培优易错试卷圆的综合辅导专题训练及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．

（1）OC的长为；

（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；

（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．

【答案】（1）4；（2）3

；（3）点E的坐标为（1，2）、（

，

）、（4，2）．

【解析】

分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则

MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，

②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．

详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．

∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．

∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，

∴tan∠BAH=BH

=1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．

故答案为4．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．

由（1）得：OH =2，BH =4．

∵OC 与⊙M 相切于N ，∴MN ⊥OC ．

设圆的半径为r ，则MN =MB =MD =r ．

∵BC ⊥OC ，OA ⊥OC ，∴BC ∥MN ∥OA ．

∵BM =DM ，∴CN =ON ，∴MN =

12（BC +OD ），∴OD =2r ﹣2，∴DH =OD OH -=24r -．

在Rt △BHD 中，∵∠BHD =90°，∴BD 2=BH 2+DH 2，∴（2r ）2=42+（2r ﹣4）2．

解得：r =2，∴DH =0，即点D 与点H 重合，∴BD ⊥0A ，BD =AD ．

∵BD 是⊙M 的直径，∴∠BGD =90°，即DG ⊥AB ，∴BG =AG ．

∵GF ⊥OA ，BD ⊥OA ，∴GF ∥BD ，∴△AFG ∽△ADB ， ∴AF AD =GF BD =AG AB =12，∴AF =12AD =2，GF =12

BD =2，∴OF =4，

∴OG

同理可得：OB AB ，∴BG =

12AB ．

设OR =x ，则RG x ．

∵BR ⊥OG ，∴∠BRO =∠BRG =90°，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2，

∴（

2﹣x 2=（）2﹣（x ）2．

解得：x =5，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=（2﹣（5）2=365，∴BR =5

．

在Rt △ORB 中，sin ∠BOR =BR OB

35．故答案为35

．（3）①当∠BDE =90°时，点D 在直线PE 上，如图2．

此时DP =OC =4，BD +OP =BD +CD =BC =2，BD =t ，OP =t ．则有2t =2．

解得：t =1．则OP =CD =DB =1．

∵DE ∥OC ，∴△BDE ∽△BCO ，∴

DE OC =BD BC =12

，∴DE =2，∴EP =2， ∴点E 的坐标为（1，2）．

②当∠BED =90°时，如图3．

∵∠DBE =OBC ，∠DEB =∠BCO =90°，∴△DBE ∽△OBC ，

∴BE

BC =2DB BE OB ∴，∴BE =5

t ． ∵PE ∥OC ，∴∠OEP =∠BOC ．

∵∠OPE =∠BCO =90°，∴△OPE ∽△BCO ，

∴OE

OB =

∴

，=

，∴OE=5t．

∵OE+BE=OB=255

，∴t+5

t=25．

解得：t=5

，∴OP=

，OE=

，∴PE=22

OE OP

，

∴点E的坐标为（510

，）．

③当∠DBE=90°时，如图4．

此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．

则有OD=PE，EA=22

PE PA

+=2（6﹣t）=62﹣2?t，∴BE=BA﹣EA=42﹣（62﹣2t）=2t﹣22．

∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形，∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．

在Rt△DBE中，cos∠BED=BE

，∴DE=2BE，

∴t=22

（t﹣22）=2t﹣4．

解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．

综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、

（510

，）、（4，2）．

点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数

学思想，有一定的综合性．

2．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上DCE B ∠=∠．

（1）求证：CE 是半圆的切线；

（2）若CD=10，2tan 3

B =，求半圆的半径．

【答案】（1）见解析；(2)413

【解析】

分析: （1）连接CO ，由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论；

（2）设AC=2x ，由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ，通过证明△AOD ∽△ACB ，列出等式即可.

详解：（1）证明：如图，连接CO .

∵AB 是半圆的直径，

∴∠ACB =90°.

∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.

∴∠DCE+∠BCE=90°.

∵OC =OB ,

∴∠OCB =∠B.

∵=DCE B ∠∠，

∴∠OCB =∠DCE .

∴∠OCE =∠DCB =90°.

∴OC ⊥CE .

∵OC 是半径，

∴CE 是半圆的切线.

（2）解：设AC =2x ，

∵在Rt △ACB 中，2tan 3

AC B BC ==,

∴BC =3x .

∴()(

)222313AB x x x =+=.

∵OD ⊥AB ,

∴∠AOD =∠A CB=90°.

∵∠A =∠A ，

∴△AOD ∽△ACB .

∴AC AO AB AD

=. ∵1132OA AB x =

=，AD =2x +10, ∴1132210

13x x x =+. 解得 x =8. ∴138413OA =

?=. 则半圆的半径为413.

点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.

3．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．

（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．

【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4

【解析】

试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切

（2）

如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠?＝＝，

∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系

点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．

4．四边形 ABCD 的对角线交于点 E ，且 AE ＝EC ，BE ＝ED ，以 AD 为直径的半圆过点 E ，圆心为 O ．

（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；

（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F ，且直径 AD ＝6，求弧AE 的长．

【答案】（1）见解析；（2）

π2

【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD 是平行四边形，再判断出AC ⊥BD 即可得出结论；（2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且132

OF AD ==，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3．在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC =

CG CD =12，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°．

连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴3031802

AE ππ??==．

点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．

5．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F .

（1）求证：OE ∥BD ；

（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5

DBA ∠=时，求EF 的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为

212

【解析】试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；

（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.

试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=?. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=?. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.

∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .

（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25

BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=?

∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .

∴

BD CD BO EO

= ∴252EO =.

∵OE∥BD，CO=OD，∴CF=FB.

∴

OF BD

∴21

EF OE OF

=-=

6．如图，在ABC

?中，90,

BAC

∠=?2,

AB AC

==AD BC

⊥，垂足为D，过,A D 的⊙O分别与,

AB AC交于点,E F，连接,,

EF DE DF．

（1）求证：ADE

?≌CDF

?；

（2）当BC与⊙O相切时，求⊙O的面积．

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD=CD、∠1=∠C=45°，由∠EAF=90°知EF是⊙O 的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；

（2）当BC与⊙O相切时，AD是直径，根据∠C=45°、AC=2可得AD=1，利用圆的面积公式可得答案．

详解：（1）如图，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=45°．

又∵AD⊥BC，AB=AC，∴∠1=

∠BAC=45°，BD=CD，∠ADC=90°．

又∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=CD．

又∵∠EAF=90°，∴EF是⊙O的直径，∴∠EDF=90°，∴∠2+∠4=90°．

又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE和△CDF中．

∵

AD CD

∠=∠

?∠=∠

，∴△ADE≌△CDF（ASA）．

（2）当BC与⊙O相切时，AD是直径．在Rt△ADC中，∠C=45°，AC2，

∴sin ∠C =AD AC ，∴AD =AC sin ∠C =1，∴⊙O 的半径为12，∴⊙O 的面积为24π．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．

7．问题发现．

(1)如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 是AB 边上任意一点，则CD 的最小值为______．

(2)如图②，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、点N 分别在BD 、BC 上，求CM+MN 的最小值．

(3)如图③，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度．若不存在，请说明理由．

【答案】(1) 125CD =

;(2) CM MN +的最小值为9625.(3) 152

【解析】试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，求C N '的长即可;(3) 连接AC ，则

ADC ACG AGCD S S S =+四，321GB EB AB AE ==-=-=，则点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧．过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ，由AEM ACB ∽求得GM 的值，再由ACD ACG AGCD S S

S =+四边形求解即可.

试题解析：（1）从C 到AB 距离最小即为过C 作AB 的垂线，垂足为D ，

ABC CD AB AC BC S ??==， ∴341255

AC BC CD AB ??===，（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，且与BD 交于M ，

则CM MN +的最小值为C N '的长，

设CC '与BD 交于H ，则CH BD ⊥，

∴BMC BCD ∽，且125CH =，

∴C CB BDC ∠=∠'，245CC '=

， ∴C NC BCD '∽，

∴244965525

CC BC C N BD ??===''，即CM MN +的最小值为9625．（3）连接AC ，则ADC ACG AGCD S S S =+四，

321GB EB AB AE ==-=-=，

∴点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧．

过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ，

∵AEM ACB ∽，

∴EM AE BC AC

=， ∴24855

AE BC EM AC ??===， ∴83155

GM EM EG =-=-=， ∴ACD ACG AGCD S S S =+四边形，

113345225

=??+??，

152=．【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题． 8．如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长，与⊙O 交于C 、D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM 交CD 于点N ，连接AC 、CM ．

（1）求证：CM 2=MN.MA ；

（2）若∠P=30°，PC=2，求CM 的长．

【答案】（1）见解析；（2）CM=22.

【解析】

【分析】

（1）由CM DM =知CAM DCM ∠=∠，根∠CMA=∠NMC 据证ΔAMC ∽ΔCMN 即可得；

（2）连接OA 、DM ，由直角三角形PAO 中∠P=30°知()1122

OA PO PC CO =

=+，据此求得OA=OC=2，再证三角形CMD 是等腰直角三角形得CM 的长．

【详解】（1）O 中，M 点是半圆CD 的中点，

∴ CM DM =，

CAM DCM ∴∠=∠，

又CMA NMC ∠=∠，

AMC CMN ∽∴??，

∴ CM AM MN CM

=，即2·CM MN MA =；（2）连接OA 、DM ，

PA 是O 的切线，

90PAO ∴∠=?，

又

30P ∠=?， ()1122OA PO PC CO ∴==+，设O 的半径为r ， 2PC =，

()122

r r ∴=+，解得：2r =，

又CD 是直径，

90CMD ∴∠=?，

CM DM =，

CMD ∴?是等腰直角三角形，

∴在Rt CMD ?中，由勾股定理得222CM DM CD +=，即()2

22216CM r ==，则28CM =， 22CM ∴=．

【点睛】

本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点

9．如图, Rt △ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ， (1)

设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r ＝

(a+b-c). (2) 若AD 交圆于P , PC 交圆于H, FH//BC, 求∠CPD; (3)若r=310, PD ＝18, PC=272. 求△ABC 各边长.

【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）1010,1510，12【解析】

【分析】

（1）根据切线长定理，有AE=AF ，BD=BF ，CD=CE ．易证四边形BDOF 为正方形，BD=BF=r ，用r 表示AF 、AE 、CD 、CE ，利用AE+CE=AC 为等量关系列式．

（2）∠CPD 为弧DH 所对的圆周角，连接OD ，易得弧DH 所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．

（3）由PD=18和10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O 作PD 的垂线OM ，求得

弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．

【详解】

解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，

∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F

∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE

∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°

∴四边形BDOF是矩形

∵OD=OF=r

∴矩形BDOF是正方形

∴BD=BF=r

∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r

∵AE+CE=AC

∴c-r+a-r=b

整理得：r=1

（a+b-c）

（2）取FH中点O，连接OD ∵FH∥BC

∴∠AFH=∠B=90°

∵AB与圆相切于点F，

∴FH为圆的直径，即O为圆心∵FH∥BC

∴∠DOH=∠ODB=90°

∴∠CPD=1

∠DOH=45°

（3）设圆心为O ，连接DO 并延长交⊙O 于点G ，连接PG ，过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°

∵PD=18

∴DM=12PD=9 ∵BF=BD=OD=r=310， ∴OM=22OD DM -＝22(310)9-＝9081-＝3

∴tan ∠MOD=

DM OM ＝3 ∵DG 为直径

∴∠DPG=90°

∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90°

∴∠G=∠MOD

∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°

∴∠ADB=∠G

∴∠ADB=∠MOD

∴tan ∠ADB=AB BD

=tan ∠MOD=3 ∴AB=3BD=3r=910

∴AE=AF=AB-BF=910?310＝610

设CE=CD=x ，则BC=310+x ，AC=610+x

∵AB 2+BC 2=AC 2

∴(910)2．+(310+x)2＝(610+x)2

解得：x=910

∴BC=1210，AC=1510

∴△ABC 各边长AB=910，AC=1510，BC=1210

【点睛】

本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．

10．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若AB=AD，AC=32，tan∠ADC=3，求BE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

2 BE=

【解析】试题分析：（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论；（2）过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD，得到∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中可求得AF ＝3，在Rt△AFD中求得DF＝1，所以AB＝AD＝10，CD= CF+DF=4，再证明

△ABE∽△CDA，得出BE AB

DA CD

=，即可求出BE的长度；

试题解析：

（1）证明：连结OA，OB，

∵∠ACB=45°，

∴∠AOB=2∠ACB= 90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∵∠BAE=45°，

∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，

∴OA⊥AE．

∵点A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切线．

（2）解：过点A作AF⊥CD于点F，则∠AFC=∠AFD=90°．∵AB=AD，

∴AB =AD

∴∠ACD=∠ACB=45°，

在Rt△AFC中，

∵AC =32，∠ACF =45°， ∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3， ∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=3AF DF =， ∴DF =1，

∴223110AB AD ==+=，且CD = CF +DF =4， ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ABE =∠CDA ， ∵∠BAE =∠DCA ， ∴△ABE ∽△CDA ， ∴

BE AB DA CD =， ∴10410

=， ∴52BE =

．