，每题4分，7~12题，每题5分，满分54分）
1．以原点为顶点，x 轴为对称轴，并且经过()2,4P --的抛物线的标准方程为______________． 2已知复数z 满足2
(2)1i z -?=，则z 的虚部为____________________．
3．已知向(2,1)a =，10a b ?=，||52a
b +=，则b =____________________． 4双曲线2
2
1x ky +=的一条渐近线的斜率是2，则k =__________________．
5．设向量(1,2)a =，(2,3)b =，若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=___________________． 6．直线过点()2,3-，且在两条坐标轴上的截距互为相反数；则此直线的方程是_________________
7．已知O 是坐标原点，点()1,1A -若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥??
≤??≤?
内的一个动点，则OA OM ?的取
值范围为________________．
8已知动圆过定点()4,0A -，且与圆2
2
8840x y x +--=相切，则动圆的圆心P 的轨迹方程是_________．
9．若直线23x t y t
=+???=??，（t 为参数）与双曲线221x y -=相交于A ，B 两点，
则线段AB 的长为_____________． 10．过抛物线2
2x py =(0)p >的焦点F 作倾斜角为30?的直线，与抛物线交于A ，B 两点（A 点在y 轴左侧则
FA
FB
=___________________． 11．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x ，y y 分别为点O 到两个顶点的向量；若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成ax by +的形式，则a b +的最大值为_________________．
12．已知直角坐标平面上任意两点()11,P x y 、()22,Q x y ，定义212121
212121
,(,),x x x x y y d P Q y y x x y y ?--≥-?=?
--<-??为
P 、Q 两点的“非常距离”．当平面上动点(),M x y 到定点(),A a b 的距离满足3MA =时，则()
,d M A 的取值范围是________________．
二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
13．设1z ，2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A ．如果22
120z z +=，那么120z z ==
B ．如果12z z =，那么12z z =±
C ．如果1z a ≤（a 为正实数），那么1a z a -≤≤
D ．如果1z a =（a 为正实数），那么2
11z z a ?=
14．在ABC ?中，若2
AB AB AC BA BC CA CB =?+?+?，则ABC ?是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D 正三角形
15．设A ，B 分别为x 轴，y 轴上的两点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 的面积的最小值为（ ）
A ．
34
π B ．
45
π C ．
54
π D ．(6π-
16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:
1364x y C +=和22
2:19
y C x +=，P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，设ω为OP OQ ?的最大值，记集合{}
12(,),P Q P C Q C OP OQ ωΩ=?=在上在上,且，则Ω中元素的个数为（ ） A 无数个
B ．2个
C ．4个
D ．8个
三、简答题（本大题共有5题，满分76分）
17．复数2
(1)32z i a a i =--++()a R ∈，
（1）若z z =，求z ：（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围． 18．平面内有向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OP =，点C 为直线OP 上的一个动点． （1）当CA CB ?取最小值时，求OC 的坐标； （2）当点C 满足（1）时，求cos ACB ∠．
19．设1P 和2P 是双曲线22
221x y a b -=上的两点，线段12P P 的中点为M ，直线12P P 不经过坐标原点O ．
（1）若直线12P P 和直线OM 的斜率都存在且分别为1k 和2k ，求证：2
122
b k k a
=；
（2）若双曲线的焦点分别为1(F 、2F ，点1P 的坐标为()2,1，直线OM 的斜率为3
2
，求由四点1P 、1F 、2P 、2F 所围成四边形1122PF P F 的面积．
20．已知定点()1,0F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作直线PM 交x 轴于点M ，延长MP 至点N ，使
0PM PF ?=．||||PM PN =点N 的轨迹是曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）若S ，T 是曲线C 上的两个动点，满足0OS OT ?=，证明：直线ST 过定点；
（3）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且4OA OB ?=-，46||430AB ≤≤，求直线l 的斜率k 的取值范围．
21．教材曾有介绍：圆222
x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为2
00x x y y r +=．我们将其结论推广：椭
圆22221x y a b +=(0)a b >>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y
a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线30x y -+=，与椭圆22
2:1x E y a
+=(1)a >有且只有一个公共点．
（1）求a 的值；
（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ，
当m 变化时，求OAB ?面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使
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CN MC ND MD =成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由．